9	x3	;	17	x3		, x3	R.
Запишем ответ:				7		; x3
7

Занятие 2. Линейные операции над векторами. Прямая на плоскости.

1. Линейные операции над векторами. Теоретические сведения.

Вектором называется направленный отрезок. Вектор с началом в

точке А и концом в точке В обозначается символом AB (или одной буквой, a , b ,…). Длина отрезка АВ называется длиной, или модулем вектора AB и обозначается | AB |.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Условие коллинеарности двух

векторов a = (xa ; ya ;

za ) и

= (xb ;

yb ; zb ) записывается в виде

b

xa

=

ya

=

za

.

x

y

z

b

b

b

К линейным операциям над векторами относятся:

1.

Умножение вектора на число. Произведением вектора a ≠ 0

на число λ ≠ 0 называется вектор λa , длина которого равна | λ |

a

,

а

направление совпадает с направлением вектора

a ,

если λ > 0 ,

и

противоположно ему, если λ < 0 .

Суммой двух

векторов

a

и

2.

Сложение

векторов.

называется вектор

c , соединяющий начало вектора

a с концом

b

вектора

, отложенного от конца вектора a . Обозначается c = a +

.

b

b

Для геометрического представления суммы векторов используют

правила «треугольника» и «параллелограмма».

векторов a

3.

Вычитание векторов.

Разностью двух

и

b

называется такой вектор c , который нужно сложить с вектором b , чтобы получить a .

Пусть даны два вектора a = (xa ; ya ;

za ) ,

= (xb ; yb ;

zb ) . Тогда:

b

1.

a ±

= (xa ± xb ; ya ± yb ; za ± zb ) ;

b

2.

λa = (λxa ; λya ; λza ) ;

3.

| a |= x

2 + y

2 + z 2 .

a

a

a

Если начало и конец вектора в прямоугольной системе координат

заданы координатами A(x1; y1;

z1) и

B(x2;

y2; z2 ) ,

тогда вектор

AB

имеет координаты

= (x2 − x1;

y2 − y1;

z2 − z1) ,

тогда длина вектора

AB

AB

вычисляется по формуле |

|=

(x − x )2 + ( y

− y )2 + (z

− z )2 .

AB

2

2

2

1

1

1

40

Скалярным произведением двух векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

a b =| a || b | cosϕ,

где ϕ – угол между векторами a и					b	(0 ≤ϕ ≤π ).
		Если векторы a и		заданы своими координатами:					a = (xa , ya , za ) ,
			b
		= (xb , yb , zb ) , то скалярное произведение векторов a и							определяется
	b						b
формулой

a b = xa xb + ya yb + za zb .

Тогда косинус угла между двумя векторами вычисляется по формуле:

a

xa xb + ya yb + za zb

cosϕ =

b

, т.е. cosϕ =

.

| a | |

|

2 + ya

2 + za

2 xb

2 + yb

2 + zb

2

b

xa

Аудиторные задания.

1.Найти длину вектора a = (2;3;−6) .

2.Определить длины сторон параллелограмма, диагоналями которого служат векторы c = (2;−1;3) и d = (1;2;−1) .

3.Найти скалярное произведение векторов a = (3;4;7) и b = (2;−3;2) .

4. Найти скалярное произведение векторов a и b , если a =8 , b =5 ,

аугол между ними ϕ = π3 .

5.Найти угол между векторами a = (1;2;3) и b = (6;4;−2) .

Индивидуальные задания

По координатам точек A, B, C для указанных векторов найти: а) модуль вектора a ;

б) скалярное произведение a b ; в) угол между векторами a и b .

Вариант	1	2	3	4
А	(2;-3;0)	(2;2;7)	(3;-3;1)	(1;4;-1)
В	(1;1;-4)	(0;1;6)	(5;1;-2)	(-2;4;-5)
С	(3;-2;0)	(-2;5;7)	(4;1;-3)	(8;4;0)
a	AB + AC	AB −3BC	AB + 2AC	2AB + AC
b	BC −2AC	2AB + AC	4AC − BC	AB −3BC

Решение типового варианта.

