Задание 7. Спрос D на малоценные товары в зависимости от величины дохода x потребителя характеризуется функцией Торнквиста

D= D (x) = α x (x + β)

x2 +γ

Провести исследование и построить график функции D = D (x).

Вар.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
α	2	3	4	3	3	2	2	4	4	2
β	5	6	7	8	7	6	6	8	5	5
γ	12	9	2	10	3	11	8	4	7	6

Вар.	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
α	2	3	3	4	3	4	4	2	3	4
β	4	3	2	7	9	8	6	4	5	7
γ	8	7	9	6	11	5	13	3	10	2

Вар.	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
α	4	5	2	3	4	2	5	4	3	2
β	9	10	6	4	8	9	7	5	4	6
γ	7	9	8	15	6	3	4	10	12	5

Решение типового варианта контрольной работы

Задание

1.

x11 = 5, x21 =11, x31 = 20,

x1 =100,

x12 = 35, x22 = 9,

x32 =16,

x2 = 70,

x13 =15,

x23 = 22, x33 =12, x3 = 60, y1 = 45,

y2 = 30,

y3 =12,

= 50,

= 30,

= 20.

y1

y2

y3

Запишем данные в таблицу

Отрасли

Потребление

Конечный

Валовый

Y

произв.

I

II

III

продукт, Y

выпуск, Х

I

5

35

15

45

100

50

II

11

9

22

28

70

30

III

20

16

12

12

60

20

Матричное уравнение межотраслевого баланса имеет вид

AX +Y = X ;

AX +Y = EX ;

EX − AX =Y; (E − A) X =Y

(1)

1. Выпишем матрицы, входящие в уравнение (1)

16

	1	0	0		100				45
	0	1	0			70			28
E =				;	X =		;	Y =		;
	0	0	1			60			12

матрица А – структурная матрица межотраслевого баланса. Элементы матрицы А являются коэффициентами прямых затрат. Они

определяются по формуле aij

=

xij

.

x j

В данном случае будем иметь

x12

x13

a

=

x11

=

5

= 0,05;

a

=

=

35

= 0,50;

a

=

=

15

= 0,25;

11

x1

100

12

x2

70

13

x3

60

a21

=

x21

=

11

= 0,11;

a22

=

x22

=

9

= 0,13;

a23

=

x23

=

22

= 0,37;

x1

100

x2

70

x3

60

a31

=

x31

=

20

= 0,20;

a32

=

x32

=

16

= 0,23;

a33

=

x33

=

12

= 0,20.

x1

100

x2

70

x3

60

0,05

0,5

0,25

0,11

0,13

0,37

A =

0,2

0,23

0,2

Матрица А продуктивна, т.к. все ее элементы положительны и сумма ее элементов по любому столбцу (любой строке) не превосходит единицы.

2. Решаем матричное уравнение (1)
X = (E − A)−1 Y	(2)

Для матрицы Е – А составляем обратную.

Матрица S = (E − A)−1 называется матрицей полных затрат.
	1	0	0			0,05	0,5	0,25			0,95	− 0,5	− 0,25
	0	1	0			0,11	0,13	0,37			− 0,11	0,87	− 0,37
E − A =					−					=
	0	0	1			0,2	0,23	0,2			− 0,2	− 0,23	0,8

det (E − A) =

(E − A) =

0,95

−0,5

−0,25

= 0,95

0,87

−0,37

−0,11

0,87

−0,37

+

−0,2

−0,23

0,8

−0,23

0,8

+0,5

−0,11

−0,37

−0,25

−0,11

0,87

= 0,95 (0,87 0,8 −0,37 0,23) +

+0,5(

−0,2

0,8

−0,2

−0,23

−0,11 0,8 −0,37 0,2) −0,25(0,11 0,23 + 0,2 0,87) = 0,95(0,696 −0,0851) −

−0,5(0,88 +0,74) −0,25(0,0253 + 0,174) = 0,58 −0,081−0,05 = 0,45.

