Биофизика / Методичка по математике

Задача 1. При исследовании токсичности некоторого препарата пяти группам крыс ввели различные дозы препарата. В каждой группе через 24 часа зарегистрировано количество летальных исходов (в %). Получены следующие данные:

Доза препарата X , мг/кг	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0
Число летальных исходов Y , %	1,0	1,3	1,4	1,9	2,0

Проверить целесообразность линейной аппроксимации зависимости количества летальных исходов от дозы препарата и определить коэффициенты этой зависимости методом наименьших квадратов.

Решение Изобразим зарегистрированную в опытах совокупность пар значений Х и

Y на графике и проведем сглаживающую линию. y

2

1

x

1 2 3 4

Поскольку сглаживающая линия по форме близка к прямой, то в качестве аппроксимирующей зависимости можно принять линейную зависимость вида

y = ax + b

Коэффициенты a и b будем рассчитывать в соответствии с методом наименьших квадратов по формулам (1).

Для удобства расчетов составим таблицу 6. Таблица 6

	x	i	y	i	x2	x y	i
					i	i
						1,0
1	1,0		1,0		1,0
2	1,5		1,3		2,25	1,95
3	2,0		1,4		4,0	2,80
4	2,5		1,9		6,25	4,75
5	3,0		2,0		9,0	6,0
∑	10,0		7,6		22,5	16,5

		Подставив в формулы для коэффициентов a и b			соответствующие зна-
чения сумм из таблицы 6, получим
a =	5 16.5 −10 7.6		= 0.52
		22.5 5 −100
b =		22.5 7.6 −10 16.5		= 0.48
		22.5 5 −100
		Таким образом, график функции y = 0.52x + 0.48			наилучшим образом (в

соответствии с методом наименьших квадратов) аппроксимирует наблюдаемую зависимость Y от X .

41

Решить самостоятельно задачу:							плотности			раствора
При измерении временной		зависимости оптической
D , содержащего некоторые бактерии – продукты лекарственного препарата,
получены следующие результаты:
Время t , час		2,5	2,6	2,7	2,8		2,9	3,0
Оптическая плотность D ,		0,40	0,48	0,54	0,54		0,67	0,68
отн.ед.
Убедиться в целесообразности			линейной аппроксимации					этой	зависимо-

сти и найти значения коэффициентов a и b методом наименьших квадратов.

Задача 2 Результаты определения численности популяции мушки дрозофилы в за-

висимости от времени приведены в таблице:
Время	t , сутки	0	2		4	8	10	14
Численность популяции N ,		12	20		31	105	149	410
шт.
ln N		2,48	2,99		3,43	4,65	5,00	6,01
Считая, что численность		популяции увеличивается согласно закону
N = N0 ekt ,
где N	- численность популяции в любой момент времени t ,							N0 - началь-

ная численность популяции, k - постоянная величина, характеризующая скорость роста популяции, зависящая от многих причин (от вида популяции, условий жизнедеятельности, внешних воздействий и т.д.). Методом наименьших квадратов определить параметры линейной зависимости логарифма численности популяции мушки от времени. Вычислить коэффициент скорости рос-

та популяции k . Решение

Т.к. закон изменения численности популяции описывается экспоненци-

альной зависимостью N = N0 ekt , прологарифмируем обе части уравнения. Тогда ln N = ln N0 + kt .

	Обозначим		ln N = y, k = a,		ln N0 = b..		Тогда получим			зависимость
y = at + b , которая является линейной относительно времени										t .
	Для нахождения параметров				a и b произведем вычисления
		xi		yi		xi2		xi yi
								0
1		0		2,48		0
2		2		2,99		4		5,98
3		4		3,43		16		13,72
4		8		4,65		64		37,20
5		10		5,00		100		50,0
6		14		6,01		196		84,14
∑		38		24,56		380		191,04

Подставив в формулы для коэффициентов a и b соответствующие значения сумм из таблицы, получим

42

a =

6 191.04 −38 24.56

= 0.25

6 380 −382

b =

380 24.56 −38 191.04

= 2.48

836

Уравнение зависимости логарифма численности популяции от времени

имеет вид y = 0.25t + 2.48

или ln N = kt + 2.48

Тогда коэффициент скорости роста k = 0.25.

Задача для самоконтроля

ты

В некоторой химической реакции первого порядка зависимость констан-

скорости

реакции

k

при разных температурах

определяется следующими

данными:

Температура

T , К

273

298

308

318

Константа скорости k 1015 , c-1

1,06

31,9

98,64

292

Считая, что зависимость константы скорости реакции k связана с аб-

солютной температурой по закону k = AeE / RT .

