3. Поток вектора напряженности. Теорема гаусса для электростатического поля.

Итак, на примерах мы показали, что, если силовые линии однородного электрического поля напряженностью E пронизывают некоторую площадку S, то поток вектора напряженности (будет определяться формулой:

где En – произведение вектора E на нормаль n к данной площадке

Полное число силовых линий, проходящих через поверхность S называется потоком вектора напряженности ФЕ через эту поверхность.

В векторной форме можно записать – скалярное произведение двух векторов, где вектор . таким образом, поток вектора E есть скаляр, который в зависимости от величины угла α может быть как положительным, так и отрицательным.

Поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверность равен алгебраической сумме всех зарадов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на E₀:

3. Расчет электростатического поля с помощью теоремы гаусса.

Теорема Гаусса является следствием закона Кулона и принципа суперпозиции. Но если принять утверждение, содержащееся в этой теореме, за первоначальную аксиому, то ее следствием окажется закон Кулона. Поэтому теорему Гаусса иногда называют альтернативной формулировкой закона Кулона.

Используя теорему Гаусса, можно в ряде случаев легко вычислить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела, если заданное распределение зарядов обладает какой-либо симметрией и общую структуру поля можно заранее угадать.

Примером может служить задача о вычислении поля тонкостенного полого однородно заряженного длинного цилиндра радиуса R. Эта задача имеет осевую симметрию. Из соображений симметрии электрическое поле должно быть направлено по радиусу. Поэтому для применения теоремы Гаусса целесообразно выбрать замкнутую поверхность S в виде соосного цилиндра некоторого радиуса r и длины l, закрытого с обоих торцов

3. Заряд равномерно распределен по поверхности сферической оболочки.

Рассмотрим проводник сферической формы.

Заряды на поверхности распределяются так, что их плотность больше в точках поверхности, обладающей большей кривизной. По поверхности сферы заряд распределяется равномерно.

Для равномерно заряженной сферой радиусом R и зарядом q на расстоянии r от центра сферы, справедливы формулы:

3. Расчет электростатического поля с помощью теоремы гаусса.

Теорема Гаусса является следствием закона Кулона и принципа суперпозиции. Но если принять утверждение, содержащееся в этой теореме, за первоначальную аксиому, то ее следствием окажется закон Кулона. Поэтому теорему Гаусса иногда называют альтернативной формулировкой закона Кулона.

Используя теорему Гаусса, можно в ряде случаев легко вычислить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела, если заданное распределение зарядов обладает какой-либо симметрией и общую структуру поля можно заранее угадать.

Примером может служить задача о вычислении поля тонкостенного полого однородно заряженного длинного цилиндра радиуса R. Эта задача имеет осевую симметрию. Из соображений симметрии электрическое поле должно быть направлено по радиусу. Поэтому для применения теоремы Гаусса целесообразно выбрать замкнутую поверхность S в виде соосного цилиндра некоторого радиуса r и длины l, закрытого с обоих торцов

3. Заряд равномерно распределен по объему шара.

Если заряд распределен по объему шара равномерно с объемной плотностью заряда

то напряженность поля за пределами шара рассчитывается по формуле

Напряженность поля внутри заряженного шара из расчетов на основании теоремы Гаусса оказывается прямо пропорциональной расстоянию от центра шара. Единица объемной плотности заряда - кулон на метр в кубе (Кл/м3). Поля зарядов, распределенных по объему, учитываются в электровакуумных приборах.

3. Заряд равномерно распределен по бесконечно длинной прямой нити.

Поле, созданное заряженной нитью, обладает цилиндрической симметрией. В связи с этим векторы напряжённости во всех точках боковой поверхности цилиндра будут одинаковы по модулю и направлены радиально, то есть перпендикулярно к боковой поверхности цилиндра. На основаниях цилиндра векторы E , направленные по-прежнему радиально, «скользят» по основанию, образуя прямой угол с нормалью n.

Воспользуемся теоремой Гаусса, отметив предварительно, что «заряд, заключённый внутри гауссовой поверхности» в данном случае сосредоточен на отрезке нити h — на оси цилиндра:

Таким образом