17

Так как det (E − A) ≠ 0, то обратная матрица существует и единственна. Вычисляем алгебраические дополнения элементов матрицы Е – А:

A	=		0,87									− 0,37								= 0,61;							A		= −					− 0,5	− 0,25							= 0,34;
11					− 0,23							0,8															21							− 0,23	0,8
A	=					− 0,5					− 0,25					= 0,40.
31					0,87						− 0,37
A	= −							− 0,11				− 0,37										= 0,16;					A		=			0,95			− 0,25				= 0,71;
12										− 0,2		0,8																22		− 0,2					0,8
A	= −									0,95		− 0,25												= 0,38.
32										− 0,11		− 0,37
A	=					− 0,11								0,87				= 0,20;								A			= −				0,95		− 0,5					= 0,32;
13						− 0,2						− 0,23															23							− 0,2	− 0,23
A	=					0,95						− 0,5		= 0,77.
33						− 0,11						0,87
Матрица полных затрат имеет вид
																												0,61				0,34			0,40								1,36	0,76	0,89
										S =		(E − A)−1 =													1			0,16				0,71			0,38	=							0,36	1,58	0,84	.
												0,45
																												0,20				0,32			0,77								0,44	0,71	1,71

Отсюда следует, что например, для выпуска единицы продукции отраслями I, II, III необходимо затратить продукции отрасли III соответственно 0,44; 0,71 и 1,71 единиц.

3.			Для заданного конечного продукта Y рассчитаем соответствующий
валовой выпуск						X	по формуле (2):
								1,36		0,76		0,89			50				1,36 50 + 0,76 30 + 0,89				20
								0,36		1,58		0,84			30		=			0,36	50	+1,58 30 + 0,84	20		=
	X = (E − A)−1Y =
								0,44		0,71		1,71			20					0,44	50	+ 0,71 30 +1,71	20
			68 + 22,8 +17,8						108,6
			18 + 47,4 +16,8
=									= 82,2		.
			22 + 21,3 + 34,2							77,5

18

Таким образом, чтобы обеспечить заданное увеличение компонент вектора Y конечного продукта, необходимо увеличить соответствующие валовые выпуски: в отрасли I на 8,6%; в отрасли II – на 17,43%, в отрасли III – на

77,5 − 60 100% = 29,17% по сравнению с исходными данными.

60

Задание 2. Даны вершины треугольника А (1; 7), В ( 3; 4) и С (-2; - 3). Найти: а) уравнение стороны (АВ); б) уравнение высоты (СН); в) уравнение медианы (АМ); г) точку пересечения медианы (АМ) и высоты (СН); д) расстояние от точки С до прямой (АВ).

Сделаем схематический рисунок треугольника АВС.

C

M

A

Н

B

Рис. 1

а) Уравнение стороны (АВ) запишем по формуле

x − x A

=

y − y A

.

xB − x A

x −1

y − 7

x −1

y − 7

yB − y A

=

;

=

; − 3(x −1) = 2( y − 7); − 3x + 3 = 2 y −14.

3 −1

2

− 3

4 − 7

Общее уравнение прямой (АВ): 3x + 2 y −17 = 0.

б) Угловой коэффициент прямой (АВ) определим из ее уравнения,

записав его в виде y = kx + b , т.е. 2 y = −3x +17;			y = −	3		x +		17	k AB = −	3	.
										2
			2				2
Тогда угловой коэффициент прямой (CH ) ( AB) определим из условия
k AB kCH = −1, kCH =	2	.
3					2
Уравнение прямой (СН): y − yC = kCH (x − xC );			y + 3 =				(x + 2);
3y + 9 = 2x + 4.			3

19

Общее уравнение высоты (СН): 2x − 3y − 5 = 0.

в) Находим координаты точки М – середины отрезка [CB]

xC + xB

− 2 + 3

1

yC + yB

−

3 + 4

1

1

1

xM =

=

=

; yM

=

=

=

; M

;

.

2

2

2

2

2

2

2

x − xA

y

− y A

2

Уравнение медианы (АМ):

=

;

xM

− x A

yM

− y A

x −1

=

y − 7

;

x −1

=

y − 7

; 13(x −1) = y − 7;

0,5 − 7

− 0,5

0,5 −1

− 0,5

Общее уравнение медианы (АМ): 13x − y − 6 = 0.

г) Точку пересечения медианы (АМ) и высоты (СН) получим, решив систему из уравнений этих прямых:

2x − 3y − 5 = 0,

2x − 3(13x − 6) − 5 = 0,

− 37x +13 = 0,

− 6.

13x − y − 6 = 0.

y =13x

y =13x − 6.

13

13 13

169

− 222

53

13

53

x =

; y =

−

6 =

= −

,

D

; −

или D (0,35;−1,43).

