математика / Matematika_Kursovaya_rabota

11

n

− m

)3 p

∞

∑(x

∫( x − mx )3 f ( x )dx

A =

i =1 i

x

i

или

A

=

−∞

.

(1.15)

s

σ3

s

σ3

x

x

Эксцессом называется число

∞

n

− m

)4 p

∑(x

i

x

i

∫( x − mx )4 f ( x )dx

(1.16)

Ek =

i =1

−3 или

Ek =

−∞

−3.

σ 4

σ 4

x

x

Рассмотрим вероятностный смысл данных числовых характеристик. Математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины. Другими словами математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины.

Дисперсия характеризует разброс (рассеяние) случайной величины относительно своего математического ожидания.

Среднее квадратическое отклонение, очевидно, имеет тот же смысл, что и дисперсия, однако в отличие от последней, имеющей размерность равную квадрату размерности случайной величины, его размерность совпадает с размерностью случайной величины.

Асимметрия позволяет оценить, насколько симметричен график плотности распределения случайной величины относительно математического ожидания. Если распределение симметрично, то Аs = 0.

Эксцесс характеризует форму (островершинность или плосковершинность) графика плотности распределения.

1.5ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

В теории вероятностей вводится ряд законов распределения случайных величин, которые вне данного раздела математики называют теоретическими (например, в математической статистике). Однако практика показала, что эти законы хорошо описывают реальные случайные величины. Другими словами, теоретические случайные величины являются адекватными моделями реальных случайных величин.

Рассмотрим основные законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин.

1.5.1 Равномерный закон распределения

Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на [a,b], если ее плотность распределения имеет вид

1		при а ≤ х ≤b,
			(1.17)
f (x) = b − a
		при х < a, x >b.
0

12

Равномерный закон распределения характеризуется двумя параметрами – а,b. Функция распределения:

0		при х< a,
x − a		при а ≤ х ≤b,
F(x) =
b − a		при x >b.
1

Графики плотности распределения f(x) и функции распределения равномерного распределения изображены на рисунках 1.3, 1.4.

(1.18)

F(x)

f (x)				F(x)
1				1
b − a
0	a	b	x	0	a	b	x
	Рисунок 1.3				Рисунок 1.4

Числовые характеристики равномерного закона распределения:

M [X ]= a +b	; D[X ]= ( b − a )2 ; σx =	Dx =		b −a		; As=0; Ex=–1,2.	(1.19)
2	12	2			3
Вероятность попадания равномерно распределенной случайной
величины X в заданный интервал (α, β) [a,b]:
	P(α < X < β ) =	β −α	.				(1.20)
		b − a

Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчетов (ошибка округления числа до целого распределена равномерно на отрезке [–0,5; 0,5]), в ряде задач массового обслуживания, при статистическом моделировании наблюдений, подчиненных заданному распределению.

1.5.2 Показательный закон распределения

Непрерывная случайная величина Х имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром λ, если ее плотность распределения имеет вид

		−λx
f (x) = λe				при x ≥ 0,	(1.21)
0				при х < 0.
При этом функция распределения
	− e		−λx	при x ≥ 0,
F(x) = 1					(1.22)
0				при х < 0.

13

График плотности распределения f(x) и функции распределения F(x) показательного распределения изображены на рисунках 1.5, 1.6.

f (x)

F(x)

λ

1

x

0

Рисунок 1.5

x

0

Рисунок 1.6

Числовые характеристики показательного закона распределения:

M [X ]=

1

; D[X ]=

1

; σ[ X ] =

1

; A =2; E =6.

(1.23)

λ

λ2

λ

s

x

Вероятность попадания показательно распределенной случайной

величины X в заданный интервал (α, β) [0;∞):

P(α < X < β ) = e−λα −e−λβ .

(1.24)

При решении ряда задач теории массового обслуживания можно считать, что случайная величина, являющаяся временем X =T между двумя последовательным заявками, подчиняется показательному закону распределения

1.5.3 Нормальный закон распределения

Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами a и σ, если ее плотность распределения имеет вид

	1	−	( x −a) 2		(1.25)
			2σ 2
f (x) =	σ 2π e			.

