математика / Matematika_Kursovaya_rabota

51

	T = N − 2	rxy	.
		1 − r2
		xy

При справедливости гипотезы H0: ρху = 0 случайная величина T имеет распределение Стьюдента с τ = N –2 степенями свободы.

Рассматриваемой выборке соответствует наблюдаемое значение критерия T, равное Tнабл=22,77.

Для уровня значимости α=0,05 и числа степеней свободы τ=48–2=46 найдем критическое значение из таблицы критических точек распределения Стьюдента Ткр = t(α, τ) = t(0,05, 46) = 2,02.

Так как |Тнабл | > Ткр, то есть |22,77| > 2,02, то нет оснований принимать гипотезу H0 о некоррелированности величин X и Y. Это означает, что

выборочный коэффициент корреляции rxy значимо отличается от нуля, а X и Y коррелированны.

3 Проведем регрессионный анализ, в результате чего построим регрессионную модель зависимости Y от X, то есть построим эмпирическую линию регрессии ŷ.

	3.1 Найдем средние значения y			1	n		и заполним столбец 9
		i	=		∑i y	ik
				n
					k=1
				i

таблицы 3.5. Величины уi используются для построения диаграммы рассеяния. В прямоугольной системе координат ХОY нанесем точки (хi, yik), а также отметим усредненные точки (хi, yi) в виде крестика (Рисунок 3.2).

3.2 По виду диаграммы рассеяния и результатам корреляционного анализа выбираем линейную полиномиальную модель функции регрессии первого порядка

ŷ(x,а0,а1) = а0 + а1х.

Оценку параметров а0, а1 найдем по методу наименьших квадратов воспользовавшись формулами

	n	− xв )( yi − yв )			n
	∑( xi				∑( xi − xв )yi	= 0,20 , a0 = yв −a1xв =5,30 .
a =	i=1			=	i=1
	n				n
1
	∑(xi − xв )2				∑(xi − xв )2
	i=1				i=1

При выполнении расчетов заполним столбцы 10, 11 таблицы 3.5. В результате получаем а1 = 0,20, а0 = 5,30. Модель функции регрессии имеет вид

ŷ(x,а0,а1) = 5,30 + 0,20х.

3.3 На диаграмме рассеяния построим график функции регрессии, то есть эмпирическую линию регрессии для этого выберем два значения из столбца 12.

4 Проверим построенную модель на адекватность (соответствие) выборочным данным, для этого вычислим независимые несмещенные оценки дисперсий:

		1	n		4	12		,
S12	=		∑ni ( yi − y( xi ))2 =			∑( yi − y( xi ))2
		n − m −1 i=1			10 i=1

52

			1		n ni	1	12 4
	S22	=			∑∑( yik − yi )2 =		∑∑( yik − yi )2 ,
			n	−n		36
					= =		= =
			∑ i		i 1 k 1		i 1 k 1

i=1

где m – порядок полиномиальной модели.

При выполнении расчетов заполним столбцы 13–16. Если расчеты для нахождения коэффициентов регрессионной модели выполнены верно, то сумма столбца 13 должна быть близка к нулю.

Находим S12 =

83,40

= 8,340

, S22 =

63,458

=1,763.

36

2

10

S

Величина F =

S 2

(если

S12 > S22 ) или

F =

(если S22 > S12 ) имеет

1

2

S22

S12

распределение Фишера-Снедекора соответственно с τ1, τ2 или τ2, τ1 степенями

				n
свободы, где τ1 = n–m–1=12–1–1=10, τ2				= ∑ni – n =48–12=36. Вычислим
наблюдаемое значение				i=1
		S 2
				8,340
F	=	1	=		= 4,73 .
		S22
набл				1,763

Для уровня значимости α=0,05 и чисел степеней свободы τ1=10, τ2=36 найдем критическое значение из таблицы “Критические точки распределения Фишера-Снедекора”

Fкр(α, τ1, τ2) = Fкр(0,05, 10, 36) = 2,11.

Так как Fнабл > Fкр, то есть 4,73 > 2,11, то на заданном уровне значимости α=0,05 построенную модель ŷ = 5,30 + 0,20х следует считать

неадекватной выборочным данным.

