Лисенко В.І.
«Вища математика»
І КУРС
Опорні конспекти лекцій
Лекція №17-18. Границя та неперервність.
Література:
-
Гусак А.А. Высшая математика: учебник для студентов вузов. В 2 т. Т.1. – Минск: ТетраСистемс, 2007 – 544с. (76-91 с.).
-
Каплан И.А., Пустынников В.И. Практикум по высшей математике: в 2.Т., Т.1.: – М.: Эксмо, 2008. – 576 с. (с. 213-219, 293-315).
-
Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика у прикладах та задачах. Ч.І. – К.: Кондор, 2006. –588с. (с. 278 - 329).
-
Кривуца В.Г., Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика. Практикум: Навчальний посібник: К.: Центр навч. Літератури, 2005 – 536с. (с. 137-160).
Основні теоретичні положення
-
Функція.
Нехай задані дві непорожні множини та .
Озн.1. Якщо кожному значенню змінної , ставиться у відповідність за деяким законом єдине значення , то кажуть, що на множині задана функція (1).
Функція задана формулою (1) називається явною, а функція задана формулою (2) називається неявною (рівняння не розв’язане відносно у).
Множина Х називається областю визначення функції і позначається . Множина всіх значень у, які приймає при , називається областю (множиною) значень функції і позначається . При цьому х називається незалежною змінною або аргументом, а у – функцією.
-
Деякі класи функцій.
Обмежені функції. Функція , визначена на множині Х, називається обмеженою, якщо існує таке число , що для всіх виконується нерівність . Наприклад: , .
Монотонні функції. Функцію називають зростаючою на проміжку , якщо більшому значенню аргумента з цього проміжку відповідає більше значення функції. Записують: , , тоді і навпаки. Наприклад зростає при .
Якщо ж при , то функцію називають неспадною.
Парні та непарні функц1ї.
Функція називається парною (непарною), якщо її область визначення симетрична відносно точки і (). Наприклад , – парні, а , – непарні.
Періодичні функції
Функція називається періодичною, якщо існує таке число , що для всіх виконується умова . Наприклад ; – найменший період. –загальний період.
-
Основні елементарні функції.
-
Степенева функція: , .
-
Показникова функція: , , .
-
Логарифмічна функція: , , .
-
Тригонометрична функція: , , , .
-
Обернені тригонометричні функції: : , , , .
Елементарними називають функції, які одержують з основних елементарних функцій за допомогою скінченного числа арифметичних дій.
До елементарних функцій відносяться гіперболічні функції, які визначаються так:
Гіперболічний синус: ;
Гіперболічний косинус: ;
Гіперболічний тангенс: ;
Гіперболічний котангенс: .
Увага! Самостійно повторити властивості і графіки основних елементарних функцій (1-5).
-
Границя функції.
Нехай функція визначена в деякому околі точки , за виключенням, можливо самої точки .
Озн.2. Число А називають границею функції в точці , якщо для довільного числа знайдеться число , яке залежить від , таке, що для всіх х, які задовольняють нерівність виконується нерівність . Символічно записують (3)
Увага! Користуючись рис.1, поясніть, чому за –окіл точки , обрано менший з відрізків і .
Рис 1.
Якщо , то функція називається нескінченно великою при .
Якщо , то функція називається нескінченно малою при .
Якщо і , то пишуть , якщо ж то пишуть .
Числа (4) та (5) називають відповідно границею функції зліва в точці і границею функції справа в точці .
Якщо , то замість пишуть , а замість пишуть .
Числа (4) і (5) називають односторонніми границями.
Для існування границі функції при необхідно і достатньо, щоб (6).
Приклад 1.
Довести що
Розв’язання.
Для розв’язання задачі треба для довільного знайти -окіл точки . Тобто
(3): (*)
Розв’яжемо нерівність (*) відносно .
Значить .