13. 2. 3. Средняя, среднеквадратичная и наиболее вероятная скорости частиц.

Наиболее вероятная скорость.

Наиболее вероятная скорость молекул идеального газа соответсвует максимуму функции f(v). Следовательно, эта скорость может быть найдена из выражения

(13.18)

Средняя скорость молекул.

По определению:

Есть табличный интеграл:

В нашем случае

Откуда получаем:

(13.19)

средняя квадратичная скорость <V_кв> молекул.

По определению

Есть табличный интеграл:

В нашем случае

Получаем:

(13.20)

Скорости, характеризующие состояние газа.

Наиболее вероятная скорость
Средняя
средняя квадратичная скорость

Где: k – постоянная Больцмана;

m₀ – масса молекулы;

Т – термодинамическая температура;

R - молярная газовая постоянная;

- молярная масса.

13. 2. 4. Распределение Максвелла в безразмерном виде.

Зачатую бывает удобно провести анализ или решение задачи воспользовавшись распределением Максвелла по скоростям в безразмерном виде. Что получить распределение в такой записи перейдем к безразмерной скорости

Тогда выражение (13.16) примет вид

(13.21)

13. 2. 5. Распределение Максвелла по энергиям.

Преобразует выражение (13.6) с помощью замен (среднее значение энергии, приходящееся на одну степень свободы) и(кинетическая энергия частицы). Тогдаи

или после перехода к безразмерной величине

(13.22)

Это и есть распределение Максвелла по энергиям

13. 3. Распределение Больцмана. Газ в силовом поле.

Перейдем к рассмот­рению газа во внешнем силовом поле. Для простоты будем полагать, что в любом физически малом объеме температура газа одинакова. Выделим в газе два равных по величине объема (см. рис. 13.3) таких, что в каждом из них можно полагать потенциальную энергию неизменной.
	Рисунок 13.3.

Пусть в первом объеме молекулы газа обладают потенциальной энергией , а во втором. Согласно формулам (13.3) и (13.9) вероятности того, что молекулы обладают такими значениями потенциальной энергии (т.е., и.) будут соответственно равны

и.

(13.23)

Здесь - некоторый числовой множитель.

С другой стороны эти вероятности идолжны относиться друг к другу в той же пропорции, что и количества частиц в выбранных объемах при одинаковых в них температурах

(13.24)

Подставим в левую часть этого равенства (13.23), а числитель и знаменатель правой дроби поделим на величину выбранного объема . Тогда учтя, что концентрация частиц, после упрощений получаем

Отсюда следует, что

(13.25)

или

(13.26)

где - концентрация частиц в местоположении частиц газа с нулевой потенциальной энергией. Данное выражениеназывается распределение Больцмана (при постоянной температуре).

Анализ данного выражения показывает, что силовое поле принуждает собираться частицы газа в местах с минимальной потенциальной энергией, а тепловое движение приводит к разбрасыванию частиц по пространству.