- •Интегральное исчисление Лекция № 25. Тема 1: Неопределённый интеграл
- •1.1. Первообразная и неопределённый интеграл
- •Лекция № 26
- •1.5. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трёхчлен
- •1.6. Интегрирование по частям
- •1.7. Многочлены и рациональные дроби
- •Лекция № 27
- •1.8. Интегрирование рациональных дробей
- •1.9. Интегрирование тригонометрических функций
- •Лекция № 28
- •1.10. Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •1.11. Понятие о неберущихся интегралах
- •Лекция № 29. Тема 2 : Определённый интеграл
- •2.1. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла
- •2.2. Определение определённого интеграла
- •2.3. Основные свойства определённого интеграла
- •4. .
- •2.4. Интеграл как функция верхнего предела
- •Лекция № 30
- •2.7. Интегрирование по частям в определённом интеграле
- •Лекция № 31. Тема 3 : Приложения определённого интеграла
- •3.1. Площадь плоской фигуры
- •3.2. Длина дуги плоской кривой
- •3.3. Площадь поверхности тела вращения
- •3.4. Вычисление объёма тела по площадям поперечных сечений
- •Лекция № 32
- •3.5. Приложения определённого интеграла к некоторым задачам физики
- •Тема 4 : Несобственные интегралы
- •4.1. Несобственные интегралы первого рода (с бесконечными пределами)
- •4.2. Несобственные интегралы второго рода (от разрывных функций)
- •Функции нескольких переменных Лекция № 33. Тема 1 : Предел. Непрерывность. Частные производные
- •1.1. Определение функции нескольких переменных
- •1.2. Предел и непрерывность функции двух переменных
- •1.3. Частные производные функции двух переменных
- •1.4. Полный дифференциал функции двух переменных
- •1.5. Производная сложной функции
- •2.4. Производная по направлению
- •2.5. Градиент функции
- •Лекция № 35
- •2.6. Касательная и нормаль к поверхности
- •Тема 3* : Векторная функция скалярного аргумента
- •3.1. Векторная функция. Предел. Непрерывность
- •3.2. Производная векторной функции
- •. Лекция № 36. Тема 4 : Экстремум функции нескольких переменных
- •4.1. Необходимые условия экстремума
- •4.2. Достаточные условия экстремума
- •4.3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции
- •Лекция № 37
- •4.4. Условный экстремум
- •4.5. Метод наименьших квадратов
- •Дифференциальные уравнения Лекция № 38. Тема 1 : Введение
- •1.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
- •1.2. Определение дифференциального уравнения
- •Тема 2: Дифференциальные уравнения первого порядка
- •2.1. Общие понятия. Теорема существования и единственности
- •2.2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •Лекция № 39
- •2.3. Однородные уравнения
- •Лекция № 40. Тема 3 : ду высших порядков
- •3.1. Определение ду п-го порядка
- •3.2. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •4.2. Теорема о структуре общего решения лоду-2
- •Лекция № 41
- •4.3. Лоду-2 с постоянными коэффициентами
- •4.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
- •4.5. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
- •Лекция № 42
- •4.6. Лнду-2 с постоянными коэффициентами со специальной правой частью
- •6.2. Решение нормальных систем ду методом исключений
1.11. Понятие о неберущихся интегралах
Теорема существования неопределённого интеграла утверждает, что всякая , непрерывная на, имеет на этом интервале первообразную. Однако из этого не следует, что интеграл от любой элементарной функции выражается через элементарные функции. Такие интегралы называютсянеберущимися в элементарных функциях. Они порождают новые, неэлементарные функции.
К таким интегралам, например, относятся:
интеграл Пуассона;
интегральные синус и косинус;
интегралы Френеля;
интегральный логарифм и многие другие.
Существуют другие методы для их нахождения с использованием так называемых специальных функций, функциональных рядов и т.п.
Лекция № 29. Тема 2 : Определённый интеграл
2.1. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла
1. Задача о площади криволинейной трапеции.
Пусть на задана функция. Требуется найти пло-щадьS фигуры, образованной осью Ox, прямыми: играфиком функции (криволинейная трапеция).
у
x
О а хi-1 xi b
Разобьём нап частей: . На каждом участке разбиениявыберем точкуи составим сумму
, где . (1)
Тогда , так какSп геометрически представляет собой площадь ступенчатой фигуры. Если теперь перейти к пределу в формуле (1), когда , то получим значение площади криволинейной трапеции, т.е.
.
2. Задача о массе тела.
Задан линейный неоднородный стержень с плотностью , лежащий в пределах. Требуется определить его массуМ. Аналогично разобьём его на части. Так как в пределах плотностьизменяется мало, то, а масса стержня
.
Точное значение массы получим, если перейти к пределу, когда .
.
2.2. Определение определённого интеграла
Пусть на задана функция. Разделимна части произвольным образом точками:. На каждом из полученных отрезков разбиенияпроизвольно выберем точкуи составим сумму
, где , (2)
называемую интегральной суммой функции на отрезке.
Определение 1. Если предел интегральной суммы (2) не зависит от способа разбиения отрезка и выбора точек, то он называется опре-делённым интегралом от функциина отрезкеи обозначается
, (3)
где а - нижний, b - верхний пределы интегрирования.
Определение 2. Если для насуществует предел (3), то функцияназываетсяинтегрируемой на .
При каких условиях существует предел (3)?
Теорема 1 (теорема существования определённого интеграла). Если непрерывна на , то она интегрируема на .
Замечание. Среди разрывных функций на есть как интегри-руемые (ограниченные монотонные), так и неинтегрируемые. Например, неинтегрируемой является функция Дирихле
D (x) =
Действительно, если в качестве точек выбрать рациональные точки и рассмотреть функцию Дирихле на отрезке, то из формулы (3) следует
а если выбрать иррациональные точки, то
Таким образом, предел (3) не существует.
Теперь выясним геометрический смысл определённого интеграла:
Из ранее рассмотренной задачи при это площадь криволинейной трапеции. При это тоже площадь, но со знаком минус. Поэтому определённый интеграл – это алгебраическая площадь криволинейной трапеции.
у
х
Физический смысл определённого интеграла.
Из ранее рассмотренной задачи масса стержня с линейной плотностью определяется как.
Аналогично рассуждая, получаем: если - сила, действующая вдоль прямолинейного участка, то работа этой силы.