Раздел II математический анализ: функция одной переменной

Вопросы для подготовки к тестированию

1. Дайте определение функции. Что называется областью определения и областью значений функции?

2. Каковы основные способы задания функции? Приведите примеры.

3. Какая функция называется четной, нечетной? Приведите примеры.

4. Какая функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке Р ?

5. Какая функция называется переодической? Приведите примеры.

6. Какие функции называются элементарными?

7. Перечислите основные элементарные функции.

8. Постройте график функции .

9. Какая функция называется сложной?

10. Какая функция называется явной?

11. Какая функция называется неявной?

12. Какой вид имеет параметрическое задание функции?

13. Сформулируйте определение предела числовой последовательности.

14. Сформулируйте определение предела функции в точке и в бесконечности.

15. Какая величина называется бесконечно малой и каковы ее основные свойства ?

16. Какая величина называется бесконечно большой и какова ее связь с бесконечно малой ?

17. Сформулируйте основные теоремы о пределах функций.

18. Какой предел называется первым замечательным пределом?

19. Какой предел называется вторым замечательным пределом?

20. Сформулируйте основные правила раскрытия неопределенностей.

21. Сформулируйте определение непрерывности функции в точке.

22. Сформулируйте свойства функций непрерывных в точке и на отрезке.

23. Какие точки называются точками разрыва функции ?

24. Дайте определение точки разрыва первого рода.

25. Какую точку называют точкой устранимого разрыва?

26. Дайте определение точки разрыва второго рода.

Задачи для подготовки к тестированию:

1. Найти области определения следующих функций:

Ответ: а);b);c).

2. Определите, какие из данных функций являются четными, нечетными, общего вида.

.

Ответ: a) четная;b) общего вида;c) четная;d) нечетная.

3. Найти пределы:

; ;

Ответ: 21; –2/3 .

4. Найти пределы:

а);б);в);г);

Ответ: а); б) 1;в);г)

5. Найти пределы:

а);б)

Ответ: а) 2;б) 0.

6. Найти пределы:

а);б)

Ответ: а) 6;б)

7. Исследовать на непрерывность функцию:

Ответ: в точке функция непрерывна, точка– точка разрыва первого рода.

Раздел III дифференциальное исчисление

Вопросы для подготовки к тестированию:

1. Сформулируйте определение производной функции. Каков ее геометрический, экономический и механический смысл?

2. Запишите формулы производных суммы, произведения, частного двух функций. Приведите примеры.

3. Запишите формулу дифференцирования сложной функции.

4. Запишите формулы дифференцирования степенной, показательной, логарифмической и тригонометрических функций.

5. Как находится производная обратной и неявной функции?

6. Как находится производная функции, заданная параметрическими уравнениями?

7. Сформулируйте определение дифференциала функции.

8. Сформулируйте определения производной и дифференциала высших порядков.

9. Сформулируйте правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида .

10. Сформулируйте достаточное и необходимое условия возрастания и убывания функции.

11. Сформулируйте определение точки экстремума функции.

12. Дайте определение критической (стационарной) точки.

13. Сформулируйте первое и второе достаточные условия экстремума.

14. Как найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке?

15. Сформулируйте условия выпуклости функции.

16. Что называется асимптотой графика функции?

17. Как определить вертикальные и наклонные асимптоты?

18. Изложите схему общего исследования функции и построения ее графика.

Задачи для подготовки к тестированию:

1. Вычислить производные следующих функций:

а) ;б)

Ответ: а) ; б)

2. Вычислить производные сложных функций:

а) ; б); в); г); д);

Ответ: а) ; б);

в) г); д); е).

3. Составить уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой.

Ответ: .

4. Найти производную функции , заданной неявно.

5. Найти дифференциалы следующих функций:

а) ; б); в); г).

Ответ: а) ; б); в);

г) .

6. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя:

а) ; б); в)

Ответ: а) 2; б) 27; в) 1/9

7. Определить промежутки возрастания и убывания следующих функций:а) ; б); в).

Ответ: а) – возрастает; б)– возрастает,– убывает; в)– возрастает,– убывает

8. Исследовать функции на экстремум:

а) ; б)г).

Ответ: а) – максимум ; б)– максимум,– минимум; г)– минимум,– максимум.

9. Определить интервалы выпуклости и найти точки перегиба следующих функций:

а) ; б).

Ответ: а) – интервал выпуклости вверх,– интервал выпуклости вниз; б)– интервал выпуклости вверх,– интервалы выпуклости вниз,– точки перегиба.

10. Найти наибольшее и наименьшее значения каждой из следующих функций:

а) на отрезке; б) на отрезке.

Ответ: а) – наибольшее значение,– наименьшее значение; б)– наибольшее значение,– наименьшее значение.