3.Понятие соединения, перестановки, сочетания, размещения.

Комбинаторика - раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различ комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Соединение (комбинация) – некоторый тип совокупности элементов. Каждое соединение, характеризуется составом и порядком. Состав мб постоянным или переменным, а порядок мб упорядоченным или неупорядоченным.

Размещением из n-элементов по m, наз. Упорядоченное множество m элементов, взятых из n-эл.

ПР: Пусть даны шесть цифр: 1;2;3;4;5; 6. Определить сколько трехзначных чисел можно составить из этих цифр.

Решение. Если цифры могут повторяться, то . Если не повторяются, то

Перестановкой из n-эл, наз упорядоченное множество из этих эл.

ПР: 30 книг стоит на книжной полке, из них 27 различных книг и одного автора три книги. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы книги одного автора стояли рядом?

Решение.Будем считать три книги одного автора за одну книгу, тогда число перестановок будет Р28. А три книги можно переставлять между собой Р3 способами, тогда по правилу произведения имеем, что искомое число способов равно:Р3*Р28 =3!*28!

Сочетанием из n-элементов по m, наз неупорядоченное подмножество m-эл, взятых из n-эл.

ПР: В группе из 27 студентов нужно выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно это сделать?

Решение. Так как порядок студентов не важен,.

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана m*n способами.

ПР: Наряд студентки состоит из блузки, юбки и туфель. Девушка имеет в своем гардеробе четыре блузки, пять юбок и трое туфель. Сколько нарядов может иметь студентка? Пусть сначала студентка выбирает блузку. Этот выбор может быть совершен четырьмя способами, так как студентка имеет четыре блузки, затем пятью способами произойдет выбор юбки и тремя способами выбор туфель. По принципу умножения получается 4*5*3=60 нарядов (комбинаций).

4. Классическое опред. Вероят соб. Статистическое опред. Вероят. Соб. Геометрическая вероятность.

КЛАССИЧ: СС – явление, которое при одних и тех же условиях иногда происходит, иногда не происходит.

Достоверное событие (Ω), событие, которое обязательно происходит в результате испытания, вероятность достоверного события равна единице:Р(Ω)=1; невозможное событие (знак пустого множества), не происходит ни при каком исходе случайного эксперимента, вероятность невозможного события равна нулю.

Предположим, проводится подбрасывание монеты. В результате этого эксперимента обязательно произойдет одно из следующих событий:

А: монета упадет орлом;

В: монета упадет решкой;

С: монета упадет на ребро;

Т.е. система {А;В;С}является полной группой событий.

СС называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу Р(А)= m / n.

Св-ва:

1.Вер достоверного события =1.

2.Вер невозможного события =0

3.Вер СС есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0≤Р(А)≤1.

СТАТИСТИЧ: При статистич опред в качестве вер соб принимают его относительную частоту: W(A)=m/n

где m - число испытаний, в которых событие A наступило, n - общее число произведённых испытаний.

ПР: В некотором районе зарегистрировано рождение с начала года 1248 младенцев, из них 645 мальчиков. Какова вероятность рождения мальчика в данном районе? За вероятность принимаем относительную частоту рождения мальчиков. W = 645/1248 ≈ 0,517

ГЕОМЕТРИЧ: Пусть некоторая n-мерная фигура (отрезок, плоская фигура, пространственная фигура) составляет часть другой n-мерной фигуры. Если предположить, что вероятность попадания точки на эту фигуру пропорциональна её мере (длине, площади, объёму) и не зависит от взаимного расположения меньшей и большей фигур, то вероятность попадания точки на эту фигуру определяется равенствами P=l/L,P=s/S, P=v/V, где l(L), s(S), v(V) - длина, площадь и объём меньшей и большей n-мерных фигур соответственно.

ПР: На плоскости начерчены две окружности радиусами 2 и 7 см,одна внутри другой. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в малый круг.

P = s/S = πr2/πR2 = 22/72 = 4/49 ≈ 0,082