Лабораторні роботи 1 курс

Кутове переміщення тіла при прискореному русі

	t				t
ϕ	= ∫		ω	0	+ ∫ε	dt dt
0					0

Кутова координата точки тіла при рівноприскореному русі

ϕ =ϕ0 +ω0t + εt2

2

Кут повороту тіла при рівноприскореному русі (при ω0 ε )

ϕ =ω0t + εt2

2

Зв'язок між лінійним і кутовим переміщенням точок тіла

υ =[ω;r ] ,

де r – радіус вектор точки тіла.

При r = R перпендикулярному до осі обертання :

–модуль швидкості υ =ωR ;

–нормальне прискорення точок тіла в скалярній формі

(3)

(4)

		an =ω	2 R		=	υ2		(5)
						R
	– тангенціальне прискорення точок тіла:
	aτ =	d (ωR)		= dω R =εR				(6)
		dt
					dt
	– повне прискорення a =			a2	+a2
				n		τ

1.2 Основні поняття та закономірності динаміки обертального руху 1.2.1 Основні поняття

Момент сили M відносно точки О характеризує здатність сили F обертати тіло навколо цієї точки і рівний векторному добутку радіус-вектора

r , який проведений з точки О до точки прикладання сили, на силу F .

					,			[Н м]	(7)
M = r F
Модуль моменту сили
M = F r sinα = F l									(8)
де α – кут між r								l = r sinα
			і		F		,		– плече сили, довжина

перпендикуляра, опущеного з точки О на лінію дії сили F .

Головний (результуючий) момент зовнішніх сил рівний векторній сумі моментів окремих сил.

61

M

= M1 + M2 +... + Mn

(9)

Момент імпульсу

матеріальної точки, масою

m, що рухається зі

L

швидкістю

υ

відносно нерухомої

точки

О,

називають

векторний добуток

радіус-вектора r точки на її імпульс

p

2

L =[r p]=[r mυ],

кг м

(10)

с

Модуль моменту імпульсу матеріальної точки

L

=

r

p

sin

α =

r

υ

sin

α =

R

υ =

mR

2ω

,

(11)

m

m

де r sinα = R – відстань точки від осі обертання

Момент імпульсу системи матеріальних точок (тіла) відносно нерухомої точки О рівний векторній сумі моментів імпульсів окремих точок (частин тіла)

		=							(12)
	L		L1 +		L2 +... +		Ln
Момент імпульсу L точки масою m відносно осі обертання Z

L

= mR2 ω

Z

= J

Z

ω

Z

Z

Момент імпульсу системи точок (тіла) відносно осі обертання Z

LZ = LZ1

N

ωZ = JZ ωZ

+ LZ2 +... + LZN =

∑mi Ri2

(13)

інерції J

i=1

Момент

точки (тіла)

є

мірою інертності

тіла при

обертальному русі.

Момент інерції JZ точки масою m відносно осі Z розміщеній на відстані R від точки рівний

JZ = mR	2	,		2		(14)
				кг м

Момент інерції системи точок (тіла) відносно осі Z

N
JZ = ∑mi Ri2	(15)

i=1

Момент інерції суцільного тіла

J = m∫r2dm = V∫ρr2dV

0 0

де ρ = dVdm – густина маси тіла

Момент інерції тіла масою m відносно осі, що знаходиться на відстані d від центру його маси (теорема Штейнера)

62

J = JC +md 2 ,						(16)
де JC – момент інерції			тіла відносно осі, яка			паралельна даній і
проходить через центр маси.
Момент інерції простих тіл масою m відносно геометричної осі
– порожнистий тонкостінний циліндр
J = mR2						(17)
– суцільний циліндр (диск, вал)
J =			mR2			(18)
			2
– куля		2 mR2
J =						(19)
		5
– стержень масою m і довжиною l відносно осі,						перпендикулярної до
кінця стержня		1 ml2
J =						(20)
		3
– стержень, відносно осі перпендикулярної до середини сторони
J =		1		ml2		(21)
12

1.2.2 Основні закономірності

Основне рівняння динаміки обертального руху

Швидкість зміни dL моменту імпульсу тіла рівна головному моменту

dt

M зовнішніх сил, відносно точки обертання

dL

= M

dt

Зміна моменту імпульсу dL

тіла рівна імпульсу моменту зовнішніх сил

(22)

dL

= Mdt

Враховуючи (11), (14) та визначення кутового прискорення ε

формула

(22) приймає вид

=

J

(23)

