Методичні вказівки для студентів Модуль1

службовців великим багажем досвіду і стратегій, по яких можна вивчати політику, що рекомендується, і методи.

Області застосування експертних систем.

Області застосування систем, заснованих на знаннях, можуть бути згруповані у декілька основних класів: медична діагностика, контроль і управління, діагностика несправностей в механічних і електричних пристроях, навчання.

а) Медична діагностика.

Діагностичні системи використовуються для встановлення зв'язку між порушеннями діяльності організму і їх можливими причинами. Найбільш відома діагностична система MYCIN, яка призначена для діагностики та спостереження за станом хворого при менінгіті і бактеріальних інфекціях. Її перша версія була розроблена в Стенфордському університеті в середині 70-х років. В даний час ця система ставить діагноз на рівні лікаря-спеціаліста. Вона має розширену базу знань, завдяки чому може застосовуватися і в інших галузях медицини.

б) Прогнозування.

Прогнозуючі системи передбачають можливі результати або події на основі даних про поточний стан об'єкту

в) Планування.

Плануючі системи призначені для досягнення конкретних цілей при рішенні задач з великим числом змінних.

г) Інтерпретація.

інтерпретуючі системи мають здатність отримувати певні висновки на основі результатів спостереження. Система PROSPECTOR, одна з найбільш відомих систем інтерпретує типу, об'єднує знання дев'яти експертів.

д) Контроль і управління.

Системи, засновані на знаннях, можуть застосовуватися в якості інтелектуальних систем контролю і приймати рішення, аналізуючи дані, що надходять від декількох джерел.

е) Діагностика несправностей в механічних та електричних пристроях.

У цій сфері системи, засновані на знаннях, незамінні як при ремонті механічних та електричних машин (автомобілів, дизельних локомотивів і тощо), так і при усунення несправностей і помилок в апаратному і програмному забезпеченні комп'ютерів.

ж) Навчання.

Системи, засновані на знаннях, можуть входити складовою частиною в комп'ютерні системи навчання. Система отримує інформацію про діяльність деякого об'єкта (наприклад, студента) і аналізує його поведінку. База знань змінюється відповідно до поведінкою об'єкта. Прикладом цього навчання може використовуватися комп'ютерна гра, складність якої збільшується в міру зростання ступеня кваліфікації гравця.

Більшість ЕС включають знання, за змістом яких їх можна віднести одночасно до кількох типів. Наприклад, навчальна система може також мати знання, що дозволяють виконувати діагностику і планування. Вона визначає здібності учня з основних напрямків курсу, а потім з урахуванням отриманих даних складає навчальний план. Керуюча система може застосовуватися для цілей контролю, діагностики, прогнозування і планування. Система, що забезпечує схоронність житла, може стежити за навколишнім оточенням, розпізнавати події, що відбуваються (наприклад, відкрилося вікно), видавати прогноз (злодій-зломщик має намір проникнути в будинок) і складати план дій (викликати поліцію).

Моделі представлення знань

Однією з найбільш важливих проблем, характерних для систем, заснованих на знаннях, є проблема подання знань. Це пояснюється тим, що форма подання знань має суттєвий вплив на характеристики і властивості системи. Для того, щоб маніпулювати всілякими знаннями з реального світу за допомогою комп'ютера, необхідно здійснювати їх моделювання. У таких випадках необхідно відрізняти знання, призначені для обробки комп'ютером, від знань, що використовуються людиною. Крім того, при великому обсязі знань бажано спростити послідовне управління окремими елементами знань.

При проектуванні моделі подання знань варто враховувати такі чинники, як однорідність подання і простота розуміння. Однорідне подання призводить до спрощення механізму керування логічним висновком та спрощення управління знаннями. Представлення знань повинно бути

зрозумілим експертам і користувачам системи. В іншому випадку важко придбання знань та їх оцінка. Однак виконати цю вимогу в рівні ймірою, як для простих, так і для складних завдань досить важко. Зазвичай для нескладних завдань зупиняються на деякому середньому (компромісний)поданні, але для вирішення складних і великих завдань необхідні структурування і модульне подання.

