2. Оцінки точності в системах моніторингу.

У самому загальному випадку вимірювання — це порівняння вимірюваної величини з побудованою в той чи інший спосіб шкалою можливих значень цієї величини; результат вимірювання ніколи не може являти собою точне значення вимірюваної величини, а є лише вказівкою на вузький інтервал її можливих значень. Вимірювання — процес, що полягає у порівнянні вимірюваної величини з деяким її значенням, прийнятим за норматив. У даному контексті терміном “вимірювання” позначається будь який спосіб знаходження значення ВВ, отриманого від джерела інформації. Джерелом інформації можуть бути: дані, отримані від експерта; дані, передані по каналах зв'язку; результати розрахунків показника; дані отримані з бази даних, тощо.

Вимірювана величина завжди визначається з деякою помилкою (похибкою). Ця помилка може бути інструментальною — при вимірі, виникати при реєстрації або перезапису даних, при передаванні по каналах за наявності перешкод. Так, при повідомленні про результати виконання виробничої програми в одиницях виробів, здавалося б, помилки не може бути. Але результати можуть бути отримані в деякому інтервалі часу, через що й можлива помилка.

Система моніторингу, видаючи інформацію про систему ВВ, використовує деякі джерела одержання цієї інформації, яка може бути опрацьована з різним ступенем складності. Вхідна відносно СМ інформація може формуватися або утворюватися в різні способи, а джерелами її можуть слугувати: система звітності організації, дані, одержувані від інших систем по каналах зв’язку, результати вимірювання спостережуваних величин і характеристик об’єктів, повідомлення про явища природи, ринкова інформація тощо. Але я кою б конкретно не була вхідна інформація, вона відображає фактично існуючі явища, реальні закономірності та факти. В основі отримання всіх цих характеристик лежать дослідні дані, експериментальні дані, фіксація реальних явищ, дані, отримувані у вигляді повідомлень або в результаті вимірів.

Результати вимірів і повідомлень у реальній дійсності мають імовірнісну природу і залежно від форми подання даних (неперервна або дискретна) визначаються законом розподілу ВВ, імовірністю достовірності даного повідомлення або іншими статистичними характеристиками. На практиці вхідна інформація ба­зується на статистичному матеріалі обмеженого обсягу (два-три десятки спостережень). Така обмеженість звичайно пов’язана з дорожнечею і складністю кожного вимірювання. Цього матеріалу часто буває недостатньо для визначення закону розподілу випадкової величини, проте існуючі дані можуть бути оброблені та використані для одержання деяких відомостей про ВВ. У таких випадках можна говорити про одержувану оцінку ВВ. Якщо ця оцінка виражається одним числом, то вона називається точковою. Щоб охарактеризувати точність і надійність точкової оцінки ВВ, у математичній статистиці користуються так званими довірчими інтервалами і довірчими ймовірностями.

Визначимо довірчий інтервал і довірчу ймовірність.

Нехай для значення ВВ отримана точкова оцінка a. Якщо позначити через  можливу помилку точкової оцінки і вважати, що з імовірністю  ця помилка не перевищить , то:

є довірчим інтервалом, а значення 

називають довірчою ймовірністю визначення істинного значення ВВ, рівного ā.

Значення та називають довірчими межами.

Довжина довірчого інтервалу дорівнює 2. Для визначення чисельних значень довжини довірчого інтервалу і довірчої ймовірності потрібно знати (або мати гіпотезу) функцію розподілу значення ВВ. Нехай ВВ розподілена за нормальним законом з функцією розподілу F(х):

(4)

і ми хочемо визначити математичне сподівання ВВ із довірчою ймовірністю .

За формулою визначення ймовірності випадкових величин, розподілених за нормальним законом влучення на ділянку, симетричну щодо центру розсіяння m, знаходимо:

,

де — середнє квадратичне відхилення.

