12. Обертання твердого тіла навколо нерухомої осі. Момент сили. Момент інерції тіла. Теорема Штейнера

Обертання твердого тіла навколо нерухомої осі. Момент сили.

Визначення. Абсолютно тверде тіло - це тіло, взаємне положення будь-яких точок, якого не змінюється, в яких би процесах воно не брало участь. Іншими словами – це тіло яке неможна деформувати.

В абсолютно твердому тілі силу можна переносити вдовж лінії дії сили.

Визначення. Лінія дії сили - це лінія, вздовж якої діє сила.

Визначення. Вісь обертання - це лінія навколо, якої може обертатися тіло.

Для кожного твердого тіла можна виділити безліч осей обертання, але її вибирають вісь так, щоб найбільше спростити розв’язок задач.

Момент сили M

1. Момент сили - це характеристика обертального руху тіла.

2. Визначення. Моментом сили відносно якої-небудь точки називається векторний добуток радіуса-вектора, проведеного в точку прикладання сили на цю силу.

3. Вектор моменту сили напрямлений перпендикулярно до площини, проведеної через вектори і, і утворює з ними праву трійку векторів (при спостереженні з вершини вектора М (рис. 1.7) видно, що обертання по найкоротшій відстані віддо відбувається проти годинникової стрілки).

4. , де - радіус-вектор, проведений з точки О в точку прикладання сили. Значення модуля моменту сили можна знайти за формулою, деlплече сили (найкоротша відстань від точки О до лінії дії сили).

4. [М] = Н·м (Ньютон·метр).

* Момент сили відносно якої-небудь точки дорівнює нулю, якщо лінія дії сили проходить через цю точку.

* Якщо лінія дії сили паралельна осі, або перетинає її, то момент сили відносно цієї осі дорівнює нулю.

Момент інерції тіла Ј (йота)

1. Характеризує інертні властивості тіл при їх обертанні.

2. Визначення. Моментом інерції Ј_z тіла відносно осі z називається сума добутків мас точок цього тіла на квадрати відстаней від цих точок до осі.

3. Це скалярна величина

4.

Де m_i- маса i-тої точки, r_i - найкоротша відстань від i-тій точки до осі z.

Для суцільних тіл момент інерції визначається через інтеграл

Де r - відстань від елемента маси тіла dm до осі z.

[Ј] = кг·м²

* Моменти інерції однорідних тіл простої геометричної форми зазвичай можна знайти в таблиці, а складної - визначають експериментально.

Теорема Штейнера

1. Дозволяє розрахувати момент інерції тіла щодо довільної осі.

2. Визначення. Якщо для будь-якого тіла відомий його момент інерції Ј_kc щодо осі x_c, що проходить через центр мас С тіла (рис. 1.8), то момент інерції цього тіла відносно осі x₁, паралельної x_c, дорівнює.

3. деm - маса тіла, a - найменша відстань між осями x₁ і x_c.

4. Застосовують для обертання абсолютно твердого тіла.

13. Основний закон динаміки обертального руху. Умови рівноваги тіл

1. Встановлює зв'язок між моментом сил прикладених до тіла і кутовим прискоренням.

2. Визначення. Для тіла, що обертається навколо осі сума моментів сил діючих на тіло дорівнює добутку моменту інерції на кутове прискорення тіла.

3. де- момент інерції тіла відносно осі обертанняz, - кутове прискорення тіла,- сума моментів сил, прикладених до тіла, і розрахованих щодо осі обертання.

4. Застосовують тільки для абсолютно твердого тіла.

Умови рівноваги тіл

З 2-го закону Ньютона і основного рівняння динаміки обертального рухувитікають умови рівноваги для тіл що знаходяться у спокої:

1) сума діючих на тіло сил повинна бути рівною нулю,

,

2) сума моментів сил щодо будь-якої точки тіла повинна дорівнювати нулю

.