M

ε

Закон збереження моменту імпульсу тіла

63

Якщо момент зовнішніх сил M = 0 , або час його дії t = 0, то момент імпульсу L тіла (чи системи тіл) залишається сталим як за величиною так і за

напрямом.
При M		= 0, або t = 0, L = Jω				– стала величина		(24)
1.3 Механічна енергія
Кінетична енергія обертального рухуEКО тіла рівна
		EКО =			Jω2			(25)
					2
де J – момент інерції тіла відносно осі обертання,
ω – кутова швидкість тіла.
Механічна енергія E тіла рівна сумі потенціальної EП								та кінетичних
енергій поступального руху EКП і обертального EКО рухів тіла.
		E = EП + EКП + EКО						(26)

Закон збереження механічної енергії

Якщо в замкненій системі тіл не діють неконсервативні сили (тертя, напружні деформації і т.п.), то при будь-яких перетвореннях механічної енергії її сумарний запас залишається сталим.

EП1 + EКП1 + EКО1 = EП2 + EКП2 + EКО2

(27)

Якщо ж система тіл не замкнута, або в системі діють неконсервативні сили, то частина механічної енергії іде на виконання роботи А проти зовнішніх сил, або перетворюється в немеханічний вид енергії Q (наприклад, тепло).

EП1 + EКП1 + EКО1 = EП2 + EКП2 + EКО2 + A +Q

(28)

2. Будова та принцип дії лабораторного пристрою «Маятник Обербека» ФМ-14М

2.1 Будова пристрою ФМ-14М

Пристрій складається з: основи, вертикальної стійки, верхнього і середнього кронштейнів, кронштейну для кріплення фотодатчика, фотодатчика та електронного блоку ФМ1/1.

Основа має три регулювальні опори із затискачами для фіксації вертикального положення стійки.

Вертикальна стійка виготовлена із металевої труби, на якій розміщені міліметрова шкала та візир.

64

Мал. 1 – Маятник Обербека ФМ-14М

На верхньому кронштейні розміщений вузол підшипників з мало інерційним шківом зміни напрямку руху капронової нитки, на якій підвішений набірний вантаж.

На середньому кронштейні розміщені: вузол підшипників, на вісі якого з однієї сторони закріплений двохступеневий шків, з пристроєм для кріплення капронової нитки, а з другої – хрестовина з чотирьох стержнів, закріплених в ступиці під прямим кутом один до одного; електромагнітне гальмо.

На металевих стержнях через кожні 10мм нанесені риски.

Вантажі, розміщені на металевих стержнях, можуть вільно переміщатися і фіксуватися на кожному стержні, що дає можливість ступінчато змінювати момент інерції хрестовини.

Електромагнітне гальмо призначене фіксувати рухому систему на початку експерименту, видавати електричний сигнал початку відліку часу та гальмувати рухому систему після завершення відліку часу.

Нижній кронштейн має затискач для кріплення на вертикальній стійці, а також елементи фіксації фотодатчика.

Пристрій працює від електронного блоку ФМ1/1.

65

Блок ФМ1/1 виконаний у вигляді конструктивно завершеного виробу. В ньому використаний одно кристальний мікроконтролер (ОМК) з відповідними додатковими пристроями, які дозволяють вимірювати інтервали часу з індикацією результатів на рідкокристалічному індикаторі (РКІ), а також здійснювати функції керування пристроєм. В склад блоку входять також джерело живлення як самого блоку так і фотодатчика та електромагнітного гальма.

Блок ФМ1/1, з допомогою шнурів, підключається до фотодатчика, електромагнітного гальма та електромережі 220В.

2.2 Теоретичні основи та принцип дії пристрою ФМ-14М

Маятник Обербека дозволяє визначити шлях пройдений вантажем (зв’язаним з обертовою системою тіл ниткою перекинутою через шків) при рівноприскореному русі та час його руху. Використовуючи ці дані, можна розрахувати кутове прискорення обертової системи тіл, їх момент інерції,момент імпульсу та механічну енергію.

Примітка: для спрощення розрахунків, тертям на вісях обертання тіл, моментами інерції шківів та опором повітря нехтуємо. Конструкція пристрою таке спрощення допускає: шківи легкі, мало інерційні, обертаються на підшипниках.

