Лабораторная работа № 4 «Численные методы решения дифференциальных уравнений»
Данная лабораторная работа посвящена численным методам решения дифференциальных уравнений. Будем рассматривать методы решения одного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с одним начальным условием:
,
(1)
.
(2)
Методы, которые здесь рассматриваются, легко обобщаются для системы уравнений первого порядка. А уравнения высших порядков можно свести к системе уравнений первого порядка.
В основном существует два широких класса методов:
1. Одноступенчатые методы, в которых используется только информация о самой кривой в одной точке и не производятся итерации. Один из методов - решение с помощью рядов Тейлора (он неудобен для практического использования). Практически удобные методы этого класса - методы Рунге-Кутта. Эти методы прямые (без итераций), но требуют многократных повторных вычислений функции. При использовании данных методов трудно оценивать допускаемую ошибку.
2. Многоступенчатые методы, в которых следующую точку кривой можно найти, не производя так много повторных вычислений функции, но для достижения достаточной точности требуются итерации. Большинство методов этого класса называются методами прогноза и коррекции (метод Адамса-Бошфора). Некоторые трудности, связанные с использованием итерационной процедуры и с использованием нескольких начальных точек уравновешиваются тем фактом, что оценку ошибки при использовании этого метода легко получить в качестве побочного продукта вычислений.
Как и во многих других случаях, эти два класса методов придется сочетать разумным образом, учитывая их достоинства и недостатки.
Методы Рунге-Кутта
Методы Рунге-Кутта обладают следующими отличительными свойствами:
1) Эти методы
одноступенчатые: чтобы найти
,
нужна информация только о предыдущей
точке
,
.
2) Они согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка hp, где p - различна для различных методов и называется порядком метода.
3) Они не требуют
вычисления производных от
,
а требуют только вычисления самой
функции.
Именно благодаря
3) эти методы удобны для практических
вычислений, однако для вычисления одной
последующей точки решения нам придется
вычислять
несколько раз при различных значенияхx
и y.
1. Метод Эйлера
Один из самых старых и широко известных методов описывается формулой
.
(3)
Найденное по формуле (3) решение согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов порядка h, т.е. данный метод является методом Рунге-Кутта первого порядка.
Этот метод имеет довольно большую ошибку приближения, кроме того, он очень часто оказывается неустойчивым - малая ошибка (происходящая от приближения, округления или исходных данных) увеличивается с ростом x.
Для вычисления
метод Эйлера использует наклон касательной
только в точке
.
Этот метод можно усовершенствовать
множеством различных способов. Рассмотрим
два их них.
2. Исправленный метод Эйлера
В исправленном
методе Эйлера мы находим средний tg
угла наклона касательной для двух точек:
и
.
Соотношения, описывающие данный метод,
имеют вид:
,
(4)
,
(5)
.
(6)
Исправленный метод Эйлера согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов степени h2, являясь, т.о. методом Рунге-Кутта второго порядка.