Типовими моделями подання знань є:

Логічна модель;

Модель, заснована на використанні правил (продукційна модель);

Модель, заснована на використанні фреймів;

Модель семантичної мережі.

Переваги та слабкі місця експертних систем

Експертні системи відзначаються певними перевагами над людьми-експертами при використанні. Зокрема, експертна система:

1.переважає можливості людини при вирішенні надзвичайно громіздких проблем;

2.не має упереджених думок, тоді як експерт може користуватися побічними знаннями і легко піддається впливу зовнішніх факторів;

3.не робить поспішних висновків, нехтуючи певними етапами знайдення рішення;

4.забезпечує діалоговий режим роботи;

5.дозволяє роботу з інформацією, що містить символьні змінні;

6.забезпечує коректну роботу з інформацією, яка містить помилки, за рахунок використання імовірнісних методів досліджень;

7.дозволяє проводити одночасну обробку альтернативних версій;

8.за вимогою пояснює хід кроків реалізації програми;

9.забезпечує можливість обґрунтування рішення та відтворення шляху його прийняття.

Але навіть найкращі з існуючих експертних систем мають певні обмеження у порівнянні з людиною-експертом, які зводяться до таких:

Більшість експертних систем не цілком придатні для широкого використання. Якщо користувач не має деякого досвіду роботи з цими системами, у нього можуть виникнути серйозні труднощі. Багато експертних систем доступні лише тим експертам, які створювали їх бази знань. Тому потрібно паралельно розробляти відповідний користувацький інтерфейс, який би забезпечив кінцевому користувачу властивий йому режим роботи;

"Навички" системи не завжди "зростають" після сеансу експертизи, навіть коли проявляються нові знання;

Все ще залишається проблемою приведення знань, отриманих від експерта, до вигляду, який забезпечував би їх ефективне використання;

Експертні системи, як правило, не можуть набувати якісно нових знань, не передбачених під час розробки, і тим більше не володіють здоровим глуздом. Людина-експерт при розв'язанні задач звичайно звертається до своєї інтуїції або здорового глузду, якщо відсутні формальні методи рішення або аналоги розв'язування даної проблеми

Матеріали для самоконтролю

B. Завдання для самоконтролю

1)Що таке штучний інтелект?

a)гіпотетична технічна система

b)система з властивостями ідентичними розумну мисленню

c)система з властивостями ідентичними зверненням людини

d)система ідентична людському організму

e)будь-яка обчислювальна система

2)На якій стадії знаходиться наука створення штучного інтелекту?

a)Даний напрямок активно розвивається.

b)Вдалося відтворити лише окремі елементи природного інтелекту.

c)Вдалося відтворити всі складові природного інтелекту

d)Штучний інтелект повністю створено.

e)Створення його припинено через неможливість цього.

3)Хто такий "користувач експертної системи"?

a)спеціаліст, який потребує допомоги експерта

b)спеціаліст, який не може самостійно вирішити проблему

c) будь-яка людина яка не вміє користуватися комп'ютером

d)експерт

e)об'єкт наукових досліджень

Література: Основна

1.Поспелов Д. Нові горізонти штучного інтелекту.Наука та життя. 1996.№ 3.

2.Джим Елті, Майкл Нумбс. Експертні системи. М.:Наука. 1995.

3.Макаров І.М. Створення Штучного інтелекту. М.: Наука. 1995.

Додаткова

1.Герасевич В.А. Компьютер для врача. Самоучитель. – 2-е изд., перераб. и доп. –СПб.: БХВ-

Петербург, 2004. – 512 с.

2.Д.Уоттерман. Руководство по экспертним системам. – М.: Мир, 1989. 3. Лопоч С.Н., Чубенко А.В., Бабич П.Н. Статистичні методи в медико-біологічних дослідженнях з використанням EXCEL. – К.:

Моріон, 2001. – 408 с.

3.Інформаційні системи і технології: Навч. посіб. для студ. вищ. навч. закл./ С.Г.Карпенко, В.В.Попов, Ю.А.Тарнавський, Г.А.Шпортюк. – К.: МАУП, 2004. – 192 с.

