5.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение св

Математическое ожидание полностью не характеризует СВ. Поэтому вводят другие числовые характеристики.

Определение 2. Отклонением или центрированной СВ называется вели-

чина .

Легко показать, что .

Определение 3. Дисперсией СВ называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от своего математического ожидания и обозначается

.

Из этого определения следует, что дисперсия характеризует меру рассеивания возможных значений около её математического ожидания.

Определение 4. Величина называется средним квадра-тическим отклонением.

Получим более удобную формулу для вычисления дисперсии.

. (3)

Тогда для дискретной СВ формула дисперсии примет вид

или . (4)

Для непрерывной СВ -

или . (5)

Свойства дисперсии:

1. , как сумма неотрицательных членов, или как интеграл от неотрицательной функции.

2. , так как.

3. , что следует непосредственно из определения дисперсии.

4. Если Х и Y независимые СВ, то .

Действительно,

(и с учетом свойств математического ожидания)

Пример 2. Найти математическое ожидание , дисперсиюи среднеквадратическое отклонениеслучайной величины с плот-ностью распределения

По формулам (2), (4-5) соответственно находим:

.

5.3. Понятие о моментах св

Кроме математического ожидания и дисперсииис-пользуются и другие числовые характеристики СВ.

Определение 5. Начальным моментом k-го порядка СВ называется величина .

Тогда для дискретных СВ: .

Для непрерывных СВ: .

Определение 6. Центральным моментом k-го порядка СВ называется величина .

Тогда для дискретных СВ: .

Для непрерывных СВ: .

Легко проверить следующие соотношения:

и установить связь между начальными и центральными моментами:

.

Моменты характеризуют то или иное свойство СВ. Например, (дисперсия) характеризует рассеивание значений СВ около математического ожидания, асимметрию распределения и т.д.

Лекция № 64. Тема 6 : Основные законы распределения случайных величин

6.1. Дискретные законы распределения

6.1.1. Биномиальное распределение

Определение 1. Биномиальным называется распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли в виде таблицы

X	0	1	…	k	…	п
p			…		…

где Х  количество появлений события А в п повторных испытаниях, если вероятность его появления в каждом из испытаний не изменяется и равна р. Пусть  число появления события A в i-ом испытании, т.е.

	0	1
p	q	p

тогда и

Аналогично можно показать, что .

Пример 1. ОТК проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно равна 0,9. В каждой партии 5 изделий. Найти , гдеX - число партий, в каждой из которых окажется ровно 4 стандартных изделия, если проверке подлежат 50 партий.

Вначале определим вероятность того, что в каждой партии окажется ровно 4 стандартных изделия

Тогда