Додатковий матеріал Елементи лінійної алгебри

Матриця – це прямокутна таблиця чисел. Наприклад:

А=

Y=

X=

Кількість рядків і стовпчиків матриці визначає її розмірність. Якщо матриця має 3 рядки і 4 стовпчики, то її розмірність – 3х4; у загальному випадку (m рядків і n стовпчиків) розмірність складає mxn. Таблиця, яка складається з одного рядка або одного стовпчика, називається вектором-рядком або вектором-стовпчиком відповідно.

Загальний елемент матриці А позначається як а_ij.

А=

Елементи вектора в загальному вигляді позначаються так:

Y=

X=

За виконання певних умов матрицями і векторами можна оперувати так же, як числами.

Рівність матриць і векторів.

Матриці А і В вважаються рівними, якщо:

а_ij = b_ij,

для всіх i та j.

Зрозуміло, що порівнювати можна тільки матриці з однаковою кількістю рядків і стовпчиків (однакової розмірності). Якщо ця умова не виконується, матриці порівнювати не можна. Наприклад, вектора:

не є рівними, незважаючи на рівність елементів з однаковими індексами.

Транспонування матриці і векторів.

Матриця В називається транспонованою до матриці А:

В =А^Т,

якщо

b_ij = а_ji,

тобто рядки і стовпчики помінялися місцями.

Наприклад:

=

=

=

Сума і різниця матриць і векторів

Нехай матриці А і В мають однаковий порядок, тобто кількість рядків матриці А дорівнює кількості рядків матриці В і кількість стовпчиків матриці А дорівнює кількості стовпчиків матриці В. Матриці C і D – сума і різниця матриць А і В:

C = A + B

D = A – B

якщо

c_ij = a_ij + b_ij

d_ij = a_ij ‑ b_ij

Наприклад:

+ =

‑=

Добуток числа і матриці

В = *А,

де  – число. В індексному запису:

b_ij = *a_ij.

Наприклад:

3*=

Скалярний добуток векторів

Нехай х – вектор-рядок, а у – вектор-стовпчик одинакового порядку n. Скалярним добутком векторів х і у називається вираз:

Наприклад:

* = 3 * 8+0 * 2+1 * 1 = 25

Добуток матриць

Нехай матриця А має k рядків і m стовпчиків, матриця В має m рядків і n стовпчиків. Існує матриця С, яка є добутком матриць А і В:

С = А * В

така, що

Наприклад:

* = =

* = =

Елемент матриці, що отримана в результаті множення двох інших матриць, у i-рядку і j-стовпчику дорівнює скалярному добутку i-ого рядка лівого множника і j-го стовпчика правого множника:

* = =

Слід пам’ятати, що ліворуч – завжди рядки, а праворуч – завжди стовпчики. Індекси, що вказують в якому рядку та в якому стовпчику розташований елемент матриці, записуються в тому самому порядку: спочатку номер рядка, потім номер стовпчика; лівий множник у добутку матриць складається з рядків, а правий – із стовпчиків. Як випливає з прикладу, від переміни місць множників результат може змінитися: добуток матриць не є комутативним. Особливо наочно ця властивість виявляється в такому прикладі:

* = 1*3+2*2+3*1 = 10

* = =

Комп’ютерні технології роботи з масивами засобами ms Excel

Засоби MS Excel виявляються корисними в лінійній алгебрі, перш за все, для операцій з матрицями. Для роботи з матрицями використовують різні функції MS Excel.

Матриця – це числовий масив з певною кількістю рядків та стовпців. Матриці можна перемножувати між собою, множити на вектор, множити на число, створювати обернені матриці тощо.

Знаходження оберненої матриці

У MS Excel для знаходження оберненої матриці використовується функція МОБР, яка обчислює обернену матрицю для матриці, що зберігається в таблиці у вигляді масиву.