А(-1;2;-3); В(3;4;-6); С(1;1;-1); a = 4AB +3BC ; b = AB −2AC .

41

Найдем координаты векторов AB ; BC ; AC , зная, что для того чтобы найти координаты вектора надо от координат конца отнять координаты начала, то есть xAB = xB − xA ; yAB = yB − yA ; zAB = zB − zA . Тогда получаем:

AB = (4;2;−3) ; BC = (−2;−3;5) ; AC = (2;−1;2) .

Тогда:

a= 4AB +3BC = 4(4;2;−3) +3(−2;−3;5) = (10;−1;3) ;

b= AB −2AC = (4;2;−3) − 2(2;1;−2) = (0;4;−7) .

а) Модуль вектора a = (xa ;						ya ; za ) найдем по формуле
| a |= x 2	+	y 2	+	z 2	= 102	+ (−1)2 +32 = 110 .
a		a		a

б) Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами a = (xa , ya , za ) , b = (xb , yb , zb ) определяется по формуле

a b = xa xb + ya yb + za zb =10 0 + (−1) 4 +3 (−7) = −25.

в) Косинус угла между двумя векторами вычисляется по формуле:

a

cosϕ =

b

.

Так

как

a

= −25 , а

b

= 02 + 42 + (−7)2 = 65 , то

b

| a | | b |

a

−25

5

.

cosϕ =

b

=

= −

| a | | b |

110

65

286

2. Прямая на плоскости. Теоретические сведения.

Различные виды уравнений прямой на плоскости: 1. Общее уравнение прямой:

Ax + By +C = 0 ,

где А, В, С – некоторые числа, причём А и В одновременно не обращаются в нуль. Вектор n = ( A, B) перпендикулярен прямой и

называется нормальным вектором прямой.

2 . Уравнение прямой по точке и нормальному вектору:

A(x − x0 ) + B( y − y0 ) = 0 ,

где А, В – координаты нормального вектора, а точка М(x0 ; y0 ) –

координаты точки, которая лежит на прямой.

3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y = kx + b,

где k – угловой коэффициент прямой ( k = tg α , где α – угол между

прямой и положительным направлением оси Ох), а b – ордината точки пересечения прямой с осью Оу.

4. Уравнение прямой по точке М(x0 ; y0 ) и угловому коэффициенту k: y − y0 = k(x − x0 ) .

42

5. Уравнение прямой в отрезках:

ax + by =1,

где a, b – величины длины отрезков, которые прямая отсекает на координатных осях OX и OY соответственно.

6. Уравнение прямой по двум точкам. Если известны координаты двух точек прямой M1 (x1; y1 ) , M2 (x2 ; y2 ) , то прямую можно задать

уравнением:

x − x1			=	y − y1			,
x	2	− x		y	2	− y
		1				1

где M1 (x1; y1 ) , M2 (x2 ; y2 ) - точки, принадлежащие прямой.

Взаимное расположение прямых на плоскости.

Углом между прямыми будем называть наименьший из двух смежных

углов, образованных этими прямыми.

A1 x + B1 y +C1 = 0 ,

1. Если

прямые заданы общими уравнениями

A2 x + B2 y +C2

= 0 , то угол ϕ между ними находится из формулы

cosϕ =

n1 n2

=

A1A2 + B1B2

.

n1

n2

A12 + B12 A22 + B22

Условие параллельности этих прямых имеет вид: A1 = B1 ≠ C1 .

A2 B2 C2

Условие перпендикулярности этих прямых: A1A2 + B1B2 = 0 .

2. Если прямые заданы уравнениями y = k1x +b1 и y = k2 x +b2 , то угол ϕ между ними (с точностью до смежного) находится по формуле:

	tgϕ =		k2 − k1	.
			1 + k1k2		k1 = k2 ,	и
Прямые	параллельны, если	выполняется равенство
перпендикулярны, если k1 k2 = −1.
Расстояние от точки M (x0 ; y0 ) до прямой Ax + By +C = 0					вычисляется
по формуле:		| Ax0 + By0 +C | .
	d =
			A2 + B2
	Аудиторные задания.
1. Дано	общее уравнение	прямой 12x −5y −65 = 0 . Написать:				а)

уравнение с угловым коэффициентом; б) уравнение в отрезках на осях.

