13. 2. 1. Распределение Максвелла (по скоростям) при одномерном движении частиц.

Рассмотрение начнем с одномерного случая, т.е. следим за движением частиц только вдоль одного направления. Пусть этим направлением является ось . Тогда относительное число (доля)частиц, имеющих значения скорости отдосогласно (13.3)

(13.5)

Здесь - некоторая безразмерная постоянная. Определим входящие в (13.5) величиныииз следующих условий:

- из условия нормировки:

,

(13.6)

- и принципа равнораспределения энергии по степеням свободы:

.

(13.7)

Интегрируя (13.6) получаем

(13.8)

Теперь из (13.7) имеем:

(13.9)

Теперь из (13.8) и (13.9)

(13.10)

и (13.5) принимает вид:

(13.11)

Эта формула (13.11) и называется распределением Максвелла (по скоростям) при одномерном движении частиц.

Проанализируем полученный результат. Изобразим на рис. 1 вид функции

(13.12)

при двух значениях температуры и.

	Из рисунка 13.1 видно, что больше всего молекул наблюдается при . Увеличение температуры приводит к уменьшению максимально значения функции (13.12) и «разбрасывает» молекулы по значениям проекции скорости. Отметим, что при таком «разбрасывании» площадь под кривой не изменяется и всегда равна единице.
Рисунок 13.1. Распределение Максвелла для молекул азота при температуре 300 и 900 К.

13. 2. 2. Распределение Максвелла (по скоростям). Трехмерный случай.

На основании принципа независимости движения частиц по направлениям имеем независимость событий попадания значений проекций скоростей соответственно в интервалы. Согласно формуле условной вероятности и (13.11) вероятностьтого, что скорость частицы будет иметь значения проекций, попадающие в указанные интервалы, будет равна

(13.13)

Учитывая, что значение (полной) скорости выражается через ее проекции формулой

,

(13.14)

запишем это (13.12) выражение в виде

(13.15)

При имеющем здесь месте изотропном (напоминаем, независящем от направления) движении частиц справедливо

Тогда (13.14) окончательно запишем так

(13.16)

Данную формулу называют распределением Максвелла по скоростям.

Подвергнем анализу полученный результат. Изобразим на рисунке 2 функцию

(13.17)

для двух значений температуры. Из рис. 13.2 видно, что:

1. при значение;

2. также . Следовательно, вероятность обнаружить частицы со скоростями близкими к нулю и очень большими скоростями очень мала.

3. кривая имеет максимум при некотором значении скорости, обозначенной на рис. 2 как . При этом значении скорости вероятность обнаружения частицы в единичном интервале скоростей будет наибольшей. Поэтому скоростьпринято называть наиболее вероятной скоростью.

4. Площадь под кривой как и в предыдущем случае всегда равна единице.

Рисунок 13.2. Распределение Максвелла для молекул азота при температуре 300 и 900 К