Функція МОБР має синтаксис:

МОБР (масив), де масив – це числовий масив з рівною кількістю рядків і стовпців. Масив може бути заданий як діапазон комірок, наприклад А1:СЗ; як масив констант, наприклад {1,2,3:4,5,6:7,8,9} або як ім’я діапазону або масиву.

Комп’ютерна технологія знаходження оберненої матриці

Розв’язання задачі в системі MS Excel реалізується в такий спосіб:

1. Спочатку треба створити матрицю в діапазоні комірок А2:С4 (див. рис.21):

Рис. 21. Матриця А

Після цього над елементами матриці можна виконувати різні дії. Необхідно отримати обернену матрицю.

2. Виділити блок вільних комірок під обернену матрицю. Наприклад, блок комірок А6:С8.

3. Вибрати меню Вставка – Функция (див. рис. 22)

Рис. 22. Вибір функції

або натиснути на панелі інструментів Стандартная кнопку Вставка функции.

4. У результаті виконаних дій з’являється діалогове вікно Мастер функций. На першому кроці майстра функцій треба вибрати категорію Математические і далі вибрати функцію МОБР (див. рис. 23), після чого натиснути кнопку ОК.

Рис. 23. Функція МОБР

5. У вікні Аргументы функции текстового поля Массив задати область – А2:С4 (матриця А), від якої необхідно знайти обернену матрицю, після чого одночасно натиснути три клавіші Ctrl+Shift+Enter (див. рис. 24):

Рис. 24. Аргументи функції МОБР

6. У діапазоні комірок А6:С8 з’явиться результат обчислення оберненої матриці (див. рис. 25):

Рис. 25. Результат обчислення оберненої матриці

Множення матриць

У MS Excel для множення матриць використовується функція МУМНОЖ (матриці зберігаються в масивах).

Функція МУМНОЖ має синтаксис:

МУМНОЖ (массив 1;массив 2), де массив 1, массив 2 – це масиви, які треба перемножити. При цьому кількість стовпців аргументу массив 1 має бути саме такою, як кількість рядків аргументу массив 2, і обидва масиви повинні містити тільки числа. Результатом множення матриць є масив з таким же числом рядків, як массив 1 і з таким же числом стовпців, як массив 2.

Комп’ютерна технологія множення матриць

Розв’язання задачі в системі MS Excel реалізується в такий спосіб:

1. Перемножити матрицю  та матрицю .

Матриця А введена в діапазон комірок А2:С4, а матриця  В – в діапазон комірок А6:С8 (див. рис. 26).

Рис. 26. Матриці А, В

1. Виділити блок вільних комірок для отримання результату від множення матриць. Наприклад, блок комірок А10:С12. Розмір вільних комірок відповідає заданим матрицям.

2. Вибрати меню Вставка – Функция (див. рис. 22) або натиснути на панелі інструментів Стандартная кнопку Вставка функции.

3. У результаті виконаних дій з’являється діалогове вікно Мастер функций. На першому кроці майстра функцій вибрати категорію Математические і далі вибрати функцію МУМНОЖ (див. рис. 27), після чого натиснути кнопку ОК.

Рис. 27. Функція МУМНОЖ

4. У вікні Аргументы функции до текстового поля Массив1 увести діапазон матриці А – А2:С4, до текстового поля Массив2 увести діапазон матриці В – А6:С8 (див. рис. 28), після чого одночасно натиснути три клавіші Ctrl+Shift+Enter.

Рис. 28. Аргументи функції МУМНОЖ

5. У діапазоні комірок А10:С12 з’явиться результат множення матриці А на матрицю В (див. рис. 29).

Рис. 29. Результат множення матриці А на матрицю В

Множення матриці на вектор

У MS Excel для множення матриць використовується функція МУМНОЖ.

