7.Теоремаумножения вер-ей. Вер нступления хотя бы 1-го из нескольких независ соб.

Р(АВ)=Р(В)*Р(А|В), (вероятность произв 2х соб = вероят одного соб на условную вероятность др, при условии что 1ое уже произошло)

Следствие: для независ соб: Р(АВ) = Р(А)*Р(В), т.к. условная вер = безусловн вер.

ПР: Вер попадания в цель у первого стрелка 0,8, у второго – 0,9. Стрелки делают по выстрелу. Найти вероятность: а) двойного попадания; б) хотя бы одного попадания; г) одного попадания.

Решение. Р(А)=0,8, Р(неА)=0,2, Р(В)=0,9, Р(неВ)=0,1

а)Р(АВ)=Р(А)/Р(В)=0,8*0,9=0,72

б)двойной промах, Р(неАнеВ)= Р(неА)*Р(неВ)=0,1*0,2=0,2

в) хотя бы одно попадание, Р(А+В)= Р(А)+Р(В)-Р(АВ)=0,8+0,9-0,72=0,98

г)Р(АнеВ+неАВ)=Р(АнеВ)+Р(неАВ)=0

хотя бы 1соб: Вер появления хотя бы одного из событий А1,А2,...,Аn, независимых в совокупности, Р(A)= 1- q1*q2*…*qn

(Док-во:обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А1,А2, ...,An. События А и А1,А2, ...,An (ни одно из событий не наступило) противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна единице:

Отсюда, пользуясь теоремой умножения, получим

Р(А)=1-Р(неА1, неА2..), или

)

Если события А1,А2,...,Аnимеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий P(A)=1-q^n

(А+В) – хотя бы 1о соб (или А, или В, или А+В), т.е. (А+В)={АнеВ, неАВ, АВ}.

Для противополож соб Р(А+В) = 1-Р(неАнеВ), для независимых соб, Р(А+В)= 1-Р(неА)*Р(неВ).

Для 3х незав соб: Р(А+В+С)=1-Р(неА) – Р(неВ) – Р(неС).

ПР: а) произведены 2выстрела по цели Р1=0,7, Р2=0,8, где q1=0,3, q2=0,2. Найти вер пораж цели:

Р(А+В)=1-Р(неА)*Р(неВ) = 1- q1*q2 = 1 – 0,3*0,2 = 0,94

Б) 3 выстрела по цели Р=0,5, вер пораж цели: Р=1-0,5^3=0,875.

8. Формула полной вероят (формула гипотез).

Дано соб А, это соб ожжет произойти в разных условиях. Эти условия наз гипотезами.

Пусть дано n гипотез – Н1, Н2.. Нn. Гипотезы образуют полную группу соб. Известны вер гипотез – Р(Нк), условные вер соб А при этих гипотезах – Р(А|Нк).

Полной вероятностью соб, наз вер вычисления по формуле: Р(А)=Р(Н1)* Р(А|Н1) + Р(Н2)* Р(А|Н2)+…+ Р(Нк), *Р(А|Нк).

ПР: В магазин поступила новая продукция с трех предприятий: 20% - прод 1 предпр, 30% - продукция второго предприятия, 50% - продукция третьего предприятия; далее, 10% продукции первого предприятия высшего сорта, на втором предприятии - 5% и на третьем - 20% продукции высшего сорта. Найти вероятность того, что случайно купленная новая продукция окажется высшего сорта.

Решение. Обозначим через В событие, заключающееся в том, что будет куплена продукция высшего сорта. Через А1,А2,А3 обозначим события, заключающиеся в покупке продукции, принадлежащей соответственно первому, второму и третьему предприятиям.

Можно применить формулу полной вероятности, причем в наших обозначениях:

Подставляя эти значения в формулу полной вероятности, получим искомую вероятность:

Р(В)=0,2*0,1 + 0,3*0,05 + 0,5*0,2 = 0,135