5 Для адекватной модели целесообразно построить доверительную область, которая с заданной надежностью 1–α покрывает истинную линию регрессии. С этой целью для каждого значения хi вычислим величину ∆i по формуле:

∆i = t( α,n−2 ) S y	1	+	n( xi − xв )2	,
	n		∑( xi − xв )2
			i=1

где t(α, n–2)– критическое значение распределения Стьюдента для уровня значимости α и числа степеней свободы τ = n – 2.

Выберем α = 0,05 и найдем t(0,05, 10)=2,23. Вычислив S y = S12 =1,44 , получаем

∆i = 2,23 1,44	1	+	( xi −58,95 )2 .
	12		9912,83

Заполним столбец 17 таблицы 3.5 и построим доверительную область, соединив плавной линией левые и правые границы доверительных интервалов для условных математических ожиданий ( ŷ(xi) – ∆i, ŷ(xi) + ∆i ).

53

Рисунок 3.2 – Диаграмма рассеяния

54

Таблица 3.5

	N	xi	yik	x − x		( x − x )2		y − y	в	( y − y	в	)2	( xi − xв )( yik − yв )
				i	в	i	в	ik		ik
	1	2	3	4			5	6		7			8
			6,1					-11,25		126,52			514,59
	1	13,2	6,5	-45,75		2093,06		-10,85		117,68			496,29
			7,3					-10,05		100,96			459,69
			6,8					-10,55		111,26			482,57
			9,3					-8,05		64,77			294,96
	2	22,3	10,3	-36,65		1343,22		-7,05		49,67			258,31
			9,8					-7,55		56,97			276,63
			8,3					-9,05		81,86			331,61
			11,4					-5,95		35,38			175,17
	3	29,5	10,2	-29,45		867,30		-7,15		51,09			210,51
			9,1					-8,25		68,03			242,90
			11					-6,35		40,30			186,95
			13,5					-3,85		14,81			79,84
	4	38,2	11,5	-20,75		430,56		-5,85		34,20			121,34
			13,9					-3,45		11,89			71,54
			14,8					-2,55		6,49			52,87
			18,7					1,35		1,83			-16,43
	5	46,8	15,2	-12,15		147,62		-2,15		4,61			26,10
			18,4					1,05		1,11			-12,78
			15,5					-1,85		3,41			22,45
			16,5					-0,85		0,72			3,26
	6	55,1	17,9	-3,85		14,82		0,55		0,30			-2,13
			16,9					-0,45		0,20			1,72
			15					-2,35		5,51			9,04
			19,8					2,45		6,01			6,99
	7	61,8	18,3	2,85			8,12	0,95		0,91			2,71
			17,5					0,15		0,02			0,43
			18,9					1,55		2,41			4,42
			20,1					2,75		7,57			35,09
	8	71,7	16,8	12,75		162,56		-0,55		0,30			-6,99
			19,8					2,45		6,01			31,26
			21,7					4,35		18,94			55,49
			25,7					8,35		69,76			171,64
	9	79,5	23,5	20,55		422,30		6,15		37,85			126,43
			24,1					6,75		45,59			138,76
			23,1					5,75		33,09			118,21
			21,9					4,55		20,72			124,95
	10	86,4	23,3	27,45		753,50		5,95		35,43			163,38
			22,1					4,75		22,58			130,44
			22,8					5,45		29,73			149,66
			27					9,65		93,16			358,57
	11	96,1	23,3	37,15		1380,12		5,95		35,43			221,12
			26,7					9,35		87,46			347,43
			23,9					6,55		42,93			243,41
			24,3					6,95		48,33			332,66
	12	106,8	23,1	47,85		2289,62		5,75		33,09			275,24
			24,7					7,35		54,05			351,80
			26,4					9,05		81,94			433,14
	Σ	707,4	832,7	0,00		9912,83		0,00		1802,88			8103,26

