9. Види розривів функції

При класифікації точок розриву функції керуються наступними теоремами:

1. Якщо функція не визначена при або визначена, але мають місце співвідношення , то розрив у точці називають ліквідованим (рис.2)

а) б)

Рис.2

2. Неліквідовані розриви поділяють на розриви першого та другого роду:

а) якщо однобічні границі , існують та скінченні, але не рівні між собою, то називають точкою розриву першого роду, а різницю однобічних границь називають стрибком функції в точці (рис.3.а);

б) якщо хоча б одна з однобічних границь не існує або дорівнює , то розрив у цій точці називають розривом другого роду (рис. 3.б.)

а) б)

Рис. 3

Приклад 5. Знайти області неперервності і класифікувати розриви функцій:

а) ; б)

Розв’язання.

а) ця функція визначена при всіх , тому область її неперервності . В точці функція має розрив. Для класифікації цього розриву знайдемо її однобічні границі при .

;

. Отже, в точці ця функція має розрив другого роду.

б) на кожному з вказаних проміжків , , функція визначена, а тому і неперервна. Розриви можуть бути лише в точках стику інтервалів, тобто в точках та .

Знайдемо однобічні границі функції, коли прямує до точки

;

Одержали: односторонні границі існують, скінченні, але різні. Отже, є точкою розриву першого роду.

– стрибок розриву.

Обчислимо односторонні границі при

Значить в точці функція неперервна.

Питання для самоконтролю

1. Що називається числовою послідовністю?

2. Наведіть означення границі числової послідовності та тлумачення її геометричного змісту.

3. Перелічіть властивості збіжних числових послідовностей.

4. Дайте означення обмеженої числової послідовності.

5. Дайте означення зростаючої (спадної), неспадної (не- ’іростаючої) числової послідовності.

6. Яка послідовність є монотонною, строго монотонною?

7. Сформулюйте критерій Коші збіжності послідовності.

8. Що таке число е, який логарифм називають натуральним?

9. Наведіть арифметичні властивості збіжних послідовностей.

10. Визначте нескінченно малі послідовності, перелічіть їх властивості.

11. Визначте нескінченно великі послідовності.

12. Дайте означення еквівалентних нескінченно малих послідовностей та еквівалентних нескінченно великих послідовностей.

13. Дайте означення функції.

14. Що називається областю визначення та областю зна­чень функції?

15. Дайте означення оберненої функції.

16. Що називається суперпозицією функцій?

17. Яка функція називається обмеженою?

18. Яка функція називається монотонною, строго монотонною?

19. Дайте означення парної (непарної) функції.

20. Що таке періодична функція, період?

21. Перелічіть основні елементарні функції.

22. Які функції називаються елементарними?

23. Дайте означення гіперболічних функцій.

24. Як визначаються раціональні функції? Що таке ціла ра­ціональна функція?

25. Дайте означення границі функції на мові послідовностей.

26. Дайте означення границі функції на мові “є - 5”.

27. Визначте поняття границі функції на нескінченності.

28. Дайте означення односторонніх границь.

29. Наведіть першу важливу границю, наслідки з неї.

30. Наведіть другу важливу границю, наслідки з неї.

31. Визначте нескінченно малі функції, їх властивості.

32. Як порівнюють нескінченно малі функції?

33. Які нескінченно малі функції називають еквівалентними?

34. Наведіть ланцюжок еквівалентних нескінченно малих.

35. Дайте означення функції, неперервної в точці.

36. Дайте означення точки розриву функції. Наведіть класифікацію точок розриву функції.

37. За яких умов складна функція неперервна; обернена функція неперервна?

38. Сформулюйте поняття неперервності функції на відрізку.

39. Наведіть властивості функцій, неперервних на відрізку.

40. Дайте означення рівномірно неперервної на проміжку функції.

10