- •Курс лекций
- •2. Решение волнового уравнения методом Фурье
- •Кратные интегралы Лекция № 51. Тема 1: Определение кратного интеграла
- •1.1. Задачи, приводящие к понятию кратного интеграла
- •1.2. Определение кратного интеграла и его основные свойства
- •Тема 2: Двойной интеграл
- •2.1. Определение двойного интеграла
- •2.2. Вычисление двойного интеграла.
- •Лекция № 52
- •2.3. Замена переменных в двойном интеграле.
- •2.4. Двойной интеграл в полярной системе координат
- •2.5. Приложения двойного интеграла
- •. Лекция № 53
- •Лекция № 54. Тема 3 : Тройной интеграл
- •3.1. Определение и вычисление тройного интеграла
- •3.2. Замена переменных в тройном интеграле
- •3.3. Приложения тройного интеграла
- •Лекция № 55. Тема 4 : Криволинейные интегралы
- •4.1. Криволинейные интегралы первого рода или по длине дуги
- •4.2. Криволинейные интегралы второго рода или по координатам
- •Лекция № 56.
- •4.3. Формула Грина
- •4.4. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования
- •Тема 5 : Поверхностные интегралы
- •5.1. Поверхностные интегралы первого рода
- •5.2. Поверхностные интегралы второго рода
- •5.3. Приложения поверхностных интегралов
- •Лекция № 57. Тема 6 : Элементы теории поля
- •6.1. Понятие поля
- •6.2. Формула Гаусса Остроградского
- •6.3. Формула Стокса
- •Теория вероятностей Лекция № 58. Тема 1 : Общие понятия
- •1.1. Предмет теории вероятностей
- •1.2. Пространство элементарных событий
- •1.3. Операции над событиями
- •1.4. Статистический подход к понятию вероятности
- •Лекция № 59
- •1.5. Элементы комбинаторики
- •1. Перестановки.
- •2. Сочетания.
- •3. Размещения.
- •1.6. Классическое определение вероятности
- •1.7. Аксиоматическое определение вероятности
- •Лекция № 60. Тема 2 : Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1. Теорема умножения вероятностей
- •2.2. Теорема сложения вероятностей
- •2.3. Формула полной вероятности
- •2.4. Формула Бейеса
- •Лекция № 61. Тема 3 : Повторение испытаний
- •3.1. Независимые испытания. Формула Бернулли
- •3.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •3.3. Интегральная теорема Лапласа
- •3.4. Теорема Пуассона
- •3.5. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
- •Лекция № 62. Тема 4 : Случайные величины и функции распределения
- •4.1. Случайные величины
- •4.2. Функция распределения вероятностей для дискретной св
- •4.3. Непрерывная св. Функция распределения
- •Лекция № 63. Тема 5 : Числовые характеристики св
- •5.1. Математическое ожидание св
- •5.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение св
- •5.3. Понятие о моментах св
- •Лекция № 64. Тема 6 : Основные законы распределения случайных величин
- •6.1. Дискретные законы распределения
- •6.1.1. Биномиальное распределение
- •6.1.2. Распределение Пуассона
- •6.1.3. Геометрическое распределение
- •6.2. Непрерывные законы распределения
- •6.2.1. Равномерное распределение
- •6.2.2. Показательное распределение
- •Лекция № 65
- •6.2.3. Нормальное распределение
- •Тема 7 : Закон больших чисел
- •Лекция № 66. Тема 8 : Многомерные случайные величины
- •8.1. Многомерные св и их функции распределения
- •8.2. Числовые характеристики двумерной случайной величины
- •Элементы математической статистики Лекция № 67. Введение
- •1. Предмет математической статистики
- •Тема 1: Статистические законы распределения выборки
- •1.1. Полигон и гистограмма
- •1.2. Эмпирическая функция распределения
- •Тема 2 : Статистические оценки параметров распределения
- •2.1. Точечные оценки
- •2.2. Интервальные оценки
- •Лекция № 68
- •Тема 3 : Проверка статистических гипотез. Критерий согласия Пирсона
- •Тема 4 : Элементы теории корреляции
- •4.1. Статистические зависимости
- •4.2. Линейная регрессия
- •4.3. Корреляционная таблица
- •4.4. Выборочный коэффициент корреляции
- •Теория функций комплексной переменной Лекция № 69. Определение функции комплексной переменной
- •1.1. Комплексные числа и действия над ними
- •1.2. Тригонометрическая и показательная формы записи
- •1.3. Определение функции комплексной переменной
- •Лекция № 70
- •1.3. Предел и непрерывность функции комплексной переменной
- •Тема 2 : Ряды с комплексными членами
- •2.1. Числовые ряды
- •2.2. Степенные ряды
- •2.3. Основные элементарные функции комплексной переменной
- •Лекция № 71. Тема 3 : Производная функции комплексной переменной
- •3.1. Определение производной
- •3.2. Гармонические функции
- •Тема 4 : Интеграл от функции комплексной переменной
- •4.1. Определение интеграла
- •4.2. Основная теорема Коши
- •Лекция № 72
- •4.3. Интегральная формула Коши
- •4.4. Производные высших порядков от аналитической функции
- •4.5. Ряд Тейлора
- •. . . . .
