Розподіл засуджених за віком за звітний період (дані умовні)

Вік засудженого, років	До 18	18 – 25	25 – 35	35 – 50	50 і старші	Разом
Кількість засуджених	14	20	10	15	6	65

Розв’язання

Частка неповнолітніх злочинців визначається як питома вага кількості злочинців відповідної вікової групи у загальному обсязі вибіркової сукупності, тобто:

р = х_і /  х_і,

де х_і – кількість неповнолітніх злочинців у вибірці;

 х_і – загальна кількість злочинців, які потрапили до вибірки.

Тоді:

р = 14 / 65 = 0,215 і т.д..

Оскільки обсяги генеральної сукупності та вибірки великі, то для визначення граничної помилки використаємо формулу:

∆_w = = ,

де t – квантиль розподілу береться з таблиць нормального розподілу й для імовірності 0,954 t = 2;

p – частка неповнолітніх злочинців у вибірці;

q – частка повнолітніх злочинців у вибірці;

n – обсяг вибірки.

Оскільки сумарна кількість неповнолітніх та повнолітніх злочинців дорівнює обсягу вибірки, то q = 1 – p, тоді:

q = 1 – 0,215 = 0,785.

Тоді довірчий інтервал:

= 0,1.

Довірчий інтервал записується у вигляді: р = 0,215 0,1 або 0,115 р0,315.

Таким чином, з імовірністю 0,954 можна стверджувати, що частка неповнолітніх злочинців становить 0,215, а довірчий інтервал – р = 0,215 0,1 або 0,115р0,315, тобто у загальній сукупності із 650 злочинців частка неповнолітніх злочинців може коливатися в межах від 11,5 до 31,5 %.

Приклад 4

Визначити оптимальний обсяг вибірки для повторного механічного відбору з імовірністю 0,954 за умови, що вік працюючих у генеральній сукупності коливається від 16 до 62 років, а гранична помилка середнього віку працюючих не повинна перевищувати 2 роки.

Розв’язання

Оптимальний обсяг вибірки для повторного механічного відбору обчислюється за формулою:

,

де t – квантиль розподілу береться з таблиць нормального розподілу й для імовірності 0,954 t = 2;

–дисперсія генеральної сукупності;

 – гранична помилка.

Оскільки дисперсія генеральної сукупності невідома й відсутні дані щодо аналогічних досліджень, то для визначення дисперсії скористаємося правилом трьох сигм, тобто:

.

Тоді:

= 1 / 6 (62 – 16) = 7,7.

Тоді оптимальний обсяг вибірки становитиме:

n = 2 ² × 7,7 ² / 2 ² = 60.

Оскільки гранична помилка не повинна перевищувати 2 роки, то обсяг вибірки округлюємо у більший бік незалежно від того, яка цифра стоїть після цілого числа.

Таким чином, можна зробити висновок – з імовірністю 0,954 можна стверджувати, що оптимальний обсяг вибірки має бути 60 одиниць.

Приклад 5

Визначити оптимальний обсяг вибірки для безповторного механічного відбору для визначення частки якісної продукції з імовірністю 0,954 за умови, що обсяг генеральної сукупності дорівнює 2740 виробів, а гранична помилка якісної продукції не повинна перевищувати 0,2.

Розв’язання

Оптимальний обсяг вибірки для повторного механічного відбору обчислюється за формулою:

,

де t – квантиль розподілу береться з таблиць нормального розподілу й для імовірності 0,954 t = 2;

N – обсяг генеральної сукупності;

–дисперсія генеральної сукупності;

 – гранична помилка.

Для частки (альтернативної ознаки), коли відсутня будь-яка інформація про структуру сукупності, вважають, що частка р = 0,5, отже:

= 0,5 × 0,5 = 0,25.

Тоді оптимальний обсяг вибірки:

= = 25.

Таким чином, можна зробити висновок – з імовірністю 0,954 можна стверджувати, що за таких умов оптимальний обсяг вибірки має бути 25 одиниць.