Міністерство охорони здоров’я України Вищий державний навчальний заклад України "Українська медична стоматологічна академія"

"Затверджено"

на засіданні кафедри медичної інформатики і біологічної та медичної фізики протоколом №1

Завідувачка кафедри

Професор Іщейкіна Ю.О. «_29_»____08___2012_р.

Методичні вказівки Для самостійної роботи студентів

Під час підготовки до практичного заняття

Навчальна	Медична інформатика
дисципліна	Медичні знання та прийняття рішень в медицині
Модуль №2
Змістовний модуль	Медичні знання та прийняття рішень
№ 3
	Логічні операції. Алгебра логіки
Тема заняття
	2
Курс
Факультет	Медичний, стоматологычний

Полтава - 2012

1. Актуальність теми: Робота лікаря пов’язана з формулюванням різного роду логічних тверджень: постановка діагнозу, прогноз перебігу захворювань, продовження відповідно до висновків лікувальних заходів тощо. Лікар використовує методи математичної логіки для одержання обґрунтованої інформації про значення параметрів, які досліджуються. Це в першу чергу логіка висловлювань, де логічні речення мають алгебраїчну форму. Дослідження істинності або хибності деякого висловлення зводиться завдяки

алгебрі Д.Буля до ряду простих операцій.

2.Конкретні цілі: Трактувати поняття висловлення, пояснити етапи процесу діагностики, складати логічні вирази за допомогою висловлення, будувати таблиці істинності.

3.Базові знання вміння навички, необхідні для вивчення теми

Назви попередніх дисциплін	Отримані навики
1.Попередні:	Основні поняття теорії ймовірностей;
1) математика	-	Дати визначення основним поняттям теорії
	-	ймовірностей;
		знать призначення статистичних методів;
	застосовувати знання для розв’язання медичних задач.

4.Завдання для самостійної роботи під час підготовки до заняття.

4.1.Перелік основних термінів, параметрів, характеристик, які повинен засвоїти студент при підготовці зо заняття

Термін		Визначення
Діагностика		це процес поетапної переробки інформації в системі “лікар-хворий”,
		метою якого є створення найбільш адекватної моделі стану організму
		пацієнта.
Діагностичний алгоритм		це логічна послідовність правил, у якій інформація про ознаки стану
		хворого зіставляється з комплексом ознак, що характеризують типові
		хвороби.
Інформаційно-імовірнісна		це діагностичний метод, за допомогою якого розраховується імовірність
логіка		того чи іншого діагнозу за певного набору симптомів
Кон'юнкцією висловлень		називається таке висловлення, яке істинне тоді і тільки тоді, коли істині
А і В		висловлення А і В
запереченням	висловлення	висловлення якщо воно істинне, коли А - хибне і хибне, коли А -
А		істинне.
Диз'юнкцією висловлень		називається таке висловлення, яке хибне тоді і тільки тоді, коли хибні
А і В		висловлення А і В
Імплікацією висловлень		називається таке висловлення, яке є хибним лише тоді, коли антецедент
А і В		(перша частина імплікації - висловлення А) є істинним, а консеквент
		(друга частина імплікації - висловлення В) - хибним, в усіх інших
		випадках висловлення А→В є істинним
Еквівалентністю		називається таке висловлення, яке є істинним тоді і тільки тоді, коли
(подвійною	імплікацією)	висловлення А і В одночасно істинні або хибні
висловлень А і В

4.2.Теоретичні питання до заняття

1.Основи логіки висловлень.

2.Логічні операції та таблиці істинності. Властивості логічних операцій.

3.Логічні оператори та функції.

4.Логічний підхід до діагностики та перебігу захворювання.

5.Логічні операції над висловленнями.

4.3.Практичні роботи, які виконують на занятті:

Тести

1)Логічна операція НЕ - це:

(a)Конверсія.

(b)Кон'юнкція.

(c)Диз'юнкція.

(d)Інверсія

(e)Імплікація.

2)Логічна операція І - це:

(a)Заперечення.

(b)Кон'юнкція

(c)Диз'юнкція.

(d)Інверсія.

(e)Імплікація.

3)Нехай А = 0, В = 1. Тоді в результаті виконання логічної операції (A /\ B) вийде:

(a)1.

(b)10.