Функція МУМНОЖ має синтаксис:

МУМНОЖ (массив 1;массив 2), де массив 1, массив 2 – це масиви, які треба перемножити. Кількість стовпців аргументу массив 1 має бути саме такою, як і кількість рядків аргументу массив 2. Результатом множення матриць є масив з таким же числом рядків, як массив 1 і з таким же числом стовпців, як массив 2.

Комп’ютерна технологія множення матриці на вектор

Розв’язання задачі в системі MS Excel реалізується в такий спосіб:

1. Перемножити початкову матрицю  та вектор С. Для цього матрицю А треба ввести в діапазон комірок А2:С4, а вектор С (вектор С повинен мати стільки рядків, скільки стовпців є в матриці) – в діапазон комірок Е2:Е4 (див. рис. 30).

Рис. 30. Матриця А, вектор С

2. Виділити блок вільних комірок, де буде створюватися нова матриця. Наприклад, блок комірок G2:I4. Розмір вільних комірок повинен відповідати розміру матриціА.

3. Вибрати меню Вставка – Функция (див. рис. 22) або натиснути на панелі інструментів Стандартная кнопку Вставка функции.

4. У результаті виконаних дій з’являється діалогове вікно Мастер функций. На першому кроці майстра функцій треба вибрати категорію Математические і далі вибрати функцію МУМНОЖ (див. рис. 27), після чого натиснути кнопку ОК.

5. У вікні Аргументы функции до текстового поля Массив1 увести діапазон матриці А – А2:С4, до текстового поля Массив2 увести діапазон вектора С – Е2:Е4 (див. рис. 31), після чого одночасно натиснути три клавіші Ctrl+Shift+Enter.

Рис. 31. Аргументи функції МУМНОЖ

6. У діапазоні комірок G2:I4 з’явиться результат множення початкової матриці А на вектор С (див. рис. 32).

Рис. 32. Результат множення матриці А на вектор С

Множення матриці на число

У MS Excel для виконання операцій складання і віднімання матриць можуть бути використані формули, що вводяться у відповідні комірки.

Комп’ютерна технологія множення матриці на число

Розв’язання задачі в системі MS Excel реалізується в такий спосіб:

1. Треба перемножити матрицю на число 3.

2. Для цього треба виділити блок вільних комірок, наприклад А6:С8, для отримання результату від множення матриці А на число 3 та занести формулу =A2:C4*3. Розмір вільних комірок повинен відповідати заданій матриці А.

3. Далі одночасно необхідно натиснути три клавіші Ctrl+Shift+Enter. У діапазоні комірок А6:C8 з’явиться результат множення матриці А на число 3 (див. рис. 33).

Рис. 33. Результат множення матриці А на число 3

Додавання і віднімання матриць

У MS Excel для виконання операцій додавання і віднімання матриць можуть бути використані формули, що вводяться у відповідні комірки.

Комп’ютерна технологія складання і віднімання матриць

Розв’язання задачі в системі MS Excel реалізується в такий спосіб:

1. Необхідно знайти матрицю С, що є сумою матриць А, В. Матриця уведена в діапазон комірок А2:С3, а матриця уведена в діапазон комірок А5:С6 (див. рис. 34).

Рис. 34. Матриці А, В

2. Треба обчислити в діапазоні комірок А8:C9 суму матриць (А+В). Для цього потрібно виділити блок вільних комірок А8:C9 для отримання результату та занести формулу =А2:С3+ А5:С6. Розмір вільних комірок повинен відповідати розміру заданих матриць.

3. Далі одночасно необхідно натиснути три клавіші Ctrl+Shift+Enter. У діапазоні комірок А8:C9 з’явиться результат обчислення суми матриць А і В (див. рис. 35).

Рис. 35. Результат обчислення суми матриць А і В

4. Таким же чином обчислюється різниця матриць А, В, тільки у формулі для обчислення першого елемента замість знаку «+» ставиться знак «–». Необхідно знайти матрицю D, що є різницею матриць А, В. Результат обчислення різниці матриць А, В (див. рис. 36):

Рис. 36. Результат обчислення різниці матриць А, В – матриця D

Транспонування матриць

Для здійснення транспонування в MS Excel використовується функція ТРАНСП. Функція ТРАНСП дозволяє переводити на робочому листі вертикальний діапазон комірок у горизонтальний, і навпаки.