Натискування кнопки «Пуск» на блоці ФМ1/1 призводить до початку відліку часу секундоміром і відключення електромагнітного гальма. Під дією сили тяжіння FT

FT = mвg

Вантаж масою mв починає рівноприскорено рухатись вниз. При перетині

ним оптичної вісі висвітлюється час t за шкалою і рівний

фотодатчика відлік часу зупиняється і на індикаторі руху вантажу. Шлях h , пройдений вантажем, визначається

h = x − x0 , де, x – координата верхньої площини вантажу, коли він знаходився у початковому (верхньому положенні) (визначається з допомогою візиру), x0 – координата нижньої площини вантажу, коли він перетинає оптичну вісь фотодатчика і зупиняє відлік часу (x0 і вісь фотодатчика

співпадають з червоною площиною кронштейну фотодатчика).

Знаючи час руху t та пройдений шлях h вантажем, з рівняння

	рівноприскореного руху, знаходиться його прискорення
	a =	2h		(29)
		t2
		66

Так як вантаж і шків обертової системи тіл зв’язані ниткою, то їх лінійні швидкості υв =υτ та прискорення відповідно рівні a = aτ . Враховуючи це, та використовуючи формули (6), (2), можна знайти кутове прискорення

	ε =	a		(30)
		RШ
	та кутову швидкість ω =εt , обертової системи.			(31)
	RШ – радіус шківа обертової системи тіл, ω0			= 0 .

Прискорений рух обертової системи тіл зумовлений обертовим моментом M сили F натягу нитки. Згідно формули (8)

M = RШ F	(32)
Сила F визначається з рівняння вертикального руху вантажу mв (другий
закон Ньютона).
FT − F = mвa
Враховуючи, що сила тяжіння вантажу FT = mвg , отримуємо
F = mв (g −a)	(33)

Використовуючи основне рівняння динаміки обертального руху (23) та (29), (30), (32), (33), отримуємо формулу для розрахунку моменту інерції обертової системи тіл на основі експериментальних даних.

J = m R	2	gt2		−1		(34)
в Ш			2h

Теоретичне значення моменту інерції досліджуваної системи тіл

(хрестовина і чотири циліндричних тіла) розраховується у відповідності з формулами (14), (15), (16), (21).

					J = JX +4	(JЦ + JT + JT )		(35)
де,		J		= 2	m l2			= 0,15м
			X		C C – момент інерції двох стержнів хрестовини (l
					12		C
– довжина одного стержня, mC = 0,023кг – маса стержня);
J	Ц	= mR2			– момент	інерції центру маси одного	тіла масою m,
				Ц

закріпленого на стержні відносно вісі обертання (RЦ – відстань центру маси тіла від вісі обертання; m = 0,114кг );

67

JT = ml2 – момент інерції закріпленого на стержні тіла відносно вісі,

12

яка проходить через його центр маси і паралельна вісі обертання (l = 0,02м і

r = 0,015м – відповідно, довжина;				m = 0,114кг).
Враховуючи значення JX ,	JЦ ,	JT ,		JT формула (35) приймає вигляд:
J = mClC2	+ m		4R + l2			+ r2		(36)
6				Ц	3

3. Виконання досліджень

3.1 Підготовка обладнання.

Примітка: 1. Якщо в процесі підготовки обладнання виявлені пошкодження або відхилення від працездатного стану (нормальна реакція обладнання на дії експериментатора указана в дужках) – підготовку зупинити та повідомити викладача.

2. При	необхідності, з дозволу викладача, виконати необхідні
регулювання.

3.1.1 Огляд обладнання

Візуально переконатися, що:

Всі компоненти є в наявності; механічних пошкоджень немає; на всіх чотирьох кінцях хрестовини симетрично закріплені циліндричні тіла; на одному кінці нитки закріплений основний вантаж mв = 0,05кг, а на другому – вузол;

фотодатчик і електромагнітне гальмо підключені до блоку ФМ1/1, пристрій заземлений

3.1.2 Перевірка працездатності обладнання.

3.1.2.1 Перевірка працездатності механічної частини обладнання.