(c)11.

(d)0

(e)«Не 0».

4)Операція диз'юнкції позначається символом:

(a)V.

(b)&.

(c)Σ.

(d)/\

(e)€.

5)Побудувати таблицю істинності для логічних функцій:

(1)F (A, B, C) = (A /\B) → (B V A)

6)Яка формула логічного висловлювання

«Я поїду в Київ і, якщо зустріч там друзів, то ми цікаво проведемо час».

(1)A /\ (B → C)

(2)(A /\ B) →C

(3)(A /\ B) → C

(4)A /\ B → C

7)Побудувати таблицю істинності для логічних функцій: F (A, B) = ¬ (A → B) V (A ^ B)

Зміст теми:

Імовірнісна діагностика. Загальне уявлення про застосування інформаційно-імовірнісної логіки в діагностиці

Діагностика - це процес поетапної переробки інформації в системі “лікар-хворий”, метою якого є створення найбільш адекватної моделі стану організму пацієнта.

Процес діагностики можна розбити на три логічно зв’язані етапи:

1)збір інформації про стан хворого (виявлення симптомів, проведення аналізів і т.д.);

2)відбір найбільш істотних ознак (симптомів), порівняння їх із діапазоном норми з урахуванням статі, віку, расово-національних ознак, способу життя і т.д., систематизація ознак стану хворого у визначені симптомокомплексу (синдромів) - це етап переробки інформації,

3)зіставлення із симптомами відомих хвороб - установлення діагнозу.

Процес установлення діагнозу відбувається за визначеними правилами, тобто за алгоритмічними закономірностями.

Діагностичний алгоритм - це логічна послідовність правил, у якій інформація про ознаки стану хворого зіставляється з комплексом ознак, що характеризують типові хвороби.

На підставі результатів порівняння приймається рішення про ймовірний діагноз. Установлення діагнозу буває легким тільки тоді, коли перебіг хвороби типовий, тобто коли набір симптомів у даного хворого повністю збігається із симптомокомплексом визначеної хвороби. На практиці це буває далеко не завжди. Частіше рішення приймається як вибір із декількох можливих діагнозів. Будь-який діагностичний алгоритм можна автоматизувати й організувати машинну діагностику.

Вид діагностичного алгоритму буде залежати від прийнятої лікарської логіки. Відомо, що в сучасному медичному діагностичному мисленні прийнято розрізняти три типи лікарської логіки: 1) детерміністична логіка; 2) логіка фазового інтервалу; 3) інформаційно-імовірнісна логіка.

Нині найпоширенішим став метод, який ґрунтується на інформаційно-імовірнісній логіці. Інформаційно-імовірнісна логіка - це діагностичний метод, за допомогою якого розраховується

імовірність того чи іншого діагнозу за певного набору симптомів. Для цього потрібно знати ймовірність кожного симптому для різних хвороб. Цю імовірність, інакше – частоту, з якою зустрічається симптом різних хвороб, як правило, одержують після обробки великої кількості історій хвороби з чітко

встановленими діагнозами.

Основи логіки висловлень

Відомо, що знання логіки підвищує загальну інтелектуальну культуру людини, сприяє формуванню логічно правильного мислення, основними рисами якого є чітка визначеність послідовність, несуперечність та доказовість. Освоєння логічної науки дає можливість свідомо будувати правильні міркування, відрізняти їх від неправильних, уникати логічних помилок, вміло і ефективно обґрунтувати істинність думок, захищати свої погляди і переконливо спростовувати хибні думки та неправильні міркування своїх опонентів, сприяє удосконаленню стихійно сформованої логіки мислення. Завдяки логіці людина прилучається до новітніх результатів логічних досліджень.

Поняття висловлення

Одним з основних понять логіки є поняття «висловлення». З'ясуємо зміст цього поняття. Будь-яка діяльність людини так або інакше пов'язана з різними висловленнями. Судження,

зауваження, запис, тощо є висловленнями. В алгебрі логіки висловлення є змінною, яка може набувати двох значень і над якою можна виконувати деякі дії. Іншими словами, висловленням називається речення, яке можна оцінити як істинне чи хибне.

