3. Модифицированный метод Эйлера

В данном методе мы находим tg угла наклона касательной в точке: x=x_m+h/2, y=y_m+(h/2)y_m’. Соотношения, описывающие модифицированный метод Эйлера, имеют вид:

, (7)

, (8)

. (9)

Модифицированный метод Эйлера также согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов степени h², и также является методом Рунге-Кутта второго порядка.

4. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка

Данный метод является одним из самых употребительных методов интегрирования дифференциальных уравнений. Этот метод применяется настолько широко, что в литературе его просто называют «методом Рунге-Кутта» без всяких указаний на тип или порядок. Этот классический метод описывается системой следующих пяти соотношений:

, (10)

, (11)

, (12)

, (13)

. (14)

Ошибка приближения для этого метода равна е_т=kh⁵. Заметим, что при использовании этого метода функцию необходимо вычислять четыре раза.

Один из серьезных недостатков методов Рунге-Кутта состоит в отсутствии простых способов оценки их ошибки.

Методы прогноза и коррекции

Отличительной чертой методов Рунге-Кутта является то, что при вычислении следующей точки используется информация только о точке, но не о предыдущих. Кроме того, для методов Рунге-Кутта отсутствуют достаточно простые способы оценки ошибки, что приводит к необходимости рассмотрения некоторых дополнительных методов решения дифференциальных уравнений.

Отличительное свойство этих методов, что с их помощью нельзя начать решение уравнения, так как в них необходимо использовать информацию о предыдущих точках решения. Чтобы начать решение уравнения, имея только одну точку, определяемую начальными условиями, или для того, чтобы изменить h, необходим метод типа Рунге-Кутта. Поэтому приходится использовать разумное сочетание этих двух методов.

Методы, которые мы рассмотрим, известны под общим названием методов прогноза и корректировки. Как ясно из названия вначале «предсказывается» значение , а затем используется тот или иной метод его «корректировки».

Среди множества возможных формул прогноза и коррекции выберем по одному примеру, применимому ко многим практическим задачам.

5. Метод Адамса-Бошфора

Для прогноза используем формулу второго порядка

, (15)

где (0) - означает исходное приближение , т.е. предсказанное значение.

Непосредственно из написанной формулы следует, что с ее помощью нельзя вычислить y₁, так как для вычисления y₁ потребовалась бы точка, расположенная перед начальной точкой y₀. Чтобы начать решение с помощью метода прогноза и коррекции, для нахождения y₁ необходимо использовать метод типа Рунге-Кутта.

Для коррекции возьмем формулу, похожую на исправленный метод Эйлера (4)-(6):

, (16)

для i = 1, 2, 3, ...

Итерационный процесс прекращается, когда

, (17)

для некоторого ε>0.

Выполнение данной лабораторной работы заключается в численном решении дифференциального уравнения вышеперечисленными методами. Исходное дифференциальное уравнение и начальное условие заданы в таблице. Требуемое конечное значение аргумента вычисляется по формуле: x_k=5x₀+3.5.

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

1. Исходное дифференциальное уравнение в форме (1) и начальное условие (2), аналитическое решение y(x_k), полученное по правилам ВМ (точность вычисления - 0,0001).

2. Текст программы, результаты расчета и оценку точности результатов, полученных по методу Эйлера для трех различных величин шагов.

3. Текст программы, результаты расчета и оценку точности результатов, полученных по исправленному методу Эйлера для трех различных величин шагов.

4. Текст программы, результаты расчета и оценку точности результатов, полученных по модифицированному методу Эйлера для трех различных величин шагов.

5. Текст программы, результаты расчета и оценку точности результатов, полученных по методу Рунге-Кутта четвертого порядка для трех различных величин шагов.

6. Текст программы, результаты расчета и оценку точности результатов, полученных по методу Адамса-Бошфора для трех различных величин шагов. Для вычисления y₁ использовать метод Рунге-Кутта второго порядка.

7. Выводы, содержащие анализ точности и скорости сходимости рассмотренных методов.

Таблица 1. Исходные данные для лабораторной работы №4

Вар.	Дифференциальное уравнение	Начальное условие
1	y'=x^2-y/2x	y(1)=1
2	y'=5y+(2x-5)/x^2	y(2)=4
3	y'=y/x+xsinx	y(π/2)=1
4	y'=ycox+sin2x	y(0)=-1
5	y'=y/x-2lnx/x	y(1)=1
6	y'=y/x-lnx/x	y(1)=-5/6
7	y'=ycosx-sin2x	y(0)=3
8	y'=1+x^2+2xy/(1+x^2)	y(1)=3
9	y'=y/x-2/x^2	y(1)=1
10	y'=2/x^3-3y/x	y(1)=1
11	y'=3x^2y+x^2(1+x^3)/3	y(0)=0
12	y'=x/2-xy/2(1+x^2)	y(0)=2/3
13	y'=4xy-4x^3	y(0)=-1/2
14	y'=3x-y/x	y(1)=1
15	y'=2y/(x+1)+(x+1)^3	y(0)=1/2
16	y'=yctgx-2xsinx	y(π/2)=0
17	y'=xexp(-x^2)sinx-2xy	y(0)=1
18	y'=(cosx)^2-ytgx	y(π/4)=1/2
19	y'=-xy-x^3	y(0)=3
20	y'=y/(x+1)+exp(x)(x+1)	y(0)=1
21	y'=-2xy-2x^3	y(1)=exp(-1)
22	y'=sinx-y/x	y(π)=1/π
23	y'=1-(1-2x)y/x^2	y(1)=1
24	y'=y/x-12/x^3	y(1)=4