Биофизика / Методичка по математике

2. ∫3 (1 + 2x +3x2 )dx

−1

Задача 2. Вычислить определенный интеграл: ∫1 1 − xdx

0

Решение:

Данный интеграл не является табличным и для вычисления воспользуемся методом

замены переменной, а именно, введем новую переменную:

		t =1 − x,								тогда dt = −dx и dx = −dt .
		Затем находим новые пределы интегрирования (по переменной t ), используя связь между
"старой" и "новой" переменными.
		Действительно, при x = 0 t =1,
													при x =1 t = 0 .								на переменную t и записываем новые
		Заменяем в исходном интеграле переменную x
																			1	0	1
пределы интегрирования, тогда получаем:																			∫ 1 − xdx = −∫t				dt .
																						2
																			0	1
		Затем вычисляем определенный интеграл, используя формулу первообразной степенной
функции и формулу Ньютона-Лейбница:
0	1				2			3			10 = −	2		2
− ∫t	2	dt = −				t	2						(0 −1) =
1	3									3				3
		Вычислить самостоятельно определенные интегралы методом замены переменной
			π
																		2
	10
		1. ∫cos 5xdx															2.	∫ex2	xdx
	0																	1
		Задача 3. Вычислить площадь, ограниченную линиями: y = x +1 ,																						x =1,
		x = 3 ,					y = 0 .
Решение
		Вначале представим искомую площадь графически:
													у
										4									C
										3
										2					B
										1					А D
														1			2	3	4			х
		Искомая площадь - площадь криволинейной трапеции АВСD.
		В соответствии с геометрической интерпретацией определенного интеграла, определен-
ный интеграл функции y = f (x)																	в пределах от x = a			до x = b , т.е. ∫b				f (x)dx , численно равен
																							a

21

площади криволинейной трапеции, ограниченной линией графика функции y = f (x) , осью абс-

цисс ОХ и линиями x = a и x = b , искомая площадь S ABCD равна: S ABCD = ∫3 (x +1)dx .

1

Вычисляя полученный определенный интеграл с использованием формулы НьютонаЛейбница имеем:

	3		3		3		x2	3		3		9
S ABCD =	∫	(x +1)dx =	∫	xdx +	∫	dx =			+ x		=		+ 2	= 7.5	кв.ед.
							2			1		2
	1		1		1			1

Вычислить самостоятельно площади фигур, ограниченные линиями:

1)	y = x3 + 6; x = 0; x = 5; y = 0.
2)	y = x +1; y = 0; x = 0; x = 2.

Задача 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями: y = 6x − x2 ; y = 0.

Решение:

Представим искомую площадь графически:

у

В

9

6

3

А 1 3 5 С х Искомая площадь - площадь криволинейной трапеции АВС.

x2

S ABC = ∫y(x)dx .

x1

Для вычисления этой площади необходимо знать пределы интегрирования. Найдем их, решая совместно систему уравнений

y = 6x − x2 y = 0

6x − x2 = 0; x(6 − x) = 0; x = 0, x			2	= 6
	1
Точки пересечения этих линий x1 = 0 и x2						= 6 и есть искомые пределы при вычислении
определенного интеграла.												6
Тогда S ABC = ∫6	(6x − x2 )dx = ∫6	6xdx − ∫6					x2		6		x
					x2 dx = 6					−				= 3 36 −72 = 36 кв.ед.
0	0			0		2			0	3		0

Вычислить самостоятельно площадь, ограниченную линиями:

1)y2 − 4x = 0; x − y = 0

2)y3 − 4x = 0; y = x

Задача 5. Вычислить работу, которую необходимо совершить для растяжения пружины от равновесного состояния на величину d = 0.1 м, если коэффициент упругости пружины k =100 н/м.

Решение

22

	Согласно закону Гука для растяжения пружины на величину								x необходимо приложить
силу F(x) = kx .
	Работа переменной силы, действующей на тело при перемещении его из точки									x = a в
точку	x = b ,	численно равна определенному интегралу от этой							силы на отрезке	[a,b]:
A = ∫6	F(x)dx .
0	Зная закон изменения силы F(x) от растяжения x пружины, найдем работу A по форму-
ле: A = ∫d kxdx		=	kx2			0d =	kd 2	.
	0	2				2

При подстановке в эту формулу численных значений получим окончательный результат

A = 0.5 Дж.

Решить самостоятельно задачу.

Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 10 Н растягивает ее на 2 см. Вычислить работу, затраченную на растяжение пружины от 25 см до 35 см.