З рівняння знаходимо значення:

, (5)

де arg Ф(х) — функція, обернена до Ф(х), тобто таке значення аргументу, при якому нормальна функція розподілу дорівнює Ф(х).

З формули 5 випливає, що між значеннями 2 і  існує функціональна залежність і, задавши , ми можемо визначити  і навпаки. У цілому ряді додатків важливо визначити оптимальне співвідношення між  і . Скористаємося теоретико-інформацій­ним критерієм I при визначенні цього співвідношення і обчислимо:

, (6)

де Н¹ і Н² апріорна та апостеріорна ентропія визначення значення ВВ з урахуванням прийнятого співвідношення.

Величина Н¹ не залежить від співвідношення між  і , а Н² визначається відповідно за формулою:

, (7)

де Н_ і Н_1- — умовні ентропії при прийнятті гіпотез про влучення та невлучення ВВ у довірчий інтервал;

, (8)

де: f(х) щільність розподілу ВВ при влученні її у довірчий інтервал;

 — «ділянка нечутливості».

При застосуванні методу довірчих інтервалів у випадку невлучення ВВ у довірчий інтервал (з імовірністю 1 – ) ми використовуємо лише інформацію про те, що ВВ не належить довірчому інтервалу, що зменшує апріорну ентропію Н¹ на величину Н_. Отже:

; (9)

з огляду на (6) — (3.7), одержуємо

. (10)

Для обчислення Н_ необхідно з’ясувати закон розподілу f(x) ВВ. Вважаючи закон розподілу усіченим нормальним і використовуючи метод довірчих інтервалів, одержуємо вираз для усіченого нормального закону:

Підставляючи значення f(x) у 3.8, отримаємо:

, (11)

де ^-1() — обернена функція Лапласа.

У табл. 1 наведено значення інтеграла, що входить у вираз 11.

Таблиця 1

Значення інтеграла у виразі 11

Z	0,1	0,2		0,3		0,4		0,5		0,6		0,7		0,8
	0,001	0,0022		0,0082		0,019		0,0356		0,0579		0,088		0,1176
Z	0,9	1,0		1,1		1,2		1,3		1,4		1,5		1,6
	0,1526	0,1891		0,225		0,2509		0,2936		0,323		0,3188		0,3704
Z	1,7	1,8		1,9		2,0		2,1		2,2		2,3		2,4
	0,3883	0,4027		0,4139		0,4224		0,4287		0,4332		0,4365		0,4387
Z	2,5		2,6		2,7		2,8		2,9		3,0
	0,4402		0,4411		0,4418		0,4422		0,4424		0,4426

Для обчислення значення Н¹ зручно навести у вигляді:

.

Ентропію Н¹ та Н_ зв’язує вираз 9, але Н_  Н¹, оскільки всі обчислення спрямовані на зменшення невизначеності значення ВВ.

З урахуванням виразів (10) — (12) одержуємо значення критерію I:

. (12)

При цьому значенні  і  пов’язані між собою виразом (5).

У практичному діапазоні значень , оптималь­не значення довірчої ймовірності має високе значення_opt= 0,96  0,98. Тому інформативнішими є дані про значення ВВ, що обчислюються з високою довірчою ймовірністю. Значення довірчого інтервалу визначається при цьому відповідно до (5).

У реальних додатках до СМ завжди висуваються вимоги щодо точності визначення значення ВВ. Найчастіше в результаті вимірів визначається ряд значень х₁, х₂,…, х_n ВВ, після обробки якого може бути визначений ряд характеристик ВВ (ми припускаємо, що вона розподілена за нормальним законом).

Нехай в результаті обробки ряду значень х₁, х₂,….., х_n визначено щільність закону розподілу ВВ:

. (13)

При цьому виявилося, що ₁  _зад або а₁  а_зад, де а_зад і _зад — задані значення щільності розподілу ВВ, що висуваються до СМ.

