- •Курс лекций
- •2. Решение волнового уравнения методом Фурье
- •Кратные интегралы Лекция № 51. Тема 1: Определение кратного интеграла
- •1.1. Задачи, приводящие к понятию кратного интеграла
- •1.2. Определение кратного интеграла и его основные свойства
- •Тема 2: Двойной интеграл
- •2.1. Определение двойного интеграла
- •2.2. Вычисление двойного интеграла.
- •Лекция № 52
- •2.3. Замена переменных в двойном интеграле.
- •2.4. Двойной интеграл в полярной системе координат
- •2.5. Приложения двойного интеграла
- •. Лекция № 53
- •Лекция № 54. Тема 3 : Тройной интеграл
- •3.1. Определение и вычисление тройного интеграла
- •3.2. Замена переменных в тройном интеграле
- •3.3. Приложения тройного интеграла
- •Лекция № 55. Тема 4 : Криволинейные интегралы
- •4.1. Криволинейные интегралы первого рода или по длине дуги
- •4.2. Криволинейные интегралы второго рода или по координатам
- •Лекция № 56.
- •4.3. Формула Грина
- •4.4. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования
- •Тема 5 : Поверхностные интегралы
- •5.1. Поверхностные интегралы первого рода
- •5.2. Поверхностные интегралы второго рода
- •5.3. Приложения поверхностных интегралов
- •Лекция № 57. Тема 6 : Элементы теории поля
- •6.1. Понятие поля
- •6.2. Формула Гаусса Остроградского
- •6.3. Формула Стокса
- •Теория вероятностей Лекция № 58. Тема 1 : Общие понятия
- •1.1. Предмет теории вероятностей
- •1.2. Пространство элементарных событий
- •1.3. Операции над событиями
- •1.4. Статистический подход к понятию вероятности
- •Лекция № 59
- •1.5. Элементы комбинаторики
- •1. Перестановки.
- •2. Сочетания.
- •3. Размещения.
- •1.6. Классическое определение вероятности
- •1.7. Аксиоматическое определение вероятности
- •Лекция № 60. Тема 2 : Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1. Теорема умножения вероятностей
- •2.2. Теорема сложения вероятностей
- •2.3. Формула полной вероятности
- •2.4. Формула Бейеса
- •Лекция № 61. Тема 3 : Повторение испытаний
- •3.1. Независимые испытания. Формула Бернулли
- •3.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •3.3. Интегральная теорема Лапласа
- •3.4. Теорема Пуассона
- •3.5. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
- •Лекция № 62. Тема 4 : Случайные величины и функции распределения
- •4.1. Случайные величины
- •4.2. Функция распределения вероятностей для дискретной св
- •4.3. Непрерывная св. Функция распределения
- •Лекция № 63. Тема 5 : Числовые характеристики св
- •5.1. Математическое ожидание св
- •5.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение св
- •5.3. Понятие о моментах св
- •Лекция № 64. Тема 6 : Основные законы распределения случайных величин
- •6.1. Дискретные законы распределения
- •6.1.1. Биномиальное распределение
- •6.1.2. Распределение Пуассона
- •6.1.3. Геометрическое распределение
- •6.2. Непрерывные законы распределения
- •6.2.1. Равномерное распределение
- •6.2.2. Показательное распределение
- •Лекция № 65
- •6.2.3. Нормальное распределение
- •Тема 7 : Закон больших чисел
- •Лекция № 66. Тема 8 : Многомерные случайные величины
- •8.1. Многомерные св и их функции распределения
- •8.2. Числовые характеристики двумерной случайной величины
- •Элементы математической статистики Лекция № 67. Введение
- •1. Предмет математической статистики
- •Тема 1: Статистические законы распределения выборки
- •1.1. Полигон и гистограмма
- •1.2. Эмпирическая функция распределения
- •Тема 2 : Статистические оценки параметров распределения
- •2.1. Точечные оценки
- •2.2. Интервальные оценки
- •Лекция № 68
- •Тема 3 : Проверка статистических гипотез. Критерий согласия Пирсона
- •Тема 4 : Элементы теории корреляции
- •4.1. Статистические зависимости
- •4.2. Линейная регрессия
- •4.3. Корреляционная таблица
- •4.4. Выборочный коэффициент корреляции
- •Теория функций комплексной переменной Лекция № 69. Определение функции комплексной переменной
- •1.1. Комплексные числа и действия над ними
- •1.2. Тригонометрическая и показательная формы записи
- •1.3. Определение функции комплексной переменной
- •Лекция № 70
- •1.3. Предел и непрерывность функции комплексной переменной
- •Тема 2 : Ряды с комплексными членами
- •2.1. Числовые ряды
- •2.2. Степенные ряды
- •2.3. Основные элементарные функции комплексной переменной
- •Лекция № 71. Тема 3 : Производная функции комплексной переменной
- •3.1. Определение производной
- •3.2. Гармонические функции
- •Тема 4 : Интеграл от функции комплексной переменной
- •4.1. Определение интеграла
- •4.2. Основная теорема Коши
- •Лекция № 72
- •4.3. Интегральная формула Коши
- •4.4. Производные высших порядков от аналитической функции
- •4.5. Ряд Тейлора
- •. . . . .