Задачи для решения на практическом занятии: 1. Вычислить определенные интегралы

	16				1 x = dx					π	3
1.	∫1 2
									7.	∫tgxdx
										0
2.	10∫0.5e2 x dx								8.	∫1		(2x3 +3x2 − 4)dx
	0									−2
3.	∫3 ( x + 1 )dx								9. ∫2				dx
												2x +3
	2							x		1
4.	∫7				x + 2 dx				10. ∫5			(x +1)2					dx
	2									1			x
	1			ex dx						8			3				x
5.	∫								11. ∫			( 3		+ e				)dx
			2 + e			x							x
	0									1
	π	2		cos x						π	2
6.	∫							dx	12.	∫(5cos x − x)dx
				2
	π	4		sin x						0
					2. Вычислить площади фигур, ограниченные линиями:
1. y = x2 ; y = x3									2. y = x; y = x
3.			y = sin x; y = 0 на отрезке [0,π]						4.	y2			= 9x; x2 = 9 y

5.y = 4 − x2 ; y = 0

3.Вычислить работу переменной силы.

1)Вычислить работу, совершаемую при сжатии винтовой пружины на 6 см, если известно, что для сжатия ее на 0,5 см требуется приложить силу 6 Н. Считать, что приложенная сила пропорциональна сжатию пружины ( F = kx ).

2)Вычислить работу, производимую спортсменкой при растяжении эспандера на 70 см, если известно, что при усилии в 10 Н эспандер растягивается на 1 см.

4. Решить задачи.

1)В момент времени t скорость изменения концентрации препарата с изотопным индика-

тором dCdt = e−t ln 2 .

23

Найти концентрацию препарата в момент времени t.

2) Скорость движения тела v = 3t 2 − 2t (м/с). Какой путь пройдет тело за 5 с от начала движения, если при t = 0 x = 0 .

Т е м а 6

Дифференциальные уравнения

При изучении различных процессов в физике, химии, биологии, медицине часто не удается непосредственно найти законы, связывающие величины, которые характеризуют изучаемое явление. Но в то же время легко устанавливается зависимость между теми же величинами и их производными или дифференциалами. При этом получаются уравнения, содержащие неизвестные функции и производные этих функций или дифференциалы. Такие уравнения называются дифференциальными.

Примером дифференциального уравнения является уравнение дви-

жения				материальной	точки массой m под	действием силы	F(x) :
m	d 2 x			= F(x) .
	dt	2
			Литература для подготовки к занятию по теме:				1998,
Ю.В.Морозов "Основы					высшей математики и	статистики". М.,
с.85-92.
			В процессе подготовки к практическому занятию по теме				необ-
ходимо выполнить следующее:
			1. Повторить следующие теоретические вопросы:

1)Понятие дифференциала функции одной переменной.

2)Понятие неопределенного интеграла (основные формулы интегрирования).

П. Изучить по указанной литературе теоретические вопросы:

1)Понятие дифференциального уравнения.

2)Чем определяется порядок дифференциального уравнения?

3)Что называется общим и частным решениями дифференциального уравнения?

4)Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.

Эталоны решения типовых задач и задачи для самоконтроля. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися

переменными имеют вид U1 (x)V1 ( y)dx +U2 (x)V2 ( y)dy = 0 .

В уравнениях такого типа путем алгебраических преобразований можно добиться, чтобы при дифференциале dy стояла функция, зави-

сящая только от переменной y , а при дифференциале dx - функ-

ция, зависящая только от переменной x . Такие уравнения называются уравнениями с разделенными переменными.

24

U1 (x)

dx = −

V2 ( y)

dy

U

2

(x)

V ( y)

Для

1

уравнение,

т.е. найти зависимость y

того чтобы решить такое

от

x , необходимо левую часть уравнения проинтегрировать по x , а

правую - по

y .

где V ( y)

Получим

V ( y) =U (x) +C ,

–

некоторая первообразная

V2 ( y)

для

подынтегральной функции

; U (x)

- некоторая первообраз-

V ( y)

1

ная

для подынтегральной

функции

U 2 (x)

;

C - постоянная интегри-

рования.

U1 (x)

Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

xdx + ydy = 0

Решение.

ydy в правую часть уравнения

Перенесем выражение

− xdx = +ydy

Переменные разделены, т.к. коэффициент при dx является функцией

только	x , а коэффициент при								dy является функцией только y . Ин-
тегрируем:
− ∫xdx = +∫ydy
	x2		y2			x2		y2
−		+C =			или		+		= C
	2		2
						2		2
x2 + y2 = C 2				, где		С2 = 2С
			1			1
Графически общее решение дифференциального уравнения пред-
ставляет собой			бесчисленное						множество кривых y(x) , отличающихся

друг от друга постоянной интегрирования.

В данном случае кривые представляют из себя концентрические окружности с центром в начале координат, отличающиеся друг от друга радиусами.

у

х

25

Задача 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

y′ =

y

и

частное

решение, соответствующее начальному

условию

x

y =1

при

x =1.

