1.Критерий согласия Пирсона

В качестве меры расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями принимается величина

(А)

где эмпирическая вероятность;

теоретическая вероятность, соответствующая выбранному (нормальному) закону распределения;

весовой коэффициентой группы, введенный К. Пирсоном;

число групп.

Или (В)

где эмпирическая и теоретическая частоты.

Согласно закону распределения величины составлена таблица критических точек распределения, или значенийв зависимости оти, гдестепень свободы, равныйуровень значимости. Число степеней своды вычисляется как разность между числом групп в ряду распределений и числом связей. Подчислом связейпонимается число показателей эмпирического ряда, использованных при исчислении теоретических частот, т.е. показателей, связывающих эмпирические и теоретические частоты (- в случае нормального расмпределения. (В случае выравнивания по кривой Пуассона, т.к. при построении частот используются две ограничивающие связи:

Из таблицы по известным инаходяти сравнивают его с, вычисленным по указанной формуле (В) по эмпирическим данным.

Если то заключаем, что эмпирический ряд согласуется с гипотезой о предполагаемом распределении и с вероятностьюможно утверждать, что расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами случайно. В противном случае т.е. пригипотеза о предполагаемом (нормальном) законе отвергается на выбранном уровне значимости.

Используя критерий согласия , необходимо соблюдать следующие условия:

1) объем исследуемой совокупности должен быть достаточно большим при этом частота или численность каждой группы должен быть не менее 5. Если это условие нарушается, необходимо предварительно в таблице распределения с.в. объединить группы с малыми частотами;

2) эмпирическое распределение должно сосоять из данных, полученных в результате случайного отбора, т.е. они должны быть независимыми.

2. Критерий согласия Романовского

В качестве меры близости эмпирического и теоретического распределений В.И. Романовский предложил использовать величинуно с учетом числа степеней свободы

, гдечисло степеней свободы.

Если величина этого выражения меньше трех, т.е.то это дает основание для принятия гипотезы, в противном случае, когда .расхождения считаются существенными и гипотезао нормальном законе не принимается.

3. Критерий согласия Ястремского

В качестве меры близости эмпирического и теоретического распределений Б.С. Ястремский предложил использовать величину с учетом числа группировок:, гдеколичество групп выборки;величина, зависящая от количества групп, но при числе групп, меньшем 20, она принимается равной 0,6.

Если то эмпирическое распределение согласуется с теоретическим. Если, то эмпирическое распределение не укладывается в теоретическое.

В критериях Романовского и Ястремского величины, вычисленные по формулам иявляются наблюдаемыми, а величина 3 – теоретическим значением критерия, т.е.

4. Критерий согласия Колмогорова

В качестве меры расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями А.Н. Колмогоровым предложена величинамаксимальное значение модуля разности между эмпирической функцией распределенияи соответствующей теоретической функцией распределения

или, если вместо функций распределения использовать накопленные частоты, то

(С)

где накопленная эмпирическая частота;накопленная теоретическая частота.

В качестве критериальной величины используется

Величина случайная с плотностю, задавается таблично.

Вероятность может изменяться от 0 до 1. Припроисходит полное совпадение частот (эмпирических и теоретических), приполное расхождение. Еслипринимает значения до 0,3, то.

Если сравнительно велико, практически больше 0.05, то гипотезапринимается. Если, то гипотезуследует отвергнуть, как малоправдоподобную.

Замечание. Критерий Колмогорова применяется только в том случае, когда параметры предполагаемого закона распределения известны; если они находятся из опытных данных, то критерий дает заведомо завышенное значение

Приближенная проверка

В практике часто используется приближенная проверка на нормальность, в основе которой лежит более простые рекомендации, использующие значения числовых характеристик и свойства нормального распределения.

Приближенная проверка с использованием .

Известно, что если случайная величина подчиняется нормальному закону распределения, то ее значения удовлетворяют следующим условиям:

промежуток содержит примерно 1\4 часть всей совокупности значений;

промежуток содержит примерно 1\2 часть;

промежуток содержит примерно 3\4 часть;

промежуток содержит примерно 0,99 всех значений.

Если эти соотношения выполняются одновременно для данной эмпирической совокупности и вычисленных то гипотеза о нормальном законе распределения может быть принята.

Приближенная проверка с использованием и

Если эмпирическое распределение подчиняется нормальному закону распределения, то для асимметрии и эксцесса необходимо выполнение следующих условий:

где несмещенная оценка для показателя асимметрии,

где несмещенная оценка для показателя эксцесса,

среднее квадратическое отклонение для показателя асимметрии,

среднее квадратическое отклонение для показателя эксцесса.

Для использования этой рекомендации необходимо вычислить по эмпирическим данным соответствующие параметры и проверить выполнимость указанных соотношений.

Приближенный графический метод

(метод спрямляемых диаграмм)

Этот метод основан на понятииквантили.Квантили -это такие значения признака, которые делят все единицы распределения на равные численности. Квартили, квинтили, децили – частные случаи квантилей (кварта – 4, квинта – 5, деци – 10). Например, квартили делят распределение признака на четыре равные части:. Ниже первого квартиля лежит ¼ часть хначений3/4 элементов совокупности имеют значенияпревышающиеВторой квартиль делит распределение пополам и совпадает с медианой. Между медианой и третьим квартилемрасполагается ¼ всей совокупности, и, наконец ¼ значений лежит выше. При этомназываетсяверхним квартилем, -нижним квартилем.

Определение.квантилью (квантилем) случайной величины называется такое значение аргументафункции распределения, для которого вероятность событияравна заданному значениют.е.

Значение находят из таблицы квантилей нормального распределения(по таблице 7 Приложения).

Если случайная величина подчиняется нормальному закону распределения, то точки располагаются вблизи некоторой прямой. Уравнение этой прямой имеет вид

Приближенную проверку на нормальность в реальных условиях целесообразно применять предварительно, перед применением более строгих критериев. Полезно также сначала провести качественный анализ изучаемой случайной величины, а именно проанализировать:

1. Является ли он результатом действия случайных факторов.

2. Независимы ли эти факторы.

3. Имеют ли они примерно одинаковые малые воздействия на результат.

Если такие условия, по мнению исследователя, имеют место, то можно ожидать, что изучаемая случайная величина распределена нормально, и имеет смысл проводить более строгое исследование с применением критериев согласия.

Отметим также, что при проверке на нормальность достаточно большим должно быть не только общее число опытов , но и число наблюдений (частот)в разрядах (группах). На практике рекомендуется иметь в каждом разряде не менее 5 наблюдений. Если число наблюдений в отдельных разрядах мало, то имеет смысл объединить некоторые разряды (группы).