Переконатися в тому, що:

–основа пристрою знаходиться в горизонтальному положенні (покажчик рівня знаходиться в центрі кола);

–верхній шків і хрестовина легко обертаються та знаходяться в байдужій рівновазі (при легкому поштовсі вільно обертаються і зупиняються у випадковому положенні);

–кронштейн з фотодатчиком знаходиться у нижній частині вертикальної стійки та відцентрований (червона площина кронштейну співпадає з однією з

рисок x0 шкали; вантаж, нитка якого перекинута через верхній шків, при русі

68

вниз проходить в центрі робочого вікна фотодатчика; положення фотодатчика зафіксоване);

–візир знаходиться у верхній частині стійки (верхній його зріз співпадає

зпотрібною поділкою x шкали; вертикальна площина візиру відхилена на 1315мм від лінії руху (нитки) вантажу).

3.1.2.2 Перевірка загальної працездатності обладнання

Виконати наступні дії:

1.Закріпити нитку (вузол) з вантажем в прорізі одного з шківів обертової системи.

2.Вставити вилку електричного шнура блоку ФМ1/1 в розетку 1-XS1 лабораторного стенду і ввімкнути на ньому вимикач 1-SF1 (загорається сигнальна лампа 1-HL2 стенду, вмикається табло індикації ФМ1/1, спрацьовує фіксатор електромагнітного гальма).

3.Обережно обертаючи хрестовину, установити вантаж mв у верхньому

положенні так, щоб його нижня площина співпала з верхнім зрізом візиру (візир не знаходиться на лінії руху вантажу) і привести його в нерухомість (вантаж не повинен коливатися).

4. Натиснути кнопку «Пуск» блоку ФМ1/1 (таймер починає відлік часу, електормагнітне гальмо вимикається, вантаж рухається вниз, хрестовина обертається).

5.Провести спостереження руху вантажу та хрестовини до їх зупинки (вантаж рухається плавно, прискорено, не коливається і при перетині оптичної вісі фотодатчика відлік часу зупиняється, на індикаторі висвічується час руху вантажу та напис «Стоп»).

6.Встановити нульове значення на шкалі індикатора натиснувши кнопку «Сброс» на блоці ФМ1/1 (на індикаторі висвічуються нулі).

7.Вимкнути пристрій вимикачем 1-SF1 лабораторного стенду

Лабораторне обладнання готове до проведення досліджень. 3.2 Завдання:

1.Визначити момент інерції системи тіл.

2.Дослідити основне рівняння динаміки обертального руху.

3.Дослідити закон збереження моменту імпульсу системи тіл.

4.Дослідити закон збереження повної механічної енергії системи тіл.

3.2.1 Виконання експериментальних досліджень

1. Від’єднавши нитку з вантажем від шківа обертової системи тіл, установити симетрично чотири тіла на стержнях хрестовини, та відцентрувати

69

їх положення (RЦ – відстань від центру маси тіла до осі обертання системи задається викладачем в таблиці 1); RЦ визначається за шкалою нанесеною на стержнях; перша поділка від осі відповідає 0,02м; центр мас тіла знаходиться

посередині тіла, тобто на відстані 2l = 0,022 = 0,01м від його краю).

2.Переміщаючи візир розмістити його верхній зріз проти поділки шкали

x= x0 + h ( h – задане викладачем в таблиці 1, x0 – поділка, проти якої

знаходиться червона площина кронштейну фотодатчика).

3.Закріпити вузол нитки з вантажем в прорізі шківа обертової системи перекинути нитку через верхній шків (шків задається викладачем в таблиці 1).

4.Ввімкнути вимикач 1-SF1лабораторного стенду (загорається сигнальна лампа 1-HL2, вмикається індикатор ФМ1/1 та фіксатор електромагнітного гальма).

5.Установити з допомогою різноваг масу mв вантажу, указану в таблиці 1.

6.Обережно обертаючи хрестовину, установити вантаж у верхньому положенні так, щоб його нижня площина співпала з верхнім зрізом візиру і провести його в нерухомість (вантаж не повинен коливатися).

7.Натиснувши кнопку «Пуск» блоку ФМ1/1 провести спостереження руху тіл і, після їх зупинки, за кінцевими показами індикатора, визначити час руху та записати ці дані в таблицю 1.

8.Натиснувши кнопку «Сброс» на блоці ФМ1/1 встановити нульові значення на шкалі індикатора.

9.Послідовно встановлюючи значення mв , згідно таблиці 1, для кожного

випадку виконати пункти 5-8.

10. Результати експериментальних досліджень показати викладачеві.

Після затвердження викладачем результатів експерименту, вимкнути вимикач 1-SF1, вийняти вилку шнура блоку ФМ1/1 з розетки та привести обладнання в початковий стан.

70