- •4.6. Ряд Лорана
- •Лекция № 73
- •Тема 5 : Вычеты
- •5.1. Изолированные особые точки аналитической функции
- •5.2. Определение вычета
- •5.3. Основная теорема о вычетах
- •5.4. Приложение вычетов к вычислению интегралов
- •Операционное исчисление Лекция № 74. Тема 1 : Оригинал и изображение
- •1.1. Определение оригинала и изображения
- •1.2. Изображения некоторых функций
- •Тема 2 : Основные теоремы операционного исчисления
- •2.1. Теоремы подобия, запаздывания и смещения
- •Лекция № 75.
- •3.2. Приложение операционного исчисления к задачам техники
- •С о д е р ж а н и е
6.1.2. Распределение Пуассона
Пусть в схеме Бернулли производится n опытов, в которых вероятность появления события А мала, а n велико и .
Определение 2. СВ X распределена по закону Пуассона, если вероят-ностьтого, чтоона примет определённое значение k, выражается формулой
Пуассона , т.е. закон распределения имеет вид
-
X
0
1
…
k
…
p
…
…
Тогда .
Аналогично можно показать, что .
Пример 2. Автозавод отгрузил автомобилей. Вероятность повреждения автомобиля при транспортировке. Определить веро-ятность того, что автомагазин получит повреждённых автомобилей.
Вначале определим математическое ожидание .
Тогда
6.1.3. Геометрическое распределение
Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р, а, значит, вероятность непоявления события А равна . Испытания заканчиваются в момент появления событияА. Следовательно, если событие А появи-лось в k-ом испытании, то в предыдущихk 1 испытаниях оно не появля-
лось, т.е. описываемое событие имеет вид .
Отсюда получим
Обозначим через Х дискретную случайную величину – число испы-таний, которые необходимо провести до появления события А. Таким образом СВ Х может принимать только значения 1, 2, 3, …
Определение 3. СВ X распределена по геометрическому закону, если вероятностьтого, чтоона примет определённое значение k, выражается формулой , т.е. закон распределения имеет вид
-
X
1
2
3
…
k
…
p
p
…
…
Нетрудно убедиться, что сумма всех вероятностей, как сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, равна
Тогда
Аналогично можно показать, что .
Пример 3. Студент может сдать экзамен по высшей математике с вероятностью 0,6. Определить вероятность того, что:
а) студент сдаст экзамен с третьей попытки;
б) студент сдаст экзамен за три попытки.
Имеем и вероятность того, что студент сдаст экзамен с третьей попытки
Вероятность того, что студент сдаст экзамен за три попытки
6.2. Непрерывные законы распределения
6.2.1. Равномерное распределение
В некоторых задачах практики встречаются непрерывные СВ, о которых известно, что их возможные значения находятся в некотором промежутке, где они одинаково вероятны. О таких СВ говорят, что они распределены по закону равномерной плотности. Из такого понятия следует, что их функция плотности распределения имеет вид
Определим константу С из свойства 4 функции плотности
Легко найти интегральную функцию распределения
и основные числовые характеристики равномерного распределения:
Пример 1. Колесо приводится во вращение, а затем останавливается под действием сил трения. Угол случайная величина, равномерно распре-делённая в промежутке . Найти её числовые характеристики.
6.2.2. Показательное распределение
Определение 3. Показательным (экспоненциальным) распределением называется распределение, которое имеет функцию плотности вида
с параметром .
Найдём интегральную функцию этого распределения
Приведём графики дифференциальной и интегральной функций пока-зательного распределения.
1
0 х 0 х
Найдем основные числовые характеристики показательного распреде-ления – математическое ожидание:
Аналогично, используя формулу интегрирования по частям дважды, находим и дисперсию
т.е. для показательного распределения выполняется соотношение
Показательное распределение широко используется в теории надёжности. Пусть элемент некоторого устройства начинает работать в момент времени , а в моментt происходит отказ в работе. Обоз-начим через T непрерывную СВ – время безотказной работы элемента, а через интенсивность отказа (среднее число отказов в единицу времени), тогда функция распределения
определяет вероятность отказа элемента за время t, а функция
вероятность безотказной работы за 1
время t. Она называется функцией
надёжности. Ее график подобен
графику функции плотности
показательного распределения . t
Пример 2. СВ Т - время безотказной работы станка имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что время безотказной работы станка будет не менее 6000 часов, если среднее время безотказной работы станка 4000 часов.
Здесь математическое ожидание и тогда
Характеристическое свойство показательного закона надежности:
Вероятность безотказной работы устройства на интервале времени длительности t не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от времени t.
Действительно, обозначим события:
А – безотказная работа устройства на интервале времени ;
В – безотказная работа устройства на интервале времени ;
А В – безотказная работа устройства на интервале времени .
Найдем вероятности этих событий
Найдем условную вероятность того, что устройство будет работать безотказно на интервале времени при условии, что оно уже проработало безотказно на предыдущем интервале времени
Как видим, полученная формула не содержит , а содержит только величину времениt.
Другими словами, в случае показательного закона надежности прошлая работа устройства не влияет на вероятность его будущей безотказной работы, что очень удобно для решения практических задач.