Область значений −∞ < X < ∞, σ > 0 , параметр a произволен. График плотности вероятностей в силу ее четности симметричен

относительно прямой x = a. При x = a кривая имеет единственный максимум,

равный	1	(рисунок 1.7). Если σ
	σ 2π

уменьшается, то значение максимума функции f(x) увеличивается, и наоборот, при увеличении σ максимум функции уменьшается, кривая сжимается к оси Oх.

Распределение с параметрами а = 0, σ = 1 называется стандартным нормальным распределением, его плотность

f(x)

0	х = а	x
	Рисунок 1.7

		14
f (x) =	1		e−	x2
				2	.
	2π

Функция распределения стандартного нормального закона

x	1	x	−	t 2
F(x)= ∫ f (t)dt =		∫e			dt
				2
−∞	2π	−∞

не выражается через элементарные функции Для расчета вероятностей случайной величины с нормальным распределением составлены таблицы специальной функции Ф(x) – функция Лапласа.

1

0

−

−t 2

1

x

−

t 2

1

F(x) =

∫e

2 dt +

∫e

2

dt =

+Ф(x) ,

2π

2π

2

−∞

0

	1	x		t 2
Ф(x) =		∫e−			dt .
				2
	2π	0
Значения для отрицательных х определяются по свойству нечетности
функции Ф(х), то есть Ф(–х)=– Ф(х).
Числовые характеристики для нормально распределенной случайной
величины Х:
M[X] = a, D[X] = σ2, As=0; Ex=0.						(1.26)
Вероятность попадания случайной			величины			Х, распределенной по

нормальному закону с параметрами a и σ в интервал (α, β), определяется по формуле

P(α < X < β ) =Ф(	β − а	) −Ф(		α − a	).	(1.27)
	σ			σ
Для нормально распределенной			случайной величины			справедливо

правило 3σ (“трех сигм”): практически достоверно, что случайная величина примет значение из интервала (α–3σ, α+3σ).

1.5.4 Распределение χ2

Непрерывная случайная величина Z имеет распределение χ2 (“хи квадрат”) с τ = n степенями свободы, если она является суммой квадратов n независимых случайных величин Y1, Y2, …, Yn , распределенных по стандартному нормальному закону ( М[Yi] = 0; σ[Yi] = 1), то есть

								n
				Z = ∑Yi						2 .		(1.28)
							i=1
Плотность вероятности χ2 – распределения имеет вид
		1						n			x
							x 2 −1e−				2	при x ≥ 0,
		n
					n
f (x) =	2	2 Γ(				)						(1.29)
				2
												при x < 0,
0

15

+∞

где Γ(x) = ∫e−t t x−1dt – гамма-функция Эйлера (для целых положительных

0

значений Γ(х) = (х–1)!).

График плотности распределения f(x) изображен на рисунке 1.8.

f(x)

	n=1 n=2
0,15		n=6
0,1
0,05
0	2	4	6	8	10	12	14	x
			Рисунок 1.8

Распределение χ2 определяется одним параметром – числом степеней свободы τ. С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.

Числовые характеристики закона распределения χ2:
M[Z]=n; D[Z]=2n.	(1.30)

1.5.5 Распределение Стьюдента

Непрерывная случайная величина T имеет распределение Стьюдента

(t–распределение) с τ степенями свободы, если

	T =	Y	,	(1.31)
		Z / τ

где Y – случайная величина, распределенная по стандартному нормальному закону,

Z – независимая от Y случайная величина, распределенная по закону χ2 с τ степенями свободы.

Плотность вероятности распределения Стьюдента имеет вид

	τ +1							−τ
f (x) =	Γ	2			+	x	2		2+1	(1.32)
				1					.
	τ					n
	Γ		πτ
	2

График плотности распределения f(x) изображен на рисунке 1.9.

16

f(x)

Нормальная кривая

Кривая t–распределения

–3	–2	–1	0	1	2	3	x

Рисунок 1.9

Числовые характеристики:

M[T] = 0, D[T] = τ/(τ–2). (1.33)

С увеличением числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному. Практически при τ>30 можно считать t–распределение приближенно нормальным.

