Аналогично, x

= −1

и

x

= −5 –

корни

уравнения

2x2 +11x +5 =0,

1

2

2

1

тогда

2x

2

+

(x

+5)=(2x +1)(x +5). Подставляя в предел,

+11x +5 = 2 x

2

получим:

2

2x

35

= 0

= lim (

)(

) = lim

x

7

=

12 = 4 .

lim

x

2

x −7

x

+5

−

−

−

−

x→−5

2x +11x +5

0

x→−5

(2x +1)(x +5)

x→−5

(2x +1)

−9

3

3) lim

2x −1

−2x−4

.

x→∞

2x + 4

Имеем неопределенность вида 1∞ . Для ее раскрытия воспользуемся вторым замечательным пределом. Для этого прибавим и вычтем в скобке 1, и (-1) приведем к общему знаменателю с дробью:

		2x −1 −2x−4		∞				2x −1	−2x−4
lim				=(1	)= lim	1	+		−1	=
								2x + 4
x→∞		2x + 4			x→∞

2x −1−2x − 4 −2x−4

−5

−2x−4

= lim

1

+

= lim

1

+

.

2x + 4

2x +

4

x→∞

x→∞

Преобразуем показатель степени:

(−2 x−4)

−5

2x+4

2 x+4

2x −

1

−2x−4

−5

−5

lim

= lim

1

+

=

2x +

2x +

4

x→∞

4

x→∞

lim

(−2 x−4)

−5

lim 10x+20

= ex→∞

2 x+4 = ex→∞ 2x+4 = e5.

2. Непрерывность функции.

Теоретические сведения.

Непрерывность функции определяется в точках, принадлежащих области определения.

Функция f (x) называется непрерывной в точке x0 D( f ) , если в точке x0 существуют односторонние пределы функции, они равны между собой и равны значению функции в точке x0 , т. е. если

lim	f (x) = lim f (x) = f (x0 ) или f (x0 −0) = f (x0 +0) = f (x0 ) .
x→x0 −0	x→x0 +0

Те точки области определения, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва функции.

48

Классификация точек разрыва. Если точка разрыва функции f (x)

принадлежит множеству D( f ) и является двухсторонней предельной точкой этого множества, то различают разрывы двух видов.

1.Функция f (x) имеет в точке x0 разрыв первого рода, если в

этой точке существуют односторонние пределы функции, но по крайней мере один из них не равен значению данной функции в точке x0 . При этом возможны случаи:

f (x0 −0) = f (x0 +0) ≠ f (x0 ) ,

в этом случае f (x) в точке x0 имеет устранимый разрыв; если

			f (x0 −0) ≠ f (x0 +0) ,
то в этом случае			f (x) в точке x0		имеет разрыв с конечным скачком.
При этом число			f (x0 −0) − f (x0 +0)		называют скачком функции f (x) в

точке x0 .

2.Функция f (x) имеет в точке x0 разрыв второго рода, если в

этой точке по крайней мере один из односторонних пределов бесконечен или не существует.

Отметим важное свойство элементарных функций. Элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

Функция f (x) называется непрерывной на отрезке [a;b], если она непрерывна в каждой точке этого отрезка, причем в точке а она

непрерывна	справа ( f (a +0) = f (a) ), а	в точке					b -			слева
( f (b −0) = f (b) ).
	Аудиторные задания.					3x +3
1. Установить область непрерывности функции y =									и найти
						2x + 4
ее точки разрыва.
		x2
				−9			, x ≠ 3,
2. При	каких значениях А функция									будет
				−	3
		f (x) = x
				A, x =3

непрерывной в точке x =3 ? Построить ее график.

Индивидуальные задания.

Исследовать данные функции на непрерывность и построить их графики.

		x + 4, x <1,			x +1, x ≤ 0,
1.			2.
	f (x) = x2 + 2,−1 ≤ x <1,			f (x) = (x +1)2 ,0 < x ≤ 2,
		2x, x ≥1.			−x + 4, x > 2.

49

		x + 2, x ≤ −1,			−x, x ≤ 0,
3.
	f (x) = x2 +1,−1 < x ≤1,			4. f (x) = −(x −1)2 ,0 < x < 2,
		−x +3, x >1.			x −3,	x ≥ 2.
		Решение типового варианта.					x −1, x ≤ 0,
	Исследовать данную функцию на непрерывность					f (x) =		< x < 2,
							x2 ,0
							2x,	x ≥ 2.
	Решение. Функция f (x)
			определена и непрерывна на интервалах

(−∞;0), (0;2) и (2;+∞), где она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, разрыв возможен только в точках x1 = 0 и

x2 = 2 .

