1.6 Карты Карно с четырьмя переменными
Таблица истинности для четырех переменных включает 16 возможных комбинаций. В связи с этим задача упрощения булева выражения с четырьмя переменными кажется сложной, однако применение карты Карно облегчает и эту задачу.
Рассмотрим булево выражение
,
записанное
на рисунке
1.13 а. Карта Карно с четырьмя переменными,
показанная на рисунке 1.13 б,
допускает
16 возможных комбинаций А,
В, С и
D.
Эти
комбинации представлены соответственно
16 квадратами карты. Нанесем на карту
шесть единиц, которые соответствуют
шести членам в заданном булевом выражении.
Полученная карта Карно вторично
изображена на рисунке 1.13 е. Группы из
двух и четырех единиц объединены
контурами. Нижний контур из двух единиц
дает возможность опустить 
и
.
После этого
в нем остается член (
).
Далее
в верхнем контуре из четырех единиц
попарно опускаются 
и
,
и
,
так
что в результате этого верхний контур
дает член 
.
Наконец,
члены 
и
объединяем
символом операции ИЛИ. Упрощенное булево
выражение в дизъюнктивной нормальной
форме имеет вид 
=Y
(рисунок 1.13 г).
Рисунок 1.13 Упрощение булевых выражений на основе карты Карно
Отметим, что для упрощения булевых выражений с двумя, тремя и четырьмя переменными применяются общая процедура и одинаковые правила и чем больше размеры объединяющих контуров, тем больше переменных можно опустить. Чтобы убедиться в этом, достаточно еще раз внимательно сопоставить карты, показанные на рис. 1.111.13.
2 Задания
Для заданной логической (булевой) функции построить таблицу истинности. Проверить результаты путем составления и моделирования цифровой схемы, эквивалентной представленной логической функции.
Таблица 2.1
|
№ |
Логическая функция |
№ |
Логическая функция |
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
5 |
|
6 |
|
|
7 |
|
8 |
|
|
9 |
|
10 |
|
|
11 |
|
12 |
|
|
13 |
|
14 |
|
|
15 |
|
16 |
|
|
17 |
|
18 |
|
|
19 |
|
20 |
|
|
21 |
|
22 |
|
|
23 |
|
24 |
|
|
25 |
|
26 |
|
|
27 |
|
28 |
|
Согласно номеру варианта, представленному в двоичной системе счисления A4A3A2A1A0, используя карту Карно, упростить логическое выражение представленное таблицей истинности Таблица 2.2. Проверить результаты путем составления и моделирования цифровой схемы, эквивалентной полученной логической функции.
Таблица 2.2
|
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
Y=F(x1, x2, x3, x4) |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
A0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
A1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
A2 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
A3 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
A4 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
A1 A4 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
A2 A3 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
A4 |