Функція ТРАНСП має синтаксис:

ТРАНСП (массив), де массив – це масив, що транспонується, або діапазон комірок на робочому листі. Транспонування масиву полягає в тому, що перший рядок масиву стає першим стовпцем нового масиву, другий рядок стає другим стовпцем нового масиву і т.д.

Комп’ютерна технологія транспонування матриць

Розв’язання задачі в системі MS Excel реалізується в такий спосіб:

1. Необхідно створити транспоновану матрицю з елементів матриці А. Матриця A =  уведена в діапазон комірок А2:Е3 розміром 2 x 5 (див. рис. 37).

Рис. 37. Матриця A

2. Треба виділити блок вільних комірок А6:В10 під транспоновану матрицю (5 х 2).

3. Вибрати меню Вставка – Функция (див. рис. 22) або натиснути на панелі інструментів Стандартная кнопку Вставка функции.

4. У результаті виконаних дій з’являється діалогове вікно Мастер функций. На першому кроці майстра функцій вибрати категорію Ссылки и массивы і далі вибрати функцію ТРАНСП (див. рис. 38), після чого натиснути кнопку ОК.

Рис. 38. Функція ТРАНСП

5. У вікні Аргументы функции до текстового поля Массив увести діапазон матриці А – А2:Е3 (див. рис. 39), після чого одночасно натиснути три клавіші Ctrl+Shift+Enter.

Рис. 39. Аргументи функції ТРАНСП

6. У діапазоні комірок А6:В10 з’явиться транспонована матриця з елементів матриці А (див. рис. 40.).

7. Якщо транспонована матриця не з’явилася в діапазоні А6:В10, то слід клацнути покажчиком миші в рядку формул та повторити натиснення комбінації клавіш Ctrl+Shift+Enter.

8. У результаті в діапазоні комірок А6:В10 з’явиться транспонована матриця з елементів матриці А (див. рис. 40).

Рис. 40. Транспонована матриця з елементів матриці А

Обчислення визначника матриці

У MS Excel для обчислення визначника квадратної матриці використовується функція МОПРЕД.

Функція МОПРЕД має синтаксис:

МОПРЕД (массив), де массив – це числовий масив, в якому зберігається матриця з рівною кількістю рядків і стовпців.

Комп’ютерна технологія обчислення визначника матриці

Розв’язання задачі в системі MS Excel реалізується в такий спосіб:

1. Необхідно обчислити визначник матриці .

Матриця  А уведена в діапазон комірок А2:С4 (див. рис. 41).

Рис. 41. Матриця  А

2. Табличний курсор треба поставити в комірку, в якій потрібно отримати значення визначника, наприклад в Е2.

3. Вибрати меню Вставка – Функция (див. рис. 22) або натиснути на панелі інструментів Стандартная кнопку Вставка функции.

4. У результаті виконаних дій з’являється діалогове вікно Мастер функций. На першому кроці майстра функцій треба вибрати категорію Математические і далі вибрати функцію МОПРЕД (див. рис. 42), після чого натиснути кнопку ОК.

Рис. 42. Функція МОПРЕД

5. У вікні Аргументы функции до текстового поля Массив увести діапазон матриці А – А2:С4 (див. рис. 43), після чого натиснути комбінацію клавіш Ctrl+Shift+Enter.

Рис. 43. Аргументи функції МОПРЕД

6. У результаті в комірці Е2 з’явиться значення визначника матриці А – 6. (див. рис. 44).

Рис. 44. Визначник матриці А

Після виконання самостійної роботи рекомендовано для само-оцінювання відповісти на питання для перевірки знань.