2 Математическая постановка задачи

В экономике каждому значению одной переменной соответствует множество значений. Связи между переменными можно изучать методом корреляционного и регрессионного анализа.

Корреляционная связь является частным случаем статистической связи, при которой изменение среднего значения результативного признака обусловлено изменением значений факторного признака (парная корреляция) или множества факторных признаков (множественная корреляция). Для оценки тесноты связи (связь отсутствует, слабая, умеренная, сильная), определения ее направленности (связь прямая или обратная), а также формы (связь линейная, параболическая, гиперболическая, степенная) используется корреляционно-регрессионный метод.

Корреляционно-регрессионный анализ позволяет количественно измерить тесноту, направление связи (корреляционный анализ), а также установить аналитическое выражение зависимости результата от конкретных факторов при постоянстве остальных действующих на результативный признак факторных признаков (регрессионный анализ).

Задачи проведения корреляционно-регрессионного анализа по предложенной модели (таблица 1) следующие:

а) определить уравнение связи между кредиторской задолженностью (x₁), суммой оборотных активов (x₂) и потребностью в собственных оборотных средствах (y);

б) вычислить коэффициенты корреляции и проанализировать тесноту связи между ними;

в) оценить качество построенной модели, вычислить среднюю ошибку аппроксимации и коэффициент детерминации;

г) дать экономическую интерпретацию полученных результатов;

д) определить точечные интервальные прогнозные оценки факторов модели на 2 года вперед.

3 Решение задачи в среде Excel

Чтобы определить, как повлияет изменение факторов x₁ и x₂ на изменение величины y, необходимо вычислить матрицу коэффициентов парной корреляции (таблица 2). Данную матрицу находим с помощью команды «Сервис / Анализ данных / Корреляция».

Таблица 2 – Матрица коэффициентов парной корреляции

	Потребность в собственных оборотных средствах	Кредиторская задолженность	Сумма оборотных активов
Потребность в собственных оборотных средствах	1
Кредиторская задолженность	0,934486151	1
Сумма оборотных активов	0,722705824	0,84102043	1

Данные таблицы 2 указывают на явление мультиколиниарности (rx₁x₂ = 0,84102043, следовательно, rx₁x₂ > 0,8). Полученная связь делает вычисление параметров модели затруднительным, поэтому, чтобы избавиться от мультиколиниарности в анализируемую модель необходимо включить один из факторов, который теснее связан с y. В этом случае, в модели останется лишь переменная x₁, т.к. она наиболее тесно связана с y.

Парный коэффициент корреляции (ryx₁)определяется по формуле 1.1

, (1.1)

Таблица 3 – Промежуточные расчеты коэффициента парной корреляции

t	y	х1	(yi - yср)	(yi - yср)^2	(xi - xср)	(xi - xср)^2	(yi - yср)*(xi - xср)
1	2960	1273	-1500,8	2252400,64	-1082	1170724	1623865,6
2	3440	1784	-1020,8	1042032,64	-571	326041	582876,8
3	4010	2568	-450,8	203220,64	213	45369	-96020,4
4	4870	2703	409,2	167444,64	348	121104	142401,6
5	7024	3447	2563,2	6569994,24	1092	1192464	2799014,4
сумма	22304	11775	0	10235092,8	0	2855702	5052138
среднее	4460,8	2355

Анализ матрицы коэффициентов показывает, что зависимая переменная х₁ имеет весьма тесную связь с у (rуx₁= 0,934486151). Следовательно, величина кредиторской задолженности весьма тесно связана с величиной потребности в собственных оборотных средствах предприятия. Однако показатель тесноты связи может искажаться под действием случайных величин. Это вызывает необходимость поверки его существенности с помощью t-критерия Стьюдента (t_r), табличное значение которого (t_k) равно 2,353

, (1.2)

где n – количество наблюдений.

Таким образом, произведенные расчеты показали, что t_r > t_k, поэтому величина коэффициента корреляции признается существенной.

Для отображения линейной зависимости переменных используется уравнение регрессии:

y = a₀ + a₁*x₁, (1.3)

где а₀ и а₁ – коэффициенты регрессии.

Необходимо рассчитать такие значения коэффициентов а₀ и а_1, при которых сумма квадратов отклонений расчетных значений y от фактических была бы минимальной

, (1.4)

, (1.5)

В результате произведенных расчетов в среде Excel а₀ = 294,4741754 и а₁ = 1,77. Значит уравнение регрессии примет вид (формула 1.6)

y = 294,47+1,77x₁, (1.6)

Применяя команду «Сервис / Анализ данных / Регрессия» можно найти все неизвестные параметры (рисунок 1), характеризующие уравнение регрессии и зависимость между параметрами.

Рисунок 1 – Регрессионная статистика

Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается коэффициент детерминации (R²), который характеризует долю дисперсии результативного показателя y, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного показателя. Т.е. коэффициент детерминации позволяет проверить, не упущен ли какой-либо фактор, оказывающий заметное влияние на показатель y.

R² = ryx₁², (1.7)

По расчетам в среде Excel R² = 0,873264367(следовательно, R² > 0,7) , это означает, что 87% рассеивания зависимых переменных объясняется линейной регрессией, а 13% рассеивания y остались необъяснимы. Эти 13% рассеивания у могут быть вызваны либо случайными ошибками эксперимента, либо тем, что линейная регрессионная модель плохо согласуется с экспериментальными данными.