У цьому випадку для виконання вимог необхідно провести додаткову серію вимірів значень ВВ. Нехай у результаті проведення додаткової серії вимірів отримана щільність розподілу

. (14)

Аналогічно можна трактувати два виміри однієї й тієї ж ВВ, виконані різними засобами.

Задача полягає у визначенні результуючого закону розподілу ВВ. Результати вимірів — розподіли f₁(x) і f₂(x) — будемо називати першою і другою вибіркою відповідно. За наявності тільки першої вибірки природно думати, що вона являє собою випадкову величину з апріорною щільністю розподілу ₁(х) при  = 0. Тоді:

.

За цієї умови розподіл другої вибірки ₂(х) матиме вигляд:

,

де с =а₂ – а₁, а початок координат відповідає умові одержання першої вибірки.

Скористаємося формулою Байєса і одержимо:

. (15)

Підставляючи у формулу (15) значення ₁(х) і ₂(х), після перетворення одержимо:

. (16)

Як бачимо, отриманий вираз описує нормальний закон розподілу з параметрами:

; . (17)

Оскільки обидві вибірки відносяться до однієї й тієї ж ВВ, то, за рівності в них числа вимірів n, варто очікувати ₁ = ₂, при цьому:

. (18)

З формули (18) випливає, що шляхом використання додаткової вибірки можна збільшити результатну точність вимірювання, причому не обов’язково вирівнювати потужності множин вимірів в обох вибірках. Навіть якщо в другій вибірці використано меншу кількість вимірів, ніж у перший, і ₁  ₂, усе одно, відповідно до, ₀  min₁ ₂ і результат додаткової вибірки підвищить результатну точність визначення значення ВВ.

Будь-які відомості про значення ВВ утворюються в результаті її вимірювання. Головною ознакою вимірювання є одержання інформації про кількісне значення ВВ, проте форма подання результату виміру не може визначатися безвідносно до того, для чого необхідний результат цього виміру.

Результат виміру має обмежуватися деяким полем допуску  , в який вкладаються похибки вимірювання. Припущення про існування такої граничної похибки, яка не може бути перевищена, є неприйнятним, оскільки значення «максимальної спостережуваної похибки» є випадковою величиною, яка монотонно зростає зі збільшенням числа вимірів.

Найповнішою характеристикою опису похибки визначення ВВ є завдання розподілу ймовірності розміру похибки. При цьому використовується завдання щільності розподілу ймовірностей помилок (Н*). Ці величини визначаються законом розподілу помилки. Найчастіше використовуються рівномірний і нормальний закони розподілу. Розглянемо ці випадки.

Рівномірний закон розподілу.

Щільність розподілу ймовірностей записується по ділянках:

Середньоквадратична помилка дорівнює:

;

.

Нормальний закон розподілу.

Щільність розподілу дорівнює:

;

Середньоквадратична помилка дорівнює:

;

.

Оскільки ,

.

Отримані результати оцінки точності визначення значень ВВ використовують п’ять показників визначення точності. Це:

х- похибка виміру;

 - середньоквадратична похибка;

² - дисперсія ВВ;

А- максимальна похибка;

Н² - апостеріорна ентропія оцінки ВВ.

Якщо перші чотири оцінки мають загальновідому фізичну інтерпретацію, то інтерпретація Н² потребує роз’яснень. Ентропія значення ВВ характеризує невизначеність нашого знання щодо значення ВВ. Її можна інтерпретувати як величину, пропорційну зваженій точності, або як згладжування результатів окремих вимірів. Одне слід вважати непорушним: чим менша Н², тим менша невизначеність у наших знаннях про значення ВВ. Отже, ця міра без будь-яких обмежень може бути використана у порівняльних оцінках: чим менша Н², тим більше ми знаємо про ВВ.

У кожному конкретному випадку в СМ використовуються всі або деякі з перерахованих показників, які зручні для споживача чи для використання в подальших розрахунках.