Аналогічно змінним звичайної алгебри висловлення позначають буквами якого-небудь алфавіту, наприклад латинського: А, В, X тощо.

Типи висловлень

Просте висловлення за будовою може бути простим чи складеним.

За своїм змістом висловлення містять одне яке-небудь повідомлення або твердження про існуючий світ. Таке висловлення називається простим. Наприклад, «діагноз - інфаркт міокарда»; «у пацієнта спостерігається порушення серцевого ритму».

Складені висловлення (логічні функції)

З простих висловлень за допомогою зв'язок І, АБО та НЕ утворюються складені висловлення, які називають логічними функціями. Прості висловлення, з яких утворюється складене, називаються логічними аргументами. Речення «Хворий відчуває сильний біль в області щелепи, рот самостійно не закривається, важко ковтати і говорити» є складеним висловленням (логічною функцією «І»).

Проблемне, достовірне, умовне висловлення Висловлення за своїм змістом може бути проблемним, достовірним або умовним

Проблемне - це висловлення, в якому щось стверджується чи заперечується з певним ступенем припущення. Наприклад, "причиною головного болю є, мабуть, підвищений тиск".

Достовірне - це висловлення, що містить знання, обґрунтовані та перевірені практикою. Наприклад, " людина дихає киснем".

Умовне - це висловлення, в якому відображається залежність того чи іншого явища від тих чи інших обставин і в якому підстава і наслідок з'єднуються за допомогою логічного сполучника "якщо ... , то

... " Наприклад, "якщо діагноз інфаркт міокарда, то спостерігається порушення серцевого ритму». Отже в умовному висловленні треба розрізняти підставу і наслідок.

Множина значень висловлення

Будь-яке висловлення може відповідати або не відповідати дійсності. У першому випадку воно називається істинним, у другому - хибним. Істинне висловлення можна позначати символом 1, а хибне - символом 0 або навпаки. Таке позначення є умовним.

Можна також використовувати інші символи-позначення: істинне висловлення позначити символом І, а хибне - Х. Таким чином, не зважаючи на різноманітність висловлень, усі вони в алгебрі логіки можуть набувати тільки двох значень: 1або 0.

Існують висловлення, які завжди істинні. Наприклад, «Людина дихає киснем», «Пневмонія - запалення легень». Позначивши наведені висловлення через X і У відповідно, можна записати

Х = 1, У=1.

Існують висловлення, які завжди хибні. Наприклад, «Анемія - це серцева недостатність», «Для розвитку живого організму потрібен нікотин». Позначивши їх через Б і Р відповідно, можемо записати

S = 0, Р=0.

Більшість висловлень можуть бути істинними або хибними залежно від обставин. Висловлення «шкіра людини блідо-рожевого кольору» істинне лише для здорової людини, в інших випадках (якщо відбулося відмороження шкіри, вияв алергічної реакції тощо) воно хибне.

Алфавіт логіки висловлень

В сучасній логіці є спеціальний розділ про складні висловлювання - логіка висловлювань. В логіці висловлювань використовується штучна мова, яка має такі знакові засоби (алфавіт логіки висловлювань):

Змінні логіки висловлювань - А, В, С, D, ... позначають прості висловлювання.

Знаки логічних сполучників: ,/\ - кон'юнкція; V - диз'юнкція; → імплікація; ↔ . еквівалентність; ¬ - заперечення;

Технічні знаки (дужки, кома).

Логічні операції та таблиці істинності. Бінарні і унарні оператори.

Логіка оперує скінченним числом операторів. Множину логічних операторів поділяють на дві

групи:

Бінарні оператори використовують дві логічні змінні. Сюди належать оператори «І», «АБО». Унарні оператори використовують одну логічну змінну. Цю групу утворює оператор заперечення

«НЕ».

Операція заперечення.

Домовимося позначати прості висловлення літерами латинського алфавіту: А, В, С... Значення істинності будемо скорочено позначати цифрою 1 для «ІСТИНА» і 0 для «ХИБА».

Розгляд логічних операцій розпочнемо з найпростішої - операції заперечення, яка відповідає в звичайній мові частці «не». Цю операцію позначають знаком ^ (інколи висловлення ~А позначають також А ). Висловлення ~А читається так: «не А».