Определить величину энергии активации E

( R =8,3 10-3

кДж/моль град; A =2 1012

с-1).

Ответ: E ≈90 кДж/моль

Задачи для решения на практическом занятии

X и

массой m взрослых

1) При

изучении

зависимости

между

ростом

мужчин получены результаты, приведенные в таблице. Считая связь между указанным и величинами линейной, найти параметры уравнения этой зависи-

мости	m = ax +b .
Рост	X , см		166			176			175			168			167			172			175			180
Масса	m , кг		56			75			70			61			62			63			72			80
	2) При изучении зависимости сопротивления																		R медного						стержня			от
температуры t 0				получены следующие результаты.
Температура					19,1			29,0			30,1			36,0			40,0			45,1				50,0
t, 0С
Сопротивление					76,3			77,8			79,8			80,8			82,3			83,9				85,1
R, Ом
и b.	Считая эту				зависимость линейной, т.е. R = at +b , найти параметры а
	3) При изучении зависимости показателя преломления																							n	раствора			от
концентрации в нем соли								C получены результаты, приведенные в таблице
Концентрация				0,000			0,025			0,050			0,10			0,20			0,40				0,80
раствора
C , г/см3													1,340
Показатель				1,333			1,338			1,340						1,363			1,377				1,389
Преломления

43

n , отн.ед.

Найти параметры сглаживающей линейной зависимости вида n = aC +b .

Т е м а 10

Корреляционная зависимость. Коэффициент линейной корреляции

В биологии, медицины, в общественных отношениях часто встречаются

такие зависимости между	величинами	Y и X ,	из которых одна, например
Y , зависит от другой X	и, кроме	того, от	ряда других условий, не

поддающихся точному учету. В результате этого каждому значению величины X соответствует не одно значение (как при функциональной зависимости), а ряд значений величины Y . В таком случае говорят о статистической зависимости между величинами X и Y . При изучении статистических зависимостей часто ограничиваются рассмотрением так называемых корреляционных зависимостей, то есть таких зависимостей, когда изменение одной из величин (например, X влечет за собой изменение математического ожидания другой Y . Примерами корреляционных зависимостей являются зависимость между дозой лекарственного препарата и его содержанием в крови, зависимость между ростом человека и его массой и т.д.

Литература для подготовки к занятию по теме:

Ю.В.Морозов "Основы высшей математики и статистики", М., 1998,

с.151,152,160-163.

В процессе подготовки к практическому занятию по теме необходимо выполнить следующее:

1. Повторить следующие теоретические вопросы:

1)Понятие функциональной зависимости. Привести примеры.

2)Формулы для нахождения среднего выборочного.

П. Изучить по указанной литературе следующие теоретические вопро-

сы:

1)Понятие статистической зависимости.

2)Понятие корреляционной зависимости.

3)Понятие условного среднего.

4)Определение коэффициента линейной корреляции. Что он характеризует?

5)Основные свойства коэффициента линейной корреляции.

Эталоны решения типовых задач и задачи для самоконтроля Задача 1. На рисунках а) и в) приведена графическая иллюстрация двух

эмпирических линейных корреляционных	зависимостей Y и X и изображены
соответствующие прямые линии регрессии.
y	y

α r = 0,8	α r = 0,2
x	x
а)	b)

Указать, для какого случая корреляционная зависимость более тесная. Объяснить, где коэффициент линейной корреляции больше и почему.

44

Решение Сила корреляционной связи для этих зависимостей одинакова (это

следует из равенства углов наклона соответствующих прямых линий регрессии по отношению к положительному направлению оси OX ). Однако, для корреляционной зависимости, изображенной на графике а) разброс экспериментальных точек относительно линии регрессии меньше, чем для корреляционной зависимости, изображенной на графике b). В таком случае говорят, что корреляционная зависимость, изображенная на графике а) более тесная, чем корреляционная зависимость, представленная на графике b). Коэффициент линейной корреляции r в случае, изображенном на графике а) больше, чем в случае b).

Задача для самоконтроля

На рисунках приведены графики двух корреляционных зависимостей Y и X . Значения коэффициентов линейной корреляции для приведенных зави-

симостей:	r1 = 0,01 и r2 = 0,81.
y	y

	x	x
рис.3	рис.4
Указать, какому графику принадлежит каждый из коэффициентов ли-
нейной корреляции и объяснить эту принадлежность.
Задача 2. Рассчитать условные средние величины		Y для приведенных

в таблице результатов. Построить график линейной корреляционной зави-

симости			x	= f (x) .
	y
x		1			2	3	4	my
1		2						2
2		1			1	2		4
3					2	2	1	5
4							2	2
5							2	2
mx		3			3	4	5	n =15

Решение

= f (x) для каждого значения

х.

