1.2 Таблицы истинности для булевых выражений

Булевы выражения  это удобный метод описания принципа работы логической схемы. Таблица истинности  это другой точный метод описания того, как работает логическая схе­ма. Поскольку вы будете иметь дело с цифровыми элек­тронными устройствами, вам нужно будет уметь преобра­зовывать информацию, представленную в форме таблицы истинности, в булево выражение.

Обратимся к таблице истинности, изображенной на рисунке 1.4 а. Заметьте, что только две из восьми возможных комби­наций двоичных сигналов на входах А, В и С дают на вы­ходе логическую 1. Эти две возможные комбинации пред­ставлены выражениями (читается так: не С и В и А) и (читается так: С и не В и не А). На рисунке 1.4 б показано, каким образом эти две комбинации связываются ло­гической функцией ИЛИ, чтобы получить булево выраже­ние для данной таблицы истинности. Как таблица истинно­сти на рисунке 1.4 а, так и булево выражение на рисунке 1.4 б демонстрируют принцип действия одной и той же логиче­ской схемы.

Рисунок 1.4  Построение булева выражения на основе таблицы истинности

В большинстве случаев конструирование логических схем начинается с составления таблицы истинности. Поэто­му вы должны уметь преобразовывать информацию в фор­ме таблицы истинности в булевы выражения так, как это делается в данном разделе. Запомните, что нужно искать те комбинации переменных, которые дают логическую 1 в та­блице истинности.

Иногда вам придется выполнять процедуру, обратную только что рассмотренной, т.е. вы должны будете по из­вестному булеву выражению восстанавливать таблицу ис­тинности. Рассмотрим булево выражение на рисунке 1.5 а. Это выражение означает, что две комбинации входов А, В и С дают на выходе логическую l. На рисунке 1.5 б проиллю­стрировано, каким образом мы находим нужные комбина­ции А, В и С, которые даны в булевом выражении, и отме­чаем соответствующие единицы в столбце значений выхода. Все другие выходы в таблице истинности дают 0. Как буле­во выражение на рисунке 1.5 а, так и таблица истинности на рисунке 1.5 б исчерпывающим образом описывают действие некоторой логической схемы.

Рисунок 1.5  Построение таблицы истинности на основе булева выражения

Предположим, что нам задано булево выражение (рисунок 1.6 а). На первый взгляд кажется, что этому выражению должны соответствовать лишь два выхода с логической 1. Однако если вы внимательно посмотрите на рисунке 1.6 б, то увидите, что булево выражение на самом деле дает в столбце выхода три логических единицы. Следо­вательно, при анализе булевых выражений требуется особое внимание, чтобы не упустить из виду подобные неожидан­ности. Необходимо иметь твердую уверенность в том, что учтены все возможные комбинации входов, которые дают логическую единицу в таблице истинности. Булево выраже­ние на рисунке 1.6 а и таблица истинности на рисунке 1.6 б описы­вают одну и ту же логическую схему.

Рисунок 1.6  Построение таблицы истинности на основе булева выражения

1.3 Упрощение булевых выражений

Рассмотрим булево выражение , при­веденное на рисунке 1.7 а. В процессе составления логической схемы для данного булева выражения выясняется, что нам необходимы три элемента И, два инвертора и один элемент ИЛИ с тремя входами. На рисунке 1.7 б изображена схема, реализующая логику булева выражения . На рисунке 1.7, в дана таблица истинности для булева выражения и логической схемы, показанных соответ­ственно на рисунке 1.7 а и б. Вы сразу можете узнать в ней та­блицу истинности для логического элемента ИЛИ с двумя входами. Как показано на рисунке 1.7 г, упрощенное булево выражение для элемента ИЛИ с двумя входами есть . Такая схема ИЛИ с двумя входами в простейшей ее форме представлена на рисунке 1.7 д.

Рисунок 1.7  Упрощение булевых выражений

Пример, приведенный на рисунке 1.7, показывает, каким образом мы должны пытаться упростить заданное булево выражение, чтобы получить как можно более простую (а следовательно, и менее дорогую) логическую схему. В дан­ном случае нам просто повезло, и мы догадались, что та­блица истинности принадлежала элементу ИЛИ. Однако обычно приходится использовать более общие методы упрощения булевых выражений. Эти методы основаны на приложениях булевой алгебры и построении так назы­ваемых карт Карно.

Булева алгебра была развита Джорджем Булем (1815-1864 гг.). Эта алгебра в 30-х годах двадцатого столе­тия была применена для анализа цифровых логических схем; она является основой всех «хитростей», которые мы будем использовать для упрощения булевых выражений

Карты Карно-весьма практичный метод упрощения бу­левых выражений, известны и другие широко распространенные ме­тоды упрощения , булевых выражений: например, диа­граммы Вейча, диаграммы Венна и табличный метод