43

2. Записать уравнения прямых, проходящих через точку A(3;−1) и

параллельной: а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) биссектрисе первого координатного угла; г) прямой y = 4x +5.

3.Записать уравнение прямой проходящей через точку A(−1;3) и перпендикулярно прямой 2x −3y +8 = 0 .

4.Записать уравнение прямой проходящей через точку O(0;0) и

образующей угол π4 с прямой y = 2x +5.

5.Точка A(2;−5) - вершина квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой x −2 y −7 = 0 . Найти площадь квадрата.

6.Написать уравнения сторон ромба с диагоналями 10 и 6 см, приняв большую диагональ за ось абсцисс и меньшую за ось ординат.

Индивидуальные задания.

Пусть заданы координаты точки M (x; y) и общее уравнение прямой l : Ax + By +C = 0 . Найти:

а) угловой коэффициент прямой l ;
б) уравнение прямой l1 , проходящей через точку M							и параллельной
прямой l ;				l2 , проходящей		через		точку M и
в)	уравнение прямой
перпендикулярной прямой l ;
г) расстояние от точки M до прямой l .
	Вариант	1		2		3		4
	M	(3;4)		(-4;-5)		(-3;5)		(3;-2)
	l	6x − y −13 = 0	5x + 2 y −21 = 0		x −6 y −22 = 0			5x −2 y +17 = 0

Решение типового варианта.

Пусть M (2;5) и l :6x − y + 22 = 0 .

а) Для того, чтобы найти угловой коэффициент прямой l надо из общего уравнения выразить переменную y . Тогда угловой коэффициент

k будет равен коэффициенту стоящему при переменной x . В нашем случае получаем:

y = 6x + 22 , тогда k = 6 .

б) Так как прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны. Значит, угловой коэффициент искомой прямой k1 = k = 6 . Для

составления уравнения прямой l1 воспользуемся уравнением прямой по точке и угловому коэффициенту: y − y0 = k1(x − x0 ) . В нашем случае получим:

44

l1 : y −5 = 6(x − 2); y −5 = 6x −12;

y = 6x −7.

в) Так как прямые перпендикулярны, то произведение их угловых коэффициентов равно -1, то есть k k2 = −1. Значит, k2 = −1k = −16 . Для

составления уравнения прямой l2 воспользуемся уравнением прямой по точке и угловому коэффициенту: y − y0 = k1(x − x0 ) . То есть:

l2 : y −5 = −16 (x − 2); 6 y −30 = −x + 2;

x +6 y −32 = 0.

г) Для вычисления расстояния от точки до прямой воспользуемся формулой:

d = | Ax0 + By0 +C |	=			6 2 −1 5 + 22		=	29	.
				62 +(−1)2			37
A2 + B2

Занятии 3. Предел и непрерывность функции. 1. Предел функции.

Теоретические сведения.

Окрестностью точки x0 называется любой интервал с центром в точке x0 . Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки x0 кроме, быть может, самой точки x0 .

Тогда число А называется пределом функции f (x) в точке x0 , если для любого ε > 0 существует δ > 0 , такое, что для всех х таких, что

	x − x0		<δ, x ≠ x0	выполняется неравенство		f (x) − A		< ε . Если А – предел
функции f (x) в точке x0 , то пишут: lim f (x) = A .
				x→x0
	Операции над пределами.
	Пусть функции f (x) и g(x) определены в некоторой окрестности
точки x0 и lim				f (x) = A, lim g(x) = B . Тогда:
			x→x0	x→x0

1. Предел суммы (разности) этих функций равен сумме (разности) их пределов:

lim [f (x) ± g(x)]= A ± B .

x→x0

2. Предел произведения функций равен произведению их пределов:

lim [f (x) g(x)]= A B .

x→x0

45

3. Предел частного функций равен частному их пределов (при условии B ≠ 0 ):

lim f (x) = A . x→x0 g(x) B

4. Постоянный множитель можно выносить за знак предела функции:

lim α f (x) =α lim

f (x) =αA, α R .

x→x0

x→x0

5.

lim

f (x)g ( x)

= AB , где A ≠1, B ≠ ∞.

x→x0

Замечательные пределы:

sin x

0

Первый замечательный предел lim

x

=

=1.

x→0

0

Второй замечательный предел

1 x

1/α

∞

)= e .

lim 1+

= lim (1 +α)

=(1

x→±∞

x

α→0

Аудиторные задания.