1.5.6 Распределение Фишера–Снедекора

Непрерывная случайная величина F имеет распределение Фишера– Снедекора (F–распределение) с τ1 и τ2 степенями свободы, если

F =	Z1	τ1	,	(1.34)
	Z2
		τ2

где Z1, Z2 – независимые случайные величины, распределенные по закону χ2 соответственно с τ1 и τ2 степенями свободы (числитель и знаменатель данного отношения выбирается так, чтобы выполнялось условие F≥1).

Распределение Фишера-Снедекора определяется двумя параметрами – числами степеней свободы τ1, τ2.

Плотность вероятности F–распределения имеет вид

	Γ τ1	+τ2			τ		2	τ		2
							τ1			τ2
		2				1			2		τ		τ1+τ2
f (x) =											x 21	−1(τ1x +τ2 )−		.	(1.35)
													2
		τ	1		τ		2
	Γ			Γ
		2				2

График плотности распределения f(x) изображен на рисунке 1.10.

17

f(x) τ1=1, τ2=4

τ1=10, τ2=50

τ1=4, τ2=100

0		1	2	3	x

Рисунок 1.10

Математическое ожидание M[F] = τ2/(τ2–2).

При n→∞ распределение Фишера–Снедекора приближается к нормальному закону.

1.6 СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ФУНКЦИЯ РЕГРЕССИИ

Часто результат испытания характеризуется не одной случайной величиной, а некоторой системой случайных величин (ССВ) Х1, Х2, …, Хn , которую также называют многомерной (n-мерной) случайной величиной или случайным вектором Х = (Х1, Х2, …, Хn). Во многих задачах теории вероятностей приходится иметь дело с системами случайных величин как дискретных, так и непрерывных. С понятием системы случайных величин связаны вопросы их коррелированности и зависимости, которые составляют основу теории регрессии.

1.6.1 Совместное распределение вероятностей и распределение вероятностей каждой из составляющих

Законом распределения системы случайных величин называется соотношение, устанавливающее связь между множеством возможных значений системы и вероятностями появления этих значений.

В дальнейшем будем рассматривать двумерную ССВ.

Для двумерной системы дискретных величин закон распределения задают в виде таблицы с двойным входом, в каждой клетке которой

располагаются вероятности pij = P(X = xi, Y = yj), i =1,n , j = 1,m.

X			Y
	y1	y2		…	ym
x1	p11	p12			p1m
x2	p 21	p22			p2m
…
xn	pn1	pn2			pnm

18

Так как события (X = xi, Y = yj), где i =1,n и j = 1,m образуют полную

группу несовместных событий, то
∑∑ pij = ∑ pij =1.		(1.36)
i j	i, j
Зная закон распределения двумерной случайной величины, можно
найти законы распределения каждой из составляющих. А именно:
∑ pij = pi = P(X = xi );		(1.37)
j	= P(Y = y j ).
∑ pij = p j		(1.38)
i

Если случайные величины, образующие систему, зависимы, то вводится понятие условного закона распределения составляющей. Условные

вероятности составляющей X при Y = yj обозначаются
P(X = xi /Y = yj) = p(xi /yj),	(1.39)

где i =1,n , j = 1,m .

Условным законом распределения составляющей X при Y = yj

называется закон распределения случайной величины X при условии, что случайная величина Y приняла определенное значение yj, то есть совокупность условных вероятностей: p(x1/yj), p(x2/yj), …, p(xn/yj), вычисленных в предположении, что событие Y = yj уже наступило.

Аналогично определяется условное распределение составляющей Y. Зная закон распределения двумерной случайной величины, можно определить условные законы распределения составляющих по формулам:

				p(xi/yj) =	pij	, p(yj/ xi) =		pij	,	(1.40)
					p j			pi
где i =1,n		, j = 1,m .
Функция распределения двумерной случайной величины
Функцией распределения системы (X,Y) называется функция										F(x, y) ,
равная вероятности совместного						выполнения		неравенств X < x, Y < y, то
есть
				F(x, y)= P(X < x,Y < y).						(1.41)

Y

y

x

0

Рисунок 1.11

Геометрически функция распределения представляет собой вероятность попадания случайной точки в бесконечный квадрат плоскости с вершиной в точке (x, y),

Xрасположенный левее и ниже этой вершины

(рисунок 1.11).