Якщо А - деяке висловлення, наприклад, «у пацієнта виявлено пневмонію», то ¬А - нове складене висловлення «у пацієнта не виявлено пневмонію». Легко бачити, що якщо А - істинне висловлення, то ¬А - хибне і навпаки. Цей факт покладено в основу визначення логічної операції

Висловлення називається запереченням висловлення А, якщо воно істинне, коли А - хибне і хибне, коли А - істинне. Дію операції подамо у вигляді таблиці (або матриці) істинності для заперечення

Таблиця 1. Таблиця істинності для заперечення

А	¬А
1	0
0	1

Операція кон'юнкції

Наступна логічна операція - кон'юнкція, яка відповідає в звичайній мові сполучнику «і». Позначається кон'юнкція символом «/\», який ставиться між висловленнями. Якщо А і В - висловлення, то А /\ В - складене висловлення (читається «А і В»).

Нехай А - висловлення: «У хворого підвищена температура», а В - «У хворого підвищений тиск». Тоді А /\ В буде висловленням «У хворого підвищена температура і підвищений тиск». Утворене висловлення істинне тільки тоді, коли істинні обидва висловлення, що входять до нього. Тобто, операція кон'юнкції визначається таким чином:

Кон'юнкцією висловлень А і В називається таке висловлення, яке істинне тоді і тільки тоді, коли істині висловлення А і В. Таблиця істинності кон'юнкції подана нижче.

Наведена таблиця є таблицею множення двох чисел 0 і 1. Тому кон'юнкцію називають ще логічним множенням і записують: А /\ В = А • В.

Таблиця 2. Таблиця істинності для кон'юнкції

А	В	А /\ В
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Таблиця 3. Таблиця істинності для диз'юнкції

А	В	А V В
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Операція диз'юнкції

Наступна логічна операція - диз'юнкція, яка відповідає в звичайній мові сполучнику «або». Відразу ж слід зазначити той факт, що сполучник «або» має в українській мові (і в багатьох інших європейських мовах) два різних значення. В одному випадку ми говоримо про «або», що виключає, а в іншому - про «або», що не виключає. Різниця в наступному. Якщо ми маємо два висловлення А і В і обидва висловлення хибні, то, без сумніву, складне висловлення «А або В» слід вважати хибним. Якщо А - істинне, а В - хибне (чи В - істинне, а А - хибне), то також очевидно, що «А або В» слід розглядати як істинне; це цілком відповідає змісту слова «або» в українській мові. Але як слід розглядати складне висловлення «А або В», якщо А і В істинні: як істинне чи хибне? У випадку, коли вказане висловлення вважається істинним, ми кажемо, що маємо справу з «або», що не виключає, в іншому - з «або», що виключає. Логічна операція, яка відповідає «або», що не виключає в логіці висловлень називається диз'юнкцією. Вона позначається знаком «V». З наведених вище міркувань маємо наступне визначення:

Диз'юнкцією висловлень А і В називається таке висловлення, яке хибне тоді і тільки тоді, коли хибні висловлення А і В. Таблиця істинності диз'юнкції подана вище.

Наведемо приклад. Якщо за А взяти висловлення «Передбачуваний діагноз - ангіна», а за В взяти висловлення «Передбачуваний діагноз -», то А V В є висловленням «Передбачуваний діагноз - ангіна або катар верхніх дихальних шляхів».

Часто диз'юнкцію називають логічною сумою і записують А V В = А + В. Пояснюють це тим, що перші три співвідношення таблиці є результатом додавання двох чисел 0 і 1.

Розглянуті три операції є фундаментальними (основними) операціями алгебри логіки.

Операція імплікації

Однією з важливих операцій логіки висловлень є імплікація. Ця операція позначається «→»». Імплікація визначається наступним чином:

Імплікацією висловлень А і В називається таке висловлення, яке є хибним лише тоді, коли антецедент (перша частина імплікації - висловлення А) є істинним, а друга частина імплікації - висловлення В - хибним, в усіх інших випадках висловлення А→В є істинним. Таблиця істинності імплікації подана нижче.