1. Найти пределы функций:

1) lim

3x2 − 2x − 4

;

5)

lim

x2 + 4 −2

x

2

−5x − 2

2

x→1

x→0

16 + x

−4

7x2 +3x +5

2)

lim

;

6)

lim

7x

3

+ 4x

−8

;

−

10x + 2

x→∞ x3 −4x2

x − 2

2 + 4x2 +3x3

x→∞

4x−1

3)

lim

;

3x + 2

x3 −7x −10

7)

lim

;

x→∞

4) lim

3x

2

−3

;

x→∞

3x −1

x→1

8 + x −3

8) lim

2x2 − x −1

.

3x2 − x −

2

x→1

2. Найти пределы функций:

x + 2 −x+1

1) lim

sin3x

;

4)

lim

;

sin5x

x→0

x→∞

x −1

2) lim1−cos8x

;

5)

lim

3x + 2

4x−1

x→0

3x2

.

3) lim sin3x −sin x

x→∞

3x −1

x→0

3x

Индивидуальные задания.

Вычислить пределы:

46

Вычислить пределы:

2.

1.

2 + 4x +6x2

3x2 −2x +5

1)

lim

,

1)

lim

,

2x2

−3x −1

4x2

+5x −

81

x→∞

x→∞

2)

lim

2x2

−7x + 4

,

2)

lim

x2

+ x −12

,

20

3x2

−11x +

6

x→2 x2 −12x +

x→3

x + 4 −8−x

x −x−1

3)

lim

.

3)

lim

.

x→∞

x

+8

4.

x→∞

x +1

3.

4x2

x2 + 6x +1

1)

lim

+5x +3

,

1)

lim

,

x2 −3x +

5

2x2

− x +6

x→∞

x→∞

2)

lim

3x2

+ 2x −1

,

2)

lim

2x2

−9x +10

,

x2

− x − 2

x2 +3x −10

x→−1

x→2

2x −2x−1

x −1 −3x

x −1

−3x

3)

lim

.

3)

lim

lim

.

x→∞

2x +1

x→∞

x

x→∞ x

Решение типового варианта.

Найти пределы функций:

1+ 4x + 2x2

x2

−2x −35

2x −1 −2x−4

.

1) lim

, 2)

lim

, 3) lim

x2

2x

2 +11x

+5

x→∞

+5x +1

x→−5

x→∞

2x + 4

Решение.

1)

lim

3x2

−2x +5

,

2

+

5x −81

x→∞ 4x

∞

Имеем неопределенность вида

. Чтобы ее раскрыть, разделим

∞

числитель и знаменатель дроби под знаком предела почленно на х в наибольшей степени, т. е. на x2 :

1+ 4x + 2x2

∞

1

+

4x

+

2x2

1

+

4

+ 2

0 +0 + 2

2

x

2

x

2

x

2

x

lim

2

=

= lim

x

= lim

=

=2.

x

+5x +1

2

5x

1

5 1

1+0 + 0

x→∞

∞

x→∞

x

x→∞

+ x2

+

1+ x

+

x2

x2 −2x −35

x2

x2

2) lim

.

2x2 +11x +

5

x→−5

0

Имеем неопределенность вида

. Чтобы ее раскрыть, разложим

0

числитель и знаменатель дроби на множители, а затем под знаком предела сократим дробь на общий множитель x +5 ≠ 0 .

Так как x1 = 7 и x2 = −5 – корни уравнения x2 −2x −35 =0, то верно следующее равенство: x2 −2x −35 = (x −7)(x +5).

47