- •Передмова
- •1. Функціонал та його варіація. Екстремум
- •1.1. Поняття про функціонал
- •1.2. Екстремум функціоналу
- •1.3. Класичні задачі варіаційного числення
- •1.4. Варіація функції та приріст функціоналу. Неперервність. Лінійний функціонал
- •1.5. Перша та друга варіації функціоналу
- •Задачі для самостійної роботи
- •2.2. Задача на екстремум функціоналу з закріпленими кінцями. Диференціальне рівняння екстремалей (рівняння Ейлера)
- •2.3. Диференціальне рівняння екстремалей функціоналу, в який входять похідні вищих порядків (рівняння Ейлера-Пуассона)
- •2.4. Система диференціальних рівнянь
- •Екстремалей функціоналу, що залежить
- •Від кількох функцій (система рівнянь
- •Ейлера-Лагранжа)
- •2.5. Канонічні рівняння екстремалей
- •Задачі для самостійної роботи
- •3. Достатні умови екстремуму. Умовний екстремум. Варіаційні принципи
- •3.1. Достатні умови екстремуму
- •3.2. Умовний екстремум. Задача Лагранжа. Ізопериметрична задача
- •3.3. Задача на екстремум функціоналу з рухомими кінцями. Умови трансверсальності
- •3.4. Варіаційні принципи
- •Задачі для самостійної роботи
- •Запитання для самоконтролю та підготовки до екзамену (заліку)
- •Список рекомендованої літератури
2.3. Диференціальне рівняння екстремалей функціоналу, в який входять похідні вищих порядків (рівняння Ейлера-Пуассона)
Ставиться задача знаходження мінімуму (максимуму) функціоналу
при крайових умовах
Із необхідної умови екстремуму приівипливає, що допустимі екстремалі є розв'язками диференціального рівнянняпри крайових умовах
Розв'язки останнього диференціального рівняння називаються екстремалями, а саме рівняння називається диференціальним рівнянням екстремалей або рівнянням Ейлера-Пуассона.
Приклад 8.Знайти екстремалі функціоналу, які задовольняють вказаним крайовим умовам (допустимі екстремалі):
а)
б)
в)
Розв'язання. а) Знайдемо похідні, що входять в рівняння Ейлера-Пуассона:
Тоді рівняння Ейлера-Пуассона набуває вигляду:
Розв'яжемо одержане рівняння:
—екстремалі, де — довільні сталі.
Допустимі екстремалі знайдемо, визначивши конкретні значення із крайових умов:
Отже, допустима екстремаль
б) Знайдемо похідні, що входять в рівняння Ейлера-Пуассона:
Тоді рівняння Ейлера-Пуассона
набуває вигляду
Розв'яжемо останнє рівняння:
— екстремалі.
Конкретні значення знайдемо з крайових умов:
Отже, допустима екстремаль
в) Знайдемо похідні, що входять в рівняння Ейлера-Пуассона:
Тоді рівняння Ейлера-Пуассона
набуває вигляду
Розв'яжемо останнє рівняння:
—екстремалі, де — довільні сталі.
Використавши крайові умови, знайдемо значення .
Спочатку із крайових умов визначаємо.
Тоді на основі крайових умов одержуємо систему для знаходження:
Отже, допустима екстремаль
2.4. Система диференціальних рівнянь
Екстремалей функціоналу, що залежить
Від кількох функцій (система рівнянь
Ейлера-Лагранжа)
Ставиться задача знаходження мінімуму (максимуму) функціоналу
при крайових умовах
Із необхідної умови екстремуму приівипливає, що допустимі екстремалі є розв'язками системи диференціальних рівнянь
при крайових умовах
Розв'язки останньої диференціальної системи називаються екстремалями, а сама система — системою диференціальних рівнянь екстремалей або системою рівнянь Ейлера-Лагранжа.
Приклад 9. Знайти екстремалі функціоналу, які задовольняють вказаним крайовим умовам (допустимі екстремалі):
а)
б)
Розв'язання.а) Знайдемо похідні, що входять в систему рівнянь Ейлера-Лагранжа:
Тоді система рівнянь Ейлера-Лагранжа
набуває вигляду:
Розв'яжемо останню систему:
Конкретні значення довільних сталих знайдемо з крайових умов:
Отже, допустимі екстремалі:
б) Знайдемо похідні, що входять в систему рівнянь Ейлера-Лагранжа:
Тоді система рівнянь Ейлера-Лагранжа
набуває вигляду:
Розв'яжемо останню систему зведенням до одного диференціального рівняння вищого порядку:
Використавши крайові умови, знайдемо :
Отже, допустимі екстремалі:
2.5. Канонічні рівняння екстремалей
Розглянемо систему рівнянь Ейлера-Лагранжа
Позначимо Функціїназиваютьсяканонічними змінними для функціоналу
При цьому змінні іназиваютьсяспряженими. Введемо так звану функцію Гамільтона (гамільтоніан)
Знайдемо частині похідні гамільтоніана H по та:
Оскільки а з системи рівнянь Ейлера-Лагранжато мають місце співвідношення:
Одержана система називається канонічною системою рівнянь екстремалей для функціоналу
Задачі для самостійної роботи
1. Знайти екстремалі функціоналу, які задовольняють заданим крайовим умовам (допустимі екстремалі):
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
1.13.
1.14.
1.15.
1.16.
1.17.
1.18.
1.19.
1.20.
1.21.
2. Знайти екстремалі функціоналу, які задовольняють вказаним крайовим умовам (допустимі екстремалі):
2.1.
2.2.
2.3.
3. Знайти екстремалі функціоналу, які задовольняють вказаним крайовим умовам (допустимі екстремалі):
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.