Решение.

y

Уравнение

y′ =

приводим к виду

f1 ( y)dy = f2 (x)dx.

x

Для

этого

производную неизвестной

функции запишем как отно-

y′ =

dy

шение

дифференциалов

. Исходное

уравнение запишем

в виде:

dx

dy

y

=

.

dx

x

Так как в подынтегральном выражении дифференциал переменного записывается в числителе, то для возможности дальнейшего интегри-

рования необходимо обе части уравнения умножить на

dx .

dy =

y

dx

x

уравнения раз-

Для разделения переменных необходимо обе части

y

dy

=

dx

делить на

:

y

x .

После того, как переменные разделены, интегрируем уравнение:

∫

dy

= ∫

dx

или

ln

y

= ln

x

+ ln C1 , C1

> 0 .

y

x

В данном примере константу интегрирования C удобно представить в

виде

ln C1 .

Потенцируя, получим

y

= C1

x

,C = ±C1 ,

или y = Cx . То

есть решением исходного уравнения является линейная функция с угловым коэффициентом С. На рисунке показано графическое представление общего решения.

у

х

Для нахождения частного решения необходимо		в	общее	решение
y = Cx подставить начальное условие y =1 при x =1			и найти значе-
ние константы интегрирования C .
Получаем: 1 = C 1, откуда C =1 .
y = xЧастное.	решение дифференциального уравнения	запишем		в виде:

26

Это уравнение прямой, проходящей под углом 45 o через начало координат.

Задача 3. Найти общее решение дифференциального уравнения

у’=2х2.

Решение.

Основные этапы решения уравнения аналогичны задаче 2. Запишем

y′ = dydx dydx = 2x2 dy=2x2dx ∫dy=∫2x2dx+C

y=2/3 x3+C

Докажем, что найденное общее решение действительно является решением уравнения у’=2х2. Для этого найдем производную у’.

y’=(2/3 х3+С)’=2х2

Подставляя у’ в уравнение, получаем 2х2=2х2. Таким образом, функция y=2/3 x3+C при подстановке в уравнение у’=2х2 обращает уравнение в тождество, что и доказывает правильность найденного решения.

Задача 4. Найти общее решение дифференциального уравнения

у’=5y.

Решение.

Последовательность решения уравнения аналогична последовательности, указанной в задаче 2.

y′ = dydx dydx = 5у dyy = 5dx ln y =5x+C

Здесь также удобно представить постоянную интегрирования С в виде С=lnC1. Тогда получим ln y =5x+ lnC1.

Потенцируя, получим решение y/C1=e5x или y=C1e5x.

Для проверки правильности решения достаточно подставить его в исходное уравнение У’=(С1e5x)’=С1 5 e5x=5(С1e5x).

Получилось тождество 5(С1e5x)=5(С1e5x).

Следовательно, функция y=C1e5x является общим решением данного дифференциального уравнения.

Задачи для самоконтроля.

1) Найти общее решение дифференциального уравнения

y′ = 3	x2
			и частное решение, удовлетворяющее условию у=1 при х=0.
	y	4

2) Найти общее решение дифференциального уравнения у’=х+2 и подстановкой проверить правильность найденного решения.

27

Составление дифференциальных уравнений является сложной задачей, т.к. общих методов составления дифференциальных уравнений нет. Навыки в этой области можно приобрести лишь в результате изучения конкретных примеров.

Рассмотрим некоторые из них.

Задача 5. Зависимость числа нераспавшихся ядер атомов радиоактивного вещества со временем.

В соответствии с простейшей версией закона радиоактивного распада скорость распада, т.е. скорость уменьшения количества нераспавшихся атомов, пропорциональна их количеству N(t) в данный момент времени.

Составить дифференциальное уравнение радиоактивного распада, найти общее решение, а также частное решение при условии, что первоначальное (при t=0) количество нераспавшихся атомов равня-

лось N0. Решение

В аналитической форме закон радиоактивного распада можно записать в виде:

	dN		= −λ N ,	(1)
	dt
где			N - количество	нераспавшихся атомов в данный момент времени,

t - время, λ - постоянная распада. Знак минус означает, что с течением времени число нераспавшихся атомов уменьшается, а производная убывающей функции отрицательна.

Полученное дифференциальное уравнение является уравнением первого порядка с разделяющимися переменными.

Разделим переменные и проинтегрируем левую часть по переменной N, а правую - по t:

	dN	= −λ t ;	∫dN	= −λ ∫dt ; ln N =-λt+ ln C
	N
			N

(В данном случае удобнее представить константу интегрирования С в виде логарифма.)