Операція еквівалентності

Введемо останню логічну операцію - еквівалентність. Вона позначається знаком «о». Складне висловлення «А↔В» читається так: «А еквівалентно В». Означимо цю операцію:

Еквівалентністю (подвійною імплікацією) висловлень А і В називається таке висловлення, яке є істинним тоді і тільки тоді, коли висловлення А і В одночасно істинні або хибні. Таблиця істинності еквівалентності подана нижче.

Таблиця 4. Таблиця істинності імплікації

А	В	А→В
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Таблиця 5. Таблиця істинності еквівалентності

А	В	А↔В
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Діаграми Венна

Діаграми Венна є графічним представленням всіх можливих об'єктів, які належать до деякого класу. (див. рис. 1). Прямокутником в діаграмі Венна позначають область деякого класу об'єктів, а конкретний клас позначають кругом. Візьмемо для прикладу, клас тварин. Цей клас може візуалізувати всіма об'єктами в межах прямокутника - плазуни, ссавці, риби, тощо. Якщо ми хочемо в межах класу представити, наприклад, ссавців, то подаємо всіх ссавців в межах круга, а інших тварин - зовні.

На рисунку 1 зображені діаграми Вена, для логічних операцій заперечення (випадок (а)), диз'юнкції (випадок (Ь)), кон'юнкції (випадок (с))

1

Рис. 1. Діаграми Венна

Випадок (а) ілюструє операцію заперечення: область висловлення А позначено кругом, тоді ¬А, за означенням, - область зовні круга. Якщо висловлення А набуває значення ІСТИНА, то ¬А - ХИБА, і навпаки.

Заштрихована область випадку (Ь) вказує область висловлення А /\ В, а випадку (с) ілюструє дію операції А V В.

Логічні оператори та функції

Основні логічні функції.

Із простих висловлень шляхом деякого числа логічних операцій можна будувати складені висловлення, які називають відповідно логічними функціями «І», «АБО» та «НЕ». Ці три функції є фундаментом алгебри логіки, на якому будується вся її теорія. Множину інших логічних функцій можна виразити через основні «І», «АБО» та «НЕ». Наведемо відповідні вираження:

А ↔ В ≡ ((А→В) /\ (В→А))

А→В ≡ ¬А V В.

Вживаючи введені логічних операцій, можна, подібно до того як це робиться в алгебрі за допомогою символів +,-,- будувати скільки завгодно складні вирази. Наприклад,

(А V В ) /\ С

А V ( В /\ С )

( А V ¬А ) /\ ( В → А ) ((А /\ В) → С ) ↔ ¬А

(((А → В) V ¬ В) ↔ (А /\ С )) V ( К /\ С )

Розглянемо висловлення: "При відкритому переломі тазу наявні ушкодження зовнішніх тканин тіла (шкіри), сильний біль в ділянці тазу, неможливість самостійно встати або сісти".

Зробимо наступні позначення: нехай А - наявність ушкодження зовнішніх тканин тіла (шкіри); В - сильний біль в ділянці тазу; С - неможливість самостійно встати; К - неможливість самостійно сісти 1 - відкритий перелом тазу;

Тоді складна формула (А/\ В/\ (С V К)) = 1 є скороченим записом розглянутого висловлення. Крім знаків логічних операцій (V, /\, ¬,→, ↔), латинських літер, що позначають прості

висловлення, в наведених формулах присутні (, ) - права і ліва дужки. Так, як і в алгебрі, вони служать

для вказівки послідовності, в якій слід виконувати операції.
Нехай, маємо висловлення
(((А →В) V¬ В) ↔ ( А /\ С)) V (К /\ С).
Необхідно	підрахувати	його	значення	істинності	для	значень

А - І, В - Х, С - Х, К - І.

Підставляємо замість букв ці значення істинності. Отримуємо

(((І →Х) V¬ Х) ↔ ( І /\ Х)) V (І /\ Х).

Операції виконують в тому порядку, як це вказано за допомогою дужок. Застосування кожної операції відбувається згідно таблиці істинності для цієї операції. Таким чином, отримуємо

І → Х = Х, ¬Х = І,

а(І →Х) V ¬ Х = Х V І = І;

2