Исследуем на непрерывность функцию в точке x1 = 0 . Для этого

вычислим односторонние пределы и значение функции в точке x1 = 0 . Имеем:

f (0 −0) = lim

f (x) = lim

(x −1)= −1,

x→0−0

x→0−0

f (0 +0) = lim

f (x) = lim

x2 = 0,

x→0+0

x→0+0

f (0) =(x −1)

x=0 = −1.

x1 = 0

Так как

f (0 −0) ≠ f (0 + 0) ,

то в точке

данная

функция

имеет

разрыв

с

конечным

скачком,

и

этот

скачок

равен

f (0 −0) − f (0 + 0)

=

−1+ 0

=1.

Для точки x2 = 2 имеем:

f (2 −0) = lim

f (x) = lim

x2 = 4,

x→2−0

x→2−0

f (2 +0) = lim

f (x) = lim

2x = 4,

x→2+0

x→2+0

f (2) = 2x x=2 = 4.

Так как f (2 −0) = f (2 +0) = f (2) , то в точке x2 = 2 функция непрерывна.

Занятие 4. Производная. Теоретические сведения.

Предел отношения приращения функции y к приращению

аргумента x при произвольном стремлении x к нулю называется

производной функции y = f (x) в точке x и обозначается одним из следующих символов: y′, f ′(x) , dydx . Таким образом

50

	′	′	dy		y		f (x + x) − f (x)
y		= f (x) =		= lim		= lim		.
			dx		x		x
				x→0		x→0

Если указанный предел существует, то функцию f (x) называют

дифференцируемой в точке x , а операцию нахождения производной y′ – дифференцированием.

Если С– постоянное число и u =u(x) , v = v(x) – некоторые

дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1.(u ±v)=u′± v′;

2.(Cu)′ =Cu′;

3.(uv)′ =u′v +v′u ;

4.u ′ = u′v −2 uv′ (v ≠ 0) .

v v

Производная сложной функции. Если y = f (u) , u =ϕ(x) , т.е. y = f (ϕ(x)) – сложная функция, составленная из дифференцируемых функций, то y′x = yu′u′x .

Таблица производных основных элементарных функций

′

′

1

1.

(uα ) =αuα−1u′

(α R);

9.

(ctg u) = −

u′;

sin2 u

2.

(au )′ = au ln a u′;

10.

(arcsin

u)′ =

1

u′;

1−u2

3.

(eu )′ = euu′;

′

1

′

1

11.

(arccos

u)

= −

1−u2 u

4.

(loga u)′ =

u′;

u ln

a

u)′ =

1

5.

(ln u)′ = 1 u′

;

12.

(arctg

u′

;

1

+u

2

′

u

′

1

6.

(sin u)

= cos u u′;

13.

(arcctg

u)

= −

u′;

1+u2

7.

(cos u)′ = −sin u u′;

′

1

8.

(tg u)

=

u′;

cos2 u

Аудиторные задания.

1. Найти производные следующих функций:

x4 +1

1) y =5x4 −37 x3 + 7 / x8 +12 ;

2) y = x5 sin x ;

3)

y =

.

x4 −1

51

2.Используя формулы и правила дифференцирования, найти производные данных функций:

1)

y = ex tg 3x ;

tg2 3x

2)

y =sin5 (3x2 +1);

9) y = ln4 x ;

3)

y = ln3 (x −2−x );

10)

y = x3tg5x ;

11)

y = x ctg

2

(7x + 2);

y = x sin2 x 2x2 ;

4)

12)

y = 3 x4 + sin4 3x ;

5)

y = x3 ln2 x ;

y =

(x −4)2

sin5x

13)

;

6)

y =

;

arccos 2x

2

e−x

14)

y = ex ln

sin x ;

7)

y =(x9 +1)cos5x ;

15)

y = arctg2x ;

8)

y =

tg5x

e x

;

e4x

2

Индивидуальные задания

Найти производные данных функций:.

Вариант 1					Вариант 2
1)	y =9x3 +5/ x −7 / x4 + 3 x7 ,				1)	y =3 x + 4/ x5 + 3 x2 −7 / x ,
2)	y = x2 sin3 3x ,				2)	y = 3 x (e3x −5),
		ln5x					arcsin2 x
3)	y = ex2		.		3)	y =	e	x		.
Вариант 3					Вариант 4
1)	y = x3 + 2/ x5 − 4/ x5 −5x3 ,				1)	y = 7x2 +3/ x − 5 x4 +8/ x3 ,
2)	y =3xln (1− x),				2)	y =(xe2x +3)5 ,
3)	y =	ln x
				.		y =	ln3 x		.
		arcctgx2			3)
							sin3x
				Решение типового варианта
	Найти производные данных функций:
	1) y = 6/ x4 −3/ x +3x3 − x ,
	2) y = e2x sin3 (7x +3),

52