37

37

37

37

37

37

д)

Расстояние

от

точки M1 (x1, y1 ) до

прямой ax + by + c = 0

вычисляется по формуле d = ax1 + by1 + c .

a 2 + b2

Расстояние от точки С (-2;-3) до прямой (АВ) 3x + 2 y −17 = 0

d = 3 (−2) + 2 (−3) −17 =

− 6 − 6 −17 =

29

=8,03.

32 + 22

13

13

20

Построим в системе координат АВС, прямые (СН), (АМ), т. D.

y

7 A

4	B

H

M

-2

1

3

x

		D
	C	-2
		-3

Рис.2

Задание 3. Найти пределы функций:

а) lim 3x2 − 5x +1 . x→∞ 4x 2 + 2x + 3

При x → ∞ числитель и знаменатель неограниченно возрастают, получаем неопределенность вида ∞∞ . Чтобы найти предел, преобразуем

данную дробь делением числителя и знаменателя на старшую степень многочленов в числителе и знаменателе, т.е. на x2 . Получим

					5					1
	3x2 −				3 −					+ x2
lim		5x +1		= lim			x
					2					3
x→∞ 4x2 +		2x + 3 x→∞
					4 +
							x			x2
	б) lim		x + 2 − 2x − 5 .
	x→7		x2 + 49

5

1

lim

3

−

+

x

x2

3 − 0 + 0

3

=

x→∞

=

=

= 0,75.

2

3

4 + 0 + 0

4

lim

4

+

+

x

x 2

x→∞

21

При x → 7 числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю, получаем неопределенность вида 00 . Чтобы раскрыть неопределенность данного

вида, надо сократить на множитель, стремящийся к нулю, т.е. на (x − 7) .

В знаменателе раскладываем на множители, а в числителе избавимся от иррациональности умножением на сопряженное выражение

lim

x + 2 − 2x − 5 = lim (

x + 2 − 2x − 5)( x + 2 +

2x − 5) =

x→7

x2 − 49

x→7

(x 2 − 49)( x + 2 +

2x − 5)

= lim

x + 2 − 2x + 5

= lim

− (x − 7)

=

x + 2 +

2x −

5)

7)(

x + 2 +

x→7 (x2 − 49)(

x→7 (x − 7)(x +

2x − 5)

=

−1

=

−1

=

−1 = −0,012.

(7

+ 7)( 7 + 2 + 14 − 5)

14 6

84

cos2

6x − cos2

4x

=

0

в)

lim

.

8x2

x→0

0

Для раскрытия неопределенности в случае наличия тригонометрической

функции используем первый замечательный предел lim

sin t

=1.

t

cos2 6x −cos2

4x

1

(cos6x −cos 4x)(cos6x +cos 4x)

t→0

lim

=

lim

=

8x2

x2

x→0

8 x→0

=

1 lim cos6x −cos 4x lim(cos6x + cos 4x) =

8 x→0

x2

x→0

2 lim

−2sin

6x + 4x

sin

6x − 4x

= −1lim sin5x sin x

=

2

2

=

x2

8 x→0

2

x→0

x2

= −

1 lim sin5x

5

sin x = −

5 1 1

= −5

= −2,5.

2 x→0

5x

x

2

2

г)

lim

arctg 6x

= lim

arctg 6x

= lim

1

lim

arctg 6x

=

x(x + 4)

x→0 x2 + 4x

x→0

x→0 x + 4

x→0

x

1

arctg 6x

arctg 6x = y

1

y 6

=

lim

=

6x = tg y

=

lim

=

x

4 x→0

x → 0, тои y →

0

4 y→0 tg y

=

6

lim

y cos y

=

3

lim

y

lim

cos y =

3

1 1 =1,5.

sin y

sin y

4 y→0

2 y→0

y→0

2

Задание 4. При нахождении производной заданных функций следует пользоваться таблицей производных основных элементарных

22

функций, правилами дифференцирования и теоремой о дифференцировании сложной функции. Приведем некоторые формулы:

	1.	(xn )′ = n xn−1,					6.	(cos x)′ = −sin x,
	2. (a x )′ = a x ln a,						7. (tg x)′ =			1			,
									cos2
												x
	3.	(e x )′ = e x ,					8.	(ctg x)′ = −				1			,
											sin 2
														x
		′	1						′					1
	4.	(ln x)	=		,		9.	(arcsin x)		=								,
				x								1 − x				2
	5.	(sin x)′ = cos x ,							′					1
							10. (arctg x)			=							.
												1 + x2
		Правила дифференцирования:
1.		(C)′ = 0,			C − const,

2.(C u (x))′ = C u′(x),

3.(u (x) ± v (x))′ = u′(x) ± v′(x),

4.(u (x) v (x))′ = u′(x) v (x) + u (x) v′(x),

	u (x)			′	′	′
					u (x) v (x) − u	(x) v (x)
5.				=			, v (x) ≠ 0.
					v 2 (x)
	v (x)

Если y = f [ϕ(x)],

т.е. y = f (u),

u =ϕ(x) - сложная функция, то

y′x = f ′(u) ϕ′(x) .

