- •Курс лекций
- •2. Решение волнового уравнения методом Фурье
- •Кратные интегралы Лекция № 51. Тема 1: Определение кратного интеграла
- •1.1. Задачи, приводящие к понятию кратного интеграла
- •1.2. Определение кратного интеграла и его основные свойства
- •Тема 2: Двойной интеграл
- •2.1. Определение двойного интеграла
- •2.2. Вычисление двойного интеграла.
- •Лекция № 52
- •2.3. Замена переменных в двойном интеграле.
- •2.4. Двойной интеграл в полярной системе координат
- •2.5. Приложения двойного интеграла
- •. Лекция № 53
- •Лекция № 54. Тема 3 : Тройной интеграл
- •3.1. Определение и вычисление тройного интеграла
- •3.2. Замена переменных в тройном интеграле
- •3.3. Приложения тройного интеграла
- •Лекция № 55. Тема 4 : Криволинейные интегралы
- •4.1. Криволинейные интегралы первого рода или по длине дуги
- •4.2. Криволинейные интегралы второго рода или по координатам
- •Лекция № 56.
- •4.3. Формула Грина
- •4.4. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования
- •Тема 5 : Поверхностные интегралы
- •5.1. Поверхностные интегралы первого рода
- •5.2. Поверхностные интегралы второго рода
- •5.3. Приложения поверхностных интегралов
- •Лекция № 57. Тема 6 : Элементы теории поля
- •6.1. Понятие поля
- •6.2. Формула Гаусса Остроградского
- •6.3. Формула Стокса
- •Теория вероятностей Лекция № 58. Тема 1 : Общие понятия
- •1.1. Предмет теории вероятностей
- •1.2. Пространство элементарных событий
- •1.3. Операции над событиями
- •1.4. Статистический подход к понятию вероятности
- •Лекция № 59
- •1.5. Элементы комбинаторики
- •1. Перестановки.
- •2. Сочетания.
- •3. Размещения.
- •1.6. Классическое определение вероятности
- •1.7. Аксиоматическое определение вероятности
- •Лекция № 60. Тема 2 : Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1. Теорема умножения вероятностей
- •2.2. Теорема сложения вероятностей
- •2.3. Формула полной вероятности
- •2.4. Формула Бейеса
- •Лекция № 61. Тема 3 : Повторение испытаний
- •3.1. Независимые испытания. Формула Бернулли
- •3.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •3.3. Интегральная теорема Лапласа
- •3.4. Теорема Пуассона
- •3.5. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
- •Лекция № 62. Тема 4 : Случайные величины и функции распределения
- •4.1. Случайные величины
- •4.2. Функция распределения вероятностей для дискретной св
- •4.3. Непрерывная св. Функция распределения
- •Лекция № 63. Тема 5 : Числовые характеристики св
- •5.1. Математическое ожидание св
- •5.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение св
- •5.3. Понятие о моментах св
- •Лекция № 64. Тема 6 : Основные законы распределения случайных величин
- •6.1. Дискретные законы распределения
- •6.1.1. Биномиальное распределение
- •6.1.2. Распределение Пуассона
- •6.1.3. Геометрическое распределение
- •6.2. Непрерывные законы распределения
- •6.2.1. Равномерное распределение
- •6.2.2. Показательное распределение
- •Лекция № 65
- •6.2.3. Нормальное распределение
- •Тема 7 : Закон больших чисел
- •Лекция № 66. Тема 8 : Многомерные случайные величины
- •8.1. Многомерные св и их функции распределения
- •8.2. Числовые характеристики двумерной случайной величины
- •Элементы математической статистики Лекция № 67. Введение
- •1. Предмет математической статистики
- •Тема 1: Статистические законы распределения выборки
- •1.1. Полигон и гистограмма
- •1.2. Эмпирическая функция распределения
- •Тема 2 : Статистические оценки параметров распределения
- •2.1. Точечные оценки
- •2.2. Интервальные оценки
- •Лекция № 68
- •Тема 3 : Проверка статистических гипотез. Критерий согласия Пирсона
- •Тема 4 : Элементы теории корреляции
- •4.1. Статистические зависимости
- •4.2. Линейная регрессия
- •4.3. Корреляционная таблица
- •4.4. Выборочный коэффициент корреляции
- •Теория функций комплексной переменной Лекция № 69. Определение функции комплексной переменной
- •1.1. Комплексные числа и действия над ними
- •1.2. Тригонометрическая и показательная формы записи
- •1.3. Определение функции комплексной переменной
- •Лекция № 70
- •1.3. Предел и непрерывность функции комплексной переменной
- •Тема 2 : Ряды с комплексными членами
- •2.1. Числовые ряды
- •2.2. Степенные ряды
- •2.3. Основные элементарные функции комплексной переменной
- •Лекция № 71. Тема 3 : Производная функции комплексной переменной
- •3.1. Определение производной
- •3.2. Гармонические функции
- •Тема 4 : Интеграл от функции комплексной переменной
- •4.1. Определение интеграла
- •4.2. Основная теорема Коши
- •Лекция № 72
- •4.3. Интегральная формула Коши
- •4.4. Производные высших порядков от аналитической функции
- •4.5. Ряд Тейлора
- •. . . . .
