Ш. Системы счисления.

Способ записи чисел с помощью специальных знаков (цифр) называется системой счисления. В основе всякой системы счисления лежит следующий принцип: некоторое определенное число единиц составляет одну единицу следующего  высшего разряда. Это число называется основанием системы счисления. Система счисления - способ отображения чисел и правила действий над ними. Различают позиционные и непозиционные системы счисления.

Непозиционная система счисления - система счисления, в которой для обозначения чисел вводятся специальные знаки, количественное значение которых всегда одинаково и не зависит от их места в записи числа. Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой в качестве цифр используются латинские буквы.

Позиционная система счисления - система счисления, использующая для записи чисел ограниченное число знаков, интерпретация которых зависит от места в записи числа. В современной информатике используются в основном три позиционные системы счисления: двоичная, шестнадцатеричная и десятичная.

Двоичная система счисления используется для кодирования дискретного сигнала, потребителем которого является вычислительная техника. Такое положение дел сложилось исторически, поскольку двоичный сигнал проще представлять на аппаратном уровне. В этой системе счисления для представления числа применяются два знака – 0 и 1.

Шестнадцатеричная система счисления используется для кодирования дискретного сигнала, потребителем которого является хорошо подготовленный пользователь – специалист в области информатики. Используемые знаки для представления числа в этой системе – десятичные цифры от 0 до 9 и буквы латинского алфавита – A, B, C, D, E, F.

Десятичная система счисления используется для кодирования дискретного сигнала, потребителем которого является так называемый конечный пользователь – неспециалист в области информатики (очевидно, что и любой человек может выступать в роли такого потребителя). Используемые знаки для представления числа – цифры от 0 до 9.

Таблица перевода натуральных чисел трех систем счисления

Десятичная система	Двоичная система	Шестнадцатеричная система
0	0	0
1	1	1
2	10	2
3	11	3
4	100	4
5	101	5
6	110	6
7	111	7
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	A
11	1011	B
12	1100	C
13	1101	D
14	1110	E
15	1111	F

Существуют и другие позиционные системы счисления, например:

с основанием 3 – троичная; с основанием 5 – пятеричная; с основанием 8 – восьмеричная и т.д.

Для перевода чисел из одной системы счисления в другую существуют определенные правила. Они различаются в зависимости от формата числа – целое или правильная дробь. Для вещественных чисел используется комбинация правил перевода для целого числа и правильной дроби.

1. Правила перевода целых чисел

Результатом перевода целого числа всегда является целое число.

Перевод из десятичной системы счисления в двоичную и шестнадцатеричную:

а) исходное целое число делится на основание системы счисления, в которую переводится (на 2 - при переводе в двоичную систему счисления или на 16 - при переводе в шестнадцатеричную); получается частное и остаток;

б) если полученное частное меньше основания системы счисления, в которую выполняется перевод, процесс деления прекращается, переходят к шагу в). Иначе над частным выполняют действия, описанные в шаге а);

в) все полученные остатки и последнее частное преобразуются в соответствии с таблицей перевода в цифры той системы счисления, в которую выполняется перевод;

г) формируется результирующее число: его старший разряд – полученное последнее частное, каждый последующий младший разряд образуется из полученных остатков от деления, начиная с последнего и кончая первым. Таким образом, младший разряд полученного числа – первый остаток от деления, а старший – последнее частное.

Пример. Выполнить перевод числа 19 в двоичную систему счисления.

Решение.

Таким образом, 19 = 10011₂.

Пример. Выполнить перевод числа 123 в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение.

Здесь остаток 11 преобразован в шестнадцатеричную цифру В и после этого данная цифра вошла в число. Таким образом, 123 = 7В₁₆.

Пример. Переведем по тому же алгоритму десятичное число 106 в троичную систему.

Решение.

Для перевода из двоичной и шестнадцатеричной систем счисления в десятичную рассчитывается полное значение числа по формуле:

(1)

где n – количество разрядов числа, уменьшенное на 1,

i – порядок разряда,

m – основание системы счисления,

a_i – множитель, принимающий любые целочисленные значения от 0 до m-1, и соответствующий цифре i-го порядка числа.

Пример. Выполнить перевод числа 13₁₆ в десятичную систему счисления.

Решение.

13₁₆ = 1*16¹ + 3*16⁰ = 16 + 3 = 19.

Таким образом, 13₁₆ = 19.

Пример. Выполнить перевод числа 10011₂ в десятичную систему счисления. Решение.

10011₂ = 1*2⁴ + 0*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 16+0+0+2+1 = 19.

Таким образом, 10011₂ = 19.

Действия по переводу целых чисел из одной системы счисления в другую могут быть выполнены в стандартной программе пакета MS Office Калькулятор.

Алгоритм работы с системами счисления следующий:

1. С помощью переключателя Hex, Dec, Oct, Bin укажите в какой системе счисления выражается вводимое число (Hex – шестнадцатеричная, Dec – десятичная, Oct – восьмеричная, Bin – двоичная).

2. Введите число.

3. Щелкните переключатель, соответствующий той системе счисления, в которую следует перевести число.

4. В результате данной операции будет получен ответ.

Рис. 1. Перевод с помощью программы Калькулятор числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную.

Пример. В программе Калькулятор выполнить перевод числа 13₁₆ в десятичную систему счисления.

Алгоритм выполнения операции:

1. Нажать переключатель Hex;

2. Ввести 13;

3. Нажать переключатель Dec.

Получим число 19.