N = Ce−λ t

Полученное выражение является общим решением дифференциального уравнения (1). Чтобы получить частное решение уравнения (1), воспользуемся начальными условиями. Тогда получим, что С=N0, и частное решение имеет вид:

N = N0e−λt

Полученная зависимость отражает закон изменения числа нераспавшихся атомов со временем.

Задачи для самоконтроля

1)Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна количеству бактерий N в данный момент времени t. Установить зависимость изменения количества бактерий от времени N(t), если константа размножения равна b.

2)Скорость распада некоторого лекарственного вещества пропорциональна наличному количеству лекарства. Определить,

28

через какое время после введения в организме останется 10% первоначального количества, если одноразово при t=0 было введено m=9,7 г лекарства. Константа распада лекарственного вещест-

ва k = 0,05 час-1.

Задания для выполнения на практическом занятии

1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

1)	у’=tgx	6)	у’=у2cosx
			dx
2)	у’=у	7)	dt + t	=1
3)	у’=хеy	8)	ху’=у2
4)	у’=х/у2	9) ху’=у+1
9)	ху’+еy=0	10) (х+3)dу-(у+3)dх=0
П. Решить задачи		оттока крови из		резервуара с эла-
1)	Объемная скорость

стичными стенками ( − dVdt = C dPdt , где С - коэффициент эластично-

сти) пропорциональна уменьшению давления в этом резервуаре. По закону Пуазейля для течения вязкой жидкости в трубе постоянно-

	dV	=	P
го сечения объемная скорость				, где Р - давление, под
	dt		R

действием которого жидкость перемещается, R - гидравлическое сопротивление.

Определить зависимость давления в резервуаре от времени. Изобразить эту зависимость графически, если начальное давление в резервуаре равно Р0 при t=0.

2) Скорость изменения пороговой силы тока выражается фор-

мулой dIdt = −1t,122 . Найти закон изменения тока от времени, если в

момент времени t=0,4 мс соответствующее значение тока равно 3,2 мА.

3) Для палочковидных клеток, у которых отношение поверхности клетки к ее объему сохраняется постоянным, скорость роста клетки dl/dt пропорциональна длине клетки l в данный момент. Составить и решить дифференциальное уравнение, считая, что при t=0, l=l0.

Т е м а 7

Элементы обработки медико-биологической информации

В данной теме рассматриваются некоторые вопросы обработки медикобиологической информации методами математической статистики. С такой обработкой или ее результатами приходится иметь дело врачу или фармацевту.

29

Как выяснить, каков должен быть нормальный вес новорожденного ребенка. Как оценить истинное содержание лекарственного вещества в одной и той же пробе, например, экстракта из лекарственного растения или в сыворотке крови, если повторные измерения дают различные результаты. Ответ на эти и многие другие вопросы можно получить, используя методы статистической обработки медико-биологической информации.

Литература для подготовки к занятию по теме:

Ю.В.Морозов "Основы высшей математики и статистики", М., 1998,

с.131-135, 139-144.

В процессе подготовки к практическому занятию по теме необходимо уметь отвечать на следующие вопросы:

1)Что такое генеральная и выборочная статистические совокупности?

2)Как рассчитать выборочную дисперсию?

3)Как рассчитать исправленную выборочную дисперсию?

4)Как рассчитать исправленное среднее квадратическое отклонение среднего выборочного?

5)Что называется доверительной вероятностью, доверительным интер-

валом?

6)Как рассчитать величину доверительного интервала?

Эталоны решения типовых задач и задачи для самоконтроля

Задача 1. При измерении некоторой величины получены следующие зна-

чения x1

= 3,1; x2 = 3,3; x3 = 3,2.

p = 0,95

С доверительной вероятностью

оценить истинное значение из-

меренной величины.

Решение

Вычисляем среднее выборочное значение

n

∑xn

3,1 +3,3 +3,2

xB

=

i=1

=

= 3,2

n

3

Вычисляем исправленную выборочную дисперсию

n

∑(xi −

)2

S 2

xB

(3,2 −3,1)

2

+ (3,3 −3,1)

2

+ (3,2 −3,2)

2

=

i=1

=

= 0,01

n −1

3 −1

интервала. Число измерений

Вычисляем

полуширину доверительного

n < 30 , пользуемся распределением Стьюдента. Значение коэффициента Стьюдента находим по таблице (см. с.223 учебника Ю.В.Морозова).

t0,95 ( f ) = 4,3 , где			f = n −1 = 2 .
Следовательно, полуширина доверительного интервала
x = t p ( f ) S	= 4,3 0,01 = 0,25
n	3	x
Получаем, что			находится в интервале 3,2 −0,25 <		< 3,2 +0,25
				xГ
Следовательно,		с	доверительной вероятностью p = 0,95 истинное зна-

чение измеряемой величины (генеральное среднее) находится в интервале

(2,95;3,45).

30