- •4.6. Ряд Лорана
- •Лекция № 73
- •Тема 5 : Вычеты
- •5.1. Изолированные особые точки аналитической функции
- •5.2. Определение вычета
- •5.3. Основная теорема о вычетах
- •5.4. Приложение вычетов к вычислению интегралов
- •Операционное исчисление Лекция № 74. Тема 1 : Оригинал и изображение
- •1.1. Определение оригинала и изображения
- •1.2. Изображения некоторых функций
- •Тема 2 : Основные теоремы операционного исчисления
- •2.1. Теоремы подобия, запаздывания и смещения
- •Лекция № 75.
- •3.2. Приложение операционного исчисления к задачам техники
- •С о д е р ж а н и е
Лекция № 66. Тема 8 : Многомерные случайные величины
8.1. Многомерные св и их функции распределения
Определение 1. Многомерной случайной величиной называется вектор, координаты которого являются СВ, т.е. .
Например, координаты точки попадания при выстреле – двумерная СВ; станок изготовляет детали длиною X, внутренним диаметром Y, внешним диаметром Z - трёхмерная СВ (X, Y, Z).
Ограничимся случаем двумерной СВ (X, Y). Законом распределения дискретной двумерной СВ является перечень её возможных значений и соответствующих им вероятностей. Его удобно задавать в виде таблицы.
-
Y X
…
…
…
…
…
…
…
…
…
Здесь .
Аналогично, как и в случае одномерной СВ, обозначим через множество элементарных событий, для которых одно-временно выполняются неравенства и.
Определение 2. Функцией распределения двумерной СВ называется .у
Геометрически функция (х, у)
представляет собой вероятность
попадания случайной величины
(X, Y) в бесконечный квадрат х
с вершиной в точке (х, у).
Из определения функции
распределения следуют ее свойства.
1.
2. неубывающая функция.
3.
4. , где и функции распределения СВ X и Y соответственно.
5.
Рассмотрим предел .
Можно показать, что этот предел равен плот-ности распределения двумерной СВ.
Свойства плотности распределения:
1. , так какнеубывающая функция.
2. Вероятность попадания СВ (X, Y) в область D равна
так как вероятность попадания в прямоугольник пло-щадью .
3. , что следует из определения.
4. , что следует из свойства3 и того, что
5.
Определение 3. СВ X и Y называются независимыми, если выполняется равенство
или
Пример 1. Определить зависимы или независимы СВ X, Y и найти вероятность их попадания в квадрат , если
.
Имеем X и Y - независимые СВ.
8.2. Числовые характеристики двумерной случайной величины
Числовые характеристики составляющих двумерной СВ вводятся также как и для одномерной. Кроме таких числовых параметров вводятся и такие, которые характеризуют зависимость составляющих X и Y.
Определение 4. Ковариацией двумерной СВ называется
.
После простых преобразований можно получить
.
Очевидно, . Для дисперсии суммы ранее была получена формула (лекция 63)
.
Тогда для независимых СВ . Таким образом, если, то случайные величиныX и Y зависимы.
Для характеристики степени зависимости случайных величин X и Y используется коэффициент корреляции
.
Отметим его основные свойства.
1. Если СВ X и Y независимы, то коэффициент корреляции . Обратное, вообще говоря, неверно.
2. Если , гдеА и В , то.
Действительно, обозначим , тогда
и
После этого получаем
3. .
Замечание. Из определения и свойств коэффициента корреляции сле-дует, что он оценивает линейную связь между X и Y. При этом:
1. функциональная линейная связь.
2. статистическая зависимость.
3. линейная связь отсутствует.
Пример 2. Закон распределения СВ (X, Y) задан таблицей
Y X |
3 |
10 |
12 |
4 |
0,17 |
0,13 |
0,25 |
5 |
0,1 |
0,3 |
0,05 |
Найти законы распределения составляющих и числовые характеристики.
Проводя суммирование по соответствующим строкам и столбцам, получаем
-
Y
4
5
Х
3
10
12
p
0,55
0,45
p
0,27
0,43
0,3
Вычислим числовые характеристики:
Найденный коэффициент корреляции мал, следовательно, СВ X и Y слабо зависимы.