- •4.6. Ряд Лорана
- •Лекция № 73
- •Тема 5 : Вычеты
- •5.1. Изолированные особые точки аналитической функции
- •5.2. Определение вычета
- •5.3. Основная теорема о вычетах
- •5.4. Приложение вычетов к вычислению интегралов
- •Операционное исчисление Лекция № 74. Тема 1 : Оригинал и изображение
- •1.1. Определение оригинала и изображения
- •1.2. Изображения некоторых функций
- •Тема 2 : Основные теоремы операционного исчисления
- •2.1. Теоремы подобия, запаздывания и смещения
- •Лекция № 75.
- •3.2. Приложение операционного исчисления к задачам техники
- •С о д е р ж а н и е
Лекция № 70
1.3. Предел и непрерывность функции комплексной переменной
Пусть дана последовательность комплексных чисел ,
где .
Определение 1. Число называется пределом такой после-довательности, если, чтои при этом пишутили.
Геометрическиэтоозначает, чтовсечлены с номерами попали в -окрестность точки. Очевидна
Теорема. Если , то . Верно и обратное.
Пример 1. Найти предел
Определение 2. Переменная или, если, что.
Из этого определения следует, что выполняется условие
Определение 3. Комплексное число называется пределом функциикомплексной переменнойпри, если, что как только, тои пишут
Из этого определения следует, что существуют пределы
и
Определение 4. Комплексное число называется пределом функциикомплексной переменнойпри, если, что как только, тои пишут
Замечание 1. Для функции комплексной переменной справедливы такие же теоремы о пределах, как и для функции действительной переменной.
Определение 5. Функция называется непрерывной в точке, если она определена в некоторой окрестности этой точки и
.
Тема 2 : Ряды с комплексными членами
2.1. Числовые ряды
Рассмотрим ряд, члены которого являются комплексными числами
, (1)
где .
Аналогично, как и для числовых рядов с действительными членами, определяются:
Сумма ряда , где частичная сумма.
Остаток ряда . Если ряд сходится, то .
Абсолютная сходимость ряда, т.е. .
Очевидно, если ряд сходится, тогда сходятся и ряды , . Верно и обратное.
Это позволяет исследовать сходимость рядов (1), основываясь на сходимости числовых рядов с действительными членами. Поэтому не-обходимый и достаточные признаки для рядов (1) остаются такими же, как и для рядов с действительными членами.
2.2. Степенные ряды
Определение 6. Степенным рядом называется ряд вида
, (2)
где комплексные числа, а z комплексная переменная.
Определение 7. Суммой ряда (2) называется
В дальнейшем будем рассматривать степенные ряды вида , что достигается с помощью замены. Для степенных рядов также справедлива теорема Абеля, которая доказывается аналогично.
Теорема. Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится абсолютно во всех точках z, удовлетворяющих условию .
Если степенной ряд расходится в точке , то он расходится во всех точках z, удовлетворяющих условию .
Из теоремы Абеля следует, что существует , для какого внутри кругаряд сходится, а вне – расходится. Областьназываетсякругом сходимости степенного ряда.
Пример 2. Найти круг сходимости ряда .
2.3. Основные элементарные функции комплексной переменной
Элементарные функции комплексной переменной определяются как суммы тех степенных рядов, в которые разлагались эти функции, когда переменная z была бы действительной переменной x. Полученные таким образом функции называются аналитическим продолжением.
1. Экспонента .
.
Её свойства аналогичны свойствам функции действительного аргу-мента. Кроме того, она является периодической с периодом , так как
.
2. Тригонометрические функции
Для этих функций остаются те же свойства и формулы, что и для функций действительного аргумента.
Аналогично можно доказать и формулу Эйлера для комплексного аргумента . В частности, как уже было доказано ранее,, гдеx действительное. Тогда , из чего следует
Например, докажем известную формулу из тригонометрии
3. Гиперболические функции.
Аналогично, как и для формулы Эйлера можно доказать формулы
из которых следуют свойства гиперболических функций и их связь с три-гонометрическими функциями:
Замечание 2. Аналогично определяются тригонометрические и гипер-болические тангенсы и котангенсы:
4. Логарифмическая функция.
Рассмотрим уравнение . Всякое значение корня этого уравнения (логарифмz) обозначается .
При этом, в силу периодичности эта функция многозначная. Пусть, а, тогда
или
и окончательно получаем
В области справедливо соотношение главное значение логарифма. Тогда
.
Пример 3.
5. Степенная функция . Если a действительное иррациональ-ное или комплексное число, то функция имеет бесконечное число значений, а длярациональных показателей степени a конечное число значений.
По определению .
Главное значение .
Пример 4.
6. Показательная функция .
Аналогично , а главное значение.
Пример 5. Найти главное значение выражения