Примеры. Найти y′:

а)

y = 4 x9 + 8 −5x7 +

10 ;

x

x6

′

′

y

′ =

9

4 + 8 x−1 − 5x

7

+10x−6

9

4

x

= x

+ 8(x−1 )′ − 5(x7 )′ +10 (x −6 )′ =

=

9

x

5

4

−8x−2 − 35x6

− 60x−7 = 2,25x 4

x −

8

− 35x6 −

60

.

4

x2

x7

б)

y = (x3 − 4x2 + 6) sin 7x;

y′ = (x3 − 4x2 + 6)′ sin 7x + (x3 − 4x2 + 6) (sin 7x)′ = (3x2 − 8x) sin 7x + + 7(x3 − 4x2 + 6) cos 7x.

23

в)

y =

3x 2

+ 4x + 7

=

3x2 +

4x + 7

;

(2x +

3)(3x −1)

6x2 +

7x − 3

(3x

2

+ 4x

+

′

2

+ 7x − 3) − (3x

2

+ 4x + 7)(6x

2

+ 7x −

3)

′

y′ =

7) (6x

=

(6x 2 + 7x − 3)2

=

(6x

+ 4)(6x 2

+ 7x − 3) − (3x 2 + 4x + 7)(12x + 7)

=

(6x 2 + 7x − 3)2

=

36x3 + 42x 2

−18x + 24x 2 + 28x −12 − 36x3 − 21x 2 − 48x 2 − 28x − 84x − 49

=

(6x 2 + 7x − 3)2

=

− 3x 2 −102x − 61

.

(2x

+ 3)2 (3x

−

1)2

г) y = ln (x + 4) tg2x;

1

2

y′ = (ln (x + 4))′ tg2x + ln (x + 4) (tg2x)′ =

tg2x + ln (x

+ 4)

=

x + 4

cos2 2x

=

sin 2x

+

2 ln (x + 4)

=

0,5 sin 4x + 2(x + 4) ln (x + 4)

.

(x + 4) cos 2x

cos2 2x

(x + 4) cos2 2x

д)

y = cos 3x ctg(x4 );

y′ = (cos 3x)′ ctg(x4 ) + cos 3x (ctg(x4 ))′ = −3sin 3x ctg x 4 − 4x3 ×

× cos 3x

1

.

sin 2 x4

Задание 5. Пусть a = 5,

b = 4,

c =19, x =12,

x = 2,

C(x) = ln (5x2 − 4x +19).

При

переходе

от

x =12 к

значению x +

x =12 + 2 =14

функция

C(x)

получит приращение, равное

C(x) = C(x +

x) − C(x).

Изменение издержек определится величиной

C = C(14) − C(12) = ln (5 142 − 4 14 +19) − ln (5 122 − 4 12 +19) =

= ln

5 196 − 56 +19

= ln

943

= ln1,365 = 0,3109.

5 144 − 48 +19

691

При

увеличении

объема

выпуска с 12 ед.

до

14

ед. издержки

увеличатся на 0,3109. Дифференциал функции C(x) в точке x численно равен

24

′

x.

dC = C (x)

Находим производную функции C(x)

′

10x − 4

C (x) =

.

5x2 − 4x +19

′

10 12 −4

120 −

4

Тогда dC(12) = C (12) (14 −12) =

2 =

2

= 0,336.

5 122 −4 12 +19

691

При

малых

приращениях

x

получаем

приближенное равенство

C ≈dC.

C(12) = 0,31;

dC(12) = 0,34.

Задание 6. Исследуем функцию

y = (x −1)3 − 3x + 4

на экстремум,

выпуклость, вогнутость, точки перегиба и построим график.