Свойства функции распределения

19

двумерной случайной величины аналогичны свойствам функции распределения F(x):

1)0 ≤ F(x, y) ≤ 1.

2)F(x, y) – неубывающая функция по каждому аргументу.

3)F(–∞, y) = F(x, –∞) = F(–∞,–∞) = 0, F(+∞,+∞) = 1.

4)F(x, +∞) = F1(x) - закон распределения случайной величины X; F(+∞, y) = F2(y) - закон распределения случайной величины Y.

5)P(a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d) = F(b, d) – F(a, d) – F(b, c) + F(a, c).

Понятие непрерывного случайного вектора. Плотность распределения

Если компоненты ССВ являются непрерывными случайными величинами, то такая ССВ называется системой непрерывных случайных величин или непрерывным случайным вектором.

Плотностью распределения системы непрерывных случайных величин

является функция
f (x, y)= F //	(x, y).	(1.42)
xy

Величина f(x,y)dxdy дает вероятность попадания случайной точки в элементарный прямоугольник со сторонами dx и dy, примыкающий к точке (x,y) и геометрически равен объему элементарного параллелепипеда с основанием dxdy и высотой f(x,y).

Свойства двумерной плотности распределения:

1) F(x, y) = ∫x		∫y	f (x, y)dxdy,
	−∞ −∞
2)	f (x, y) ≥ 0,
	+∞ +∞
3)	∫ ∫ f ( x, y )dxdy =1.
	−∞ −∞
Дифференциальные функции составляющих находятся по формулам:
			f1 (x)= ∞∫ f (x, y)dy,					(1.43)
			−∞
			f2 (y)= ∞∫ f (x, y)dx .					(1.44)
			−∞
Условная дифференциальная функция						f ( x y ) составляющей X при
данном значении Y = y равна f (x y)=				f (x, y)		. Аналогично	f (y x)=	f (x, y)	.
				f2 (y)
								f1 (x)

1.6.2 Коррелированность и зависимость случайных величин

Особую роль при исследовании двух случайных величин играет второй смешанный центральный момент µ11 , который называется корреляционным моментом.

20

Корреляционным моментом (ковариацией) kxy случайных величин X и Y

называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий, то есть

kxy = µ11 = M [(X −mx )(Y −my )].

(1.45)

Напомним, что случайные величины X, Y называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какое значение приняла другая величина.

Для непрерывных случайных величин условие независимости X от Y

может быть записано в виде
f (x y)= f1 (x).	(1.46)
Теорема 3. Для того чтобы непрерывные случайные величины были
независимы, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
f (x, y)= f1 (x) f2 (y).	(1.47)

Теорема 4. Если случайные величины X и Y независимы, то корреляционный момент равен нулю, то есть kxy = 0. Обратное в общем случае неверно.

Теорема 5. Корреляционный момент случайных величин X и Y по абсолютной величине не превышает произведения их средних квадратических отклонений, то есть | kxy | ≤ σxσy.

Так как корреляционный момент – величина размерная, ее размерность определяется размерностью произведения размерностей случайных величин, то чаще используют безразмерную числовую характеристику – коэффициент корреляции.

Коэффициентом корреляции ρxy случайных величин X и Y называется отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений, то есть

ρxy =	kxy				.	(1.48)
	σ		σ
		x		y
Очевидно, что коэффициент				корреляции независимых		случайных

величин равен нулю, то есть ρxy = 0.

Теорема 6. Коэффициент корреляции случайных величин X и Y по абсолютной величине не превышает единицы, то есть | ρxy | ≤ 1.

Теорема 7. Если | ρxy | = 1, то между случайными величинами X и Y существует линейная функциональная зависимость Y = aX + b.

Таким образом, если ρxy ≠ 0, то в зависимости случайных величин X и Y есть линейная составляющая, причем тем в большей степени, чем ближе |ρxy | к 1, то есть корреляционный момент и коэффициент корреляции характеризуют степень тесноты линейной зависимости между двумя случайными величинами.

Случайные величины X и Y называются коррелированными, если ρxy ≠ 0

и некоррелированными, если ρxy = 0.