Вычислим значения

условных средних

y

x

Для

значения x =1

имеем ряд значений

y , который представим в

виде таблицы:

x=1

1

2

y

m

2

1

По формуле для расчета среднего значения

45

находим

x=1 =

2 1

+1 2

≈1,3

y

2

+1

Аналогичным образом находим значение

x=2 , где x2 = 2 .

y

x=2

2

3

y

m

1

2

y x=2 = 2 12++31 2 ≈ 2,7

Для y x=3 имеем таблицу:

			x=3		2			3
	y
	m				2			2
		x=3 =				2 2 +3			2	≈ 2,5
	y
							2 + 2

Для нахождения y x=4 составим таблицу:

		x=4	3	4	5
	y
m			1	2	2

y x=4 = 1 31++224++22 5 ≈ 4,2

Обобщая полученные результаты, составим таблицу значений x и yx .

	x		1	2	3	4
			1,3	2,7	2,5	4,2
	yx
										x и вычисленным условным средним		по-
			По известным значениям								yx
строим график зависимости									x	= f (x) .
								y
				у
			2
			1
				1	3	5				х
			Задача для самоконтроля
			Вычислить		условные			средние и построить график зависимости

y x = f (x) .для корреляционной зависимости оптической плотности Y раство-

ра от концентрации Х растворенного вещества по данным, приведенным в таблице.

y	x	1,5	1,6	1,7	1,8	my
0,09		1				1
0,10		3				3
0,11		2				2

46

0,20		2			2
0,21		4			4
0,22		1			1
0,31			3		3
0,32			4		4
0,33			1		1
0,42				2	2
0,43				3	3
0,44				2	2
mx	6	7	8	7	n = 28

Работы, связанные со статистической обработкой медикобиологической информации проводятся на персональных компьютерах (ПК). По окончании этих работ проводится зачетное занятие по статистике. Оно включает обсуждение результатов практических занятий на ПК и теоретических вопросов, связанных с темой.

З а ч е т н о е з а н я т и е п о с т а т и с т и к е

1. Обсуждение результатов практических занятий на ПК.

Интервальная оценка

Проанализировать:

1)влияние объема выборки n на ширину доверительного интервала х,

2)влияние значений доверительной вероятности р на ширину доверитель-

ного интервала х Результаты представить графически.

Закон Гаусса

Сопоставить кривые нормального распределения для различных μ (при

одинаковых σ) и для различных σ (при одинаковых μ). Кривые должны быть нарисованы в одном масштабе. Как соотносятся площади под кривыми? Про-

иллюстрировать с помощью полученных графиков правило 3σ.

Гистограмма

Сопоставить две гистограммы величин в норме и при патологии. В чем их отличие? Поставить в соответствие данным гистограммы кривые

нормального распределения. Оценить μ и σ. Записать теоретический закон распределения для этих значений.

МНК. Коэффициент корреляции.

Указать на графике отклонения теоретически рассчитанных значений от экспериментальных (для каждого х). Для произвольного (экспериментального) х рассчитать теоретическое значение y на сглаживающей прямой. Сравнить с экспериментом.

Сопоставить графики с различными коэффициентами корреляции. На каком из графиков коэффициент корреляции больше?

2. Теоретические вопросы.

1)Случайное событие. Вероятность случайного события (классическая и статистическая).

47

2)Случайная величина. Непрерывные и дискретные случайные величины, привести примеры.

3)Закон распределения дискретной случайной величины. Ее основные характеристики (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение).

4)Генеральная и выборочная совокупности. Расчет среднего, исправленной дисперсии, исправленного среднего квадратического отклонения выборочной совокупности.

5)Доверительная вероятность, доверительный интервал. Интервальная оценка генерального среднего значения с использованием коэффициента Стьюдента.

6)Распределение непрерывной случайной величины. Нормальный закон распределения (закон Гаусса).

7)Гистограмма. Метод ее построения. Использование гистограмм в медицинских исследованиях.

8)Корреляционная зависимость, примеры. Коэффициент линейной корреляции; оценка тесноты линейной корреляционной зависимости по его значению.

9)Метод наименьших квадратов, цель и суть метода. Применение МНК для обработки медицинской информации.

48