Областью

определения

функции

является вся

числовая

ось:

D( y) = R. Находим первую производную y′ и приравниваем ее нулю.

y′ = 3(x −1)2 − 3, 3(x −1)2 − 3 = 0, (x −1)2 =1,

x −1 = ±1,

x =1 ±1, x1 = 0, x2 = 2.

Отметим знак производной на интервалах (−∞; 0);

(0 ; 2); (2 ; + ∞) :

−

Знак y′

+

+

2

0

2

x

′

− 3 =12 − 3 = 9 >

0;

′

y (−1) = 3 (−2)

y (1) = −3 < 0;

′

3 2

2

− 3

=12 − 3 = 9 > 0.

y (3) =

Значит, на интервалах (−∞; 0)

и

(2 ; + ∞) функция

возрастает,

а на

интервале (0; 2) – убывает.

x = 0

-

точка

максимума, x = 2 -

точка

минимума,

ymin (2) = (2 −1)3 = 3 2 + 4 =1 − 6 + 4 = −1,

ymax (0) = (−1)3 + 4 = 3.

Для исследования графика функции на выпуклость, вогнутость и точки перегиба находим вторую производную функции y′′.

y′′ = 6(x −1), y′′ = 0 6(x −1) = 0 x =1.

Знак y′′

− +

1

x

25

y′′ > 0,	если	x >1,	значит	график	функции	на	интервале (1; ∞)
вогнутый.
y′′ < 0,	если	x <1,	значит	график	функции	на	этом интервале
выпуклый.

x =1, y = 0 − 3 + 4 =1. Точка (1; 1) – точка перегиба графика функции. Строим график.

y

3

2

1

-1

1

2

3

x

-1

Рис.4

Задание 7. D = D(x) = 3x(x + 6) , α = 3, β = 6, γ =11. x 2 +11

1.Область определения: x ≥ 0, т.к. по смыслу D(x) ≥ 0.

2.Точка (0; 0) принадлежит графику D = D(x).

3.Находим производную D′.

x

2 + 6x

′

(2x + 6)(x2 +11) − (x2

+ 6x) 2x

′

= 3

2

= 3

2

2

=

D (x)

+11

(x

+11)

x

= 3

2x3 + 22x + 6x2 + 66 − 2x3 −12x2

= 3

−

6x2 + 22x

+ 66

=

(x2

+11)2

(x2 +11)2

= −6

3x2 −11x − 33

.

(x2

+11)2

4. Приравниваем производную нулю

26

′

3x2 −11x − 33

2

D (x)

= 0,

− 6

= 0,

3x

−11x − 33

= 0.

(x2 +11)2

x = 11

±

121

+12 33 = 11 ±

517

= 11 ± 22,74 ;

1,2

6

6

6

x > 0,

x

=

11 + 22,74

= 5,62.

1

6

			′
			Знак D (x)
[	+		−
		5,62	x
0

′

3 −11 − 33

′

108 − 66 − 33

54

D (1)

= (−6)

=1,71 > 0;

D (6)

= (−6)

= −

< 0.

(1 +11)2

472

472

На

промежутке

[0; 5,62)

функция

D = D(x) возрастает, а на

промежутке (5,62; +∞) – убывает.

Точка x1 = 5,62 - точка локального максимума, т.к. в окрестности этой точки производная D′(x) меняет знак с плюса на минус.

Найдем максимальное значение функции D(x).

				x 2		+ 6x		5,622 +	6 5,62
D	max	(x	) = 3	1		1	= 3			= 4,60.
		1		x	2	+11		5,622 +11
				1

5. Вертикальных асимптот у графика D = D(x)

нет. Ищем наклонные

асимптоты в виде D = k x + b.

1

6

+

k =

lim

D(x)

=

lim

3x(x + 6)

= 3

lim

x + 6

= 3

lim

x

x2

= 0,

11

x→+∞

x

x→+∞ x(x2 +11)

x→+∞ x2 +11

x→+∞

1

+

x2

6

3(x 2 + 6x)

1 +

b =

lim (D(x) − k x)= lim D(x) =

lim

= 3

lim

x

= 3.

x→+∞

x→+∞

x→+∞

x2 +11

x→+∞

1

+

11

x2

Следовательно, при x → +∞ прямая D = 3 – горизонтальная асимптота. 6. Строим график y = D (x)

27

x	7	8	9	12	30	40
D (x)	4,55	4,48	4,40	4,18	3,55	3,43

y = D(x)

6
5
4
3
2
1
1	2	3	4	5 x	6	7	8	9	x
				1

Рис. 5

28