55

	yi	yi − yв	( xi − xв )( yi − yв )	ŷi	yi –ŷ(xi)	(yi –ŷ(xi))2	yik–yi	(yik–yi )2	∆i
	9	10	11	12	13	14	15	16	17
							-0,58	0,331
	6,68	-10,67	488,29	8,00	-1,32	1,75	-0,18	0,031	1,75
							0,63	0,391
							0,13	0,016
							-0,13	0,016
	9,43	-7,92	290,37	9,86	-0,43	0,19	0,88	0,766	1,51
							0,38	0,141
							-1,13	1,266
							0,98	0,951
	10,43	-6,92	203,88	11,33	-0,90	0,82	-0,23	0,051	1,33
							-1,33	1,756
							0,57	0,331
							0,08	0,006
	13,43	-3,92	81,40	13,11	0,32	0,10	-1,93	3,706	1,15
							0,48	0,226
							1,38	1,891
							1,75	3,063
	16,95	-0,40	4,83	14,86	2,09	4,35	-1,75	3,063	1,01
							1,45	2,103
							-1,45	2,103
							-0,07	0,006
	16,58	-0,77	2,98	16,56	0,01	0,0001	1,33	1,756	0,94
							0,32	0,106
							-1,58	2,481
							1,18	1,381
	18,63	1,28	3,64	17,93	0,69	0,48	-0,32	0,106	0,93
							-1,13	1,266
							0,27	0,076
							0,50	0,250
	19,60	2,25	28,71	19,95	-0,35	0,12	-2,80	7,840	1,02
							0,20	0,040
							2,10	4,410
							1,60	2,560
	24,10	6,75	138,76	21,55	2,55	6,51	-0,60	0,360	1,14
							0,00	0,000
							-1,00	1,000
							-0,63	0,391
	22,53	5,18	142,11	22,96	-0,43	0,19	0,78	0,601	1,29
							-0,43	0,181
							0,27	0,076
							1,78	3,151
	25,23	7,88	292,63	24,94	0,29	0,08	-1,93	3,706	1,52
							1,48	2,176
							-1,33	1,756
							-0,32	0,106
	24,63	7,28	348,21	27,13	-2,50	6,26	-1,53	2,326	1,81
							0,07	0,006
							1,78	3,151
	208,18	0,00	2025,81		0,00	20,85	0,00	63,458

56

Анализ результатов задачи 2

Входе выполнения задачи 2 получены следующие результаты:

1)проведен корреляционный анализ, в результате которого показано, что величины Х и Y коррелированны. Данный результат указывает на то, что в зависимости между величинами Х и Y имеется линейная составляющая;

2)проведен регрессионный анализ, в результате которого выбрана линейная полиномиальная модель первого порядка, с помощью метода наименьших квадратов оценены параметры модели функции регрессии, а затем она построена на диаграмме рассеяния;

3)для данной модели построена доверительная область прогноза Y с доверительной вероятностью 0,95.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Вданной курсовой работе рассмотрены следующие вопросы:

1)формирование гипотезы о виде закона распределения исследуемой случайной величины;

2)выбор статистического критерия, определение наблюдаемого значения критерия и принятие решения относительно выдвинутой гипотезы;

3)построение доверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной исследуемой случайной величины с доверительной вероятностью 0,95.

4)проведение корреляционного и регрессионного анализа по выборочным данным;

5)построение линейной полиномиальной модели регрессии первого порядка и осуществление ее проверки на адекватность результатам наблюдений на уровне значимости 0,05;

6)построение доверительной области для прогноза Y с доверительной вероятностью 0,95.

57

ПриложениеA

Пример оформления курсовой работы

РЯЗАНСКИЙ ВОЕННЫЙ АВТОМОБИЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ ГЕНЕРАЛА АРМИИ В.П.ДУБЫНИНА

Кафедра математического обеспечения процессов автотехнического обеспечения

КУРСОВАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Выполнил курсант 12 роты 1 взвода ___________ А.Н. Петров

«___»__________2007 г. подпись

Проверил преподаватель	____________________ Л.Б. Михеева
«___»__________2007	г.	подпись

2007

58

Содержание

				КР07МО.01.01.005
Изм. Лист	№ докум.	Подп. Дата
Разраб.	Петров А.Н.			Лит	Лист	Листов
Пров.	Михеева Л.Б.			Математическая		26
Реценз.						РВАИ
Н. контр.				статистика

Утв.

59

Введение

		КР07МО.01.01.005	Лист
			3
Изм. Лист № докум.	Подпись Дата