Чтобы проверить значимость уравнения регрессии используется критерий Фишера (F)

, (1.8)

где k – количество степеней свободы.

Табличное значение F при указанных значениях: F_табл = 10,1. Так как расчетное F>F_табл, то приходим к выводу, что линейная модель регрессии согласуется с экспериментальными данными (имеет линейный вид), коэффициенты регрессии значимы.

Важную роль при оценке влияния факторов играют коэффициенты регрессионной модели. Но непосредственно с их помощью нельзя сопоставить факторы по степени их влияния на зависимую переменную из-за различия единиц измерения и разной степени их колеблемости. Для устранения таких различий применяется коэффициент эластичности (формула 1.9)

, (1.9)

Коэффициент эластичности показывает, насколько процентов измениться y при увеличении x₁ на 1%.

Полученные значения эластичности свидетельствуют о том, что при уменьшении кредиторской задолженности на 1%, потребность предприятия в собственных оборотных средствах уменьшится на 0,93%.

Значимость отдельных коэффициентов проверяем с помощью Т-критерия (t_a1) путем проверки гипотезы

(1.10)

где Sa1 – ошибка коэффициента регрессии:

, (1.11)

Таблица .4 – данные для расчета ошибки коэффициента регрессии

	y расч.	yф-yрасч	(yф-yрасч)^2
	2547,68	412,32	170007,7824
	3452,15	-12,15	147,6225
	4839,83	-829,83	688617,8289
	5078,78	-208,78	43589,0884
	6395,66	628,34	394811,1556
сумма	22314,1	-10,1	1297173,478

Данные значения можно также определить при помощи следующей команды «Сервис / Анализ данных / Регрессия» (рисунок 5.1) в столбце t-статистика.

Так как t_кр=1,86, следовательно t_a1 > t_кр, то коэффициенты уравнения линейной регрессии значимы.

Для принятия серьезных решений в экономике и бизнесе необходим прогноз и предвидение развития экономической ситуации. Для того чтобы предвидеть будущее, надо хорошо знать прошлое и присущие ему закономерности (временные ряды). Во временном ряде содержится информация об особенностях и закономерностях протекания процесса, а статистический анализ позволяет выявить и использовать их для оценки характеристик процесса в будущем, т.е. для прогнозирования.

При анализе временных рядов широко применяются графические методы. Визуальный анализ графика временного ряда позволяет сделать выводы о наличии тренда и его характере. В Excel для анализа временных рядов можно использовать «Мастер диаграмм».

Модель для фактора кредиторской задолженности х₁ определяется с помощью метода наименьших квадратов. Аппроксимирующей функцией выступает линейная функция.

Получаем следующую модель (формула 1.12)

x₁ = 526,7*t + 774,9, (1.12)

где t – период наблюдения.

По данному уравнению получим прогноз на два года вперед. Для этого построим график временного ряда и линию тренда.

Рисунок 2 – График временного ряда кредиторской задолженности и ее линия тренда

Для временного ряда кредиторской задолженности х₁ рассчитываются следующие прогнозные значения:

при t = 6 х₁ = 3935,1; при t = 7 х₁ = 4461,8

Для получения прогнозных оценок потребности предприятия в собственных оборотных средствах на 2 года вперед необходимо в модель y = 294,47+1,77x₁ подставить найденные прогнозные значения х₁:

при t = 6 у = 7259,597; при t = 7 у = 8191,856

Выводы

Таким образом, проведя корреляционно-регрессионный анализ, были получены следующие выводы:

а) величина кредиторской задолженности весьма тесно связана с величиной потребности в собственных оборотных средствах, коэффициент корреляции между этими величинами равен rуx₁= 0,934486151, величина коэффициента корреляции признана существенной;

б) уравнение регрессии имеет вид: y = 294,47+1,77x₁;

в) при проведении анализа было установлено, что при уменьшении кредиторской задолженности на 1%, потребность предприятия в собственных оборотных средствах уменьшится на 0,93%;

г) коэффициент детерминации R² = 0,873264367(следовательно, R² > 0,7), это означает, что 87% рассеивания зависимых переменных объясняется линейной регрессией, а 13% рассеивания y остались необъяснимы. Значение критерия Фишера подтверждает, что линейная модель регрессии согласуется с экспериментальными данными (имеет линейный вид), коэффициенты регрессии значимы.

д) при прогнозировании на 2007 и 2008 году были найдены исследуемые величины: так величина кредиторской задолженности в будущем будет возрастать и составит в 2007г. – 3935,1 млн. руб., в 2008г. – 4461,8 млн. руб., а потребность РПУП «Торгмаш» в собственных оборотных средствах в 2007г. составит 7259,597 млн. руб., в 2008г. – 8191,856 млн. руб. Эти данные лишний раз подтверждают нестабильное финансовое положение субъекта хозяйствования, чтобы выйти из кризисного состояния предприятию необходимо направлять основную деятельность на пополнение собственных оборотных средств, за счет которых изменятся показатели деловой активности в направлении роста, а также увеличится величина основного финансового ресурса – прибыли.