математика / Matematika_Kursovaya_rabota

41

3 ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ

Задача 1

Получены результаты измерений некоторой величины (например, диаметра шейки коленчатого вала, поступившего в ремонт, или времени ремонта агрегата и т. п.). Построить гистограмму. Выбрать закон распределения, подходящий для описания результатов измерений. Вычислить выборочные характеристики: среднее значение, среднее квадратичное отклонение, асимметрию и эксцесс. Проверить гипотезу о соответствии предполагаемого закона распределения табличным данным. Построить доверительный интервал для математического ожидания генеральной совокупности.

19,4	19,0	20,2	19,3	17,8	20,4	19,0	19,6	23,1	21,5	23,2	18,6
16,7	19,2	20,9	22,2	20,7	19,9	21,6	17,7	18,3	20,0	20,1	20,3
21,1	21,4	19,7	17,1	21,3	20,9	20,7	18,6	17,8	21,6	22,5	20,3
23,6	19,4	19,7	22,2	19,3	21,1	21,3	17,9	19,3	22,7	17,6	21,4
18,4	20,3	19,7	21,9	20,4	20,9	22,5	20,0	23,3	20,1	22,2	19,3

Решение 1 Выполним первичную обработку данных, для этого определим объем

выборки n, запишем данные в порядке возрастания и определим наименьшее

xmin и наибольшее xmax значения наблюдаемой случайной величины X:												22,7
16,7	17,8	18,6	19,3	19,6		20,0	20,3	20,7	21,1	21,4	22,2
17,1	17,9	19,0	19,3	19,7		20,0	20,3	20,7	21,1	21,5	22,2	23,1
17,6	18,3	19,0	19,3	19,7		20,1	20,3	20,9	21,3	21,6	22,2	23,2
17,7	18,4	19,2	19,4	19,7		20,1	20,4	20,9	21,3	21,6	22,5	23,3
17,8	18,6	19,3	19,4	19,9		20,2	20,4	20,9	21,4	21,9	22,5	23,6
	n = 60, xmin = 16,7, xmax = 23,6.
	2 Для построения гистограммы диапазон значений выборки разобьем
на l интервалов длиной h= hi, где
					l ≥3.32lg n +1, l = 7,
			h	=	xmax − xmin		,	hi = 0,99.
			i			l

А также определим значения эмпирических частот ni (частоты попадания значений выборки в интервалы) и заполним таблицу 3.1. Таблица 3.1

	Номер интервала			1	2	3	4	5	6	7
	Границы интервалов			16,7	17,69	18,68	19,67	20,66	21,65	22,64
				17,69	18,68	19,67	20,66	21,65	22,64	23,6
	Эмпирические			3	8	10	14	14	6	5
	частоты ni
		ni		3,03	8,08	10,10	14,14	14,14	6,06	5,05
		hi

42

3 Построим гистограмму частот, используя данные таблицы 3.1 (рисунок 3.1).

14,14
10,1
8,08
6,06			14	14
5,05
3,03		10
		8			6
						5
	3
16,7	17,69	18,68	19,67	20,66	21,65	22,64	23,6	xi

Рисунок 3.1 4 Найдем оценки числовых характеристик.

–Оценка математического ожидания:

~

1 n

m = xв = n i∑=1xi ,

–Оценка среднего квадратического отклонения:

σ~ = S =

1 ∑(x

− x )2 ,

n

x

x

i в

n −1

i=1

–

Оценка асимметрии:

n

)3

∑(x − x

в

~

i

i=1

A

= a

s

=

,

s

n Sx3

–

Оценка эксцесса:

n

)4

∑( x − x

в

~

i

i=1

Ek = ek =

−3,

4

n Sx

xв = 20,27 .

Sx =1,64 .

as = −0,01.

ek = −0,65 .

43

5 По виду гистограммы и с учетом полученных оценок числовых характеристик выдвигаем гипотезу H0: исследуемая величина Х распределена по нормальному закону.

6 Проверим выдвинутую гипотезу с помощью критерия согласия χ2

Пирсона.

6.1 Интервалы, где эмпирические частоты ni < 5 объединим с соседними (число полученных интервалов обозначим через m) и заполним первые три строки таблицы 3.2.

Таблица 3.2

Номер интервала			1	2	3		4	5	6	Σ
Границы интервалов			– ∞	18,68	19,67		20,66	21,65	22,64
			18,68	19,67	20,66		21,65	22,64	+ ∞
Эмпирические			11	10	14		14	6	5	60
частоты ni
Теоретические			9,96	11,38	14,35		12,28	7,62	4,41	60
частоты ni′
	ni − ni′		1,04	–1,38	0,35		1,72	–1,62	0,59
	(ni − ni′)2		0,11	0,17	0,009		0,24	0,34	0,08	0,95
	ni′
6.2 Вычислим			теоретические		частоты		ni′	попадания случайной

величины в полученные интервалы.

При определении теоретических частот считается, что теоретические параметры распределения равны их эмпирическим оценкам. Кроме этого необходимо учитывать теоретический интервал значений случайной величины при предполагаемом законе распределения. Для нормального распределения левая граница первого интервала равна – ∞, правая граница последнего интервала равна + ∞. Теоретические частоты для i-го интервала определяются в соответствии с соотношением:

ni′ = pi n ,

где рi – вероятность попадания теоретической (предполагаемой) случайной величины X в i-й интервал. Для нормального распределения

где Ф(x)= 21π

p = P( x < X ≤ x					) = Φ(	xi+1 − xв	) −Φ(	xi − xв	),
	i		i	i+1		Sx		Sx
x	−	t 2
∫e		2 dt – нормированная функция Лапласа.
0

Найдем вероятности pi попадания случайной величины X в i–й интервал, теоретические частоты ni′ и заполним остальные строки

таблицы 3.2.

			44
p1		18,68 − 20,27			−∞ − 20,27		=Ф(−0,97)−
	= P(−∞ < X ≤18,68)=Ф	1,64		−Ф	1,64

−Ф(−∞)= −0,3340 + 0,5 = 0,1660;
n1′ = p1 n = 0,1660 60 = 9,96 .
p2	19,67 − 20,27				18,68 − 20,27				=Ф(−0,37)−
	= P(18,68 < X ≤19,67)=Ф	1,64			−Ф	1,64
−Ф(−0,97)= −0,1443 + 0,3340 = 0,1897;
n2′	= p2 n = 0,1897 60 =11,38 .
p3		20,66 − 20,27				19,67 − 20,27				=Ф(0,24)−
	= P(19,67 < X ≤ 20,66)=Ф	1,64			−Ф	1,64
−Ф(−0,37)= 0,0948 + 0,1443 = 0,2391;
n3′ = p3 n = 0,2391 60 =14,35.
p4		21,65 − 20,27				20,66 − 20,27				=Ф(0,84)−
	= P(20,66 < X ≤ 21,65)=Ф	1,64			−Ф	1,64
−Ф(0,24)= 0,2995 −0,0948 = 0,2047;
n4′	= p4 n = 0,2047 60 =12,28.
p5		22,64 − 20,27				21,65 − 20,27				==Ф(1,45)−
	= P(21,65 < X ≤ 22,64)=Ф	1,64			−Ф	1,64

−Ф(0,84)= 0,4265 −0,2995 = 0,1270; n5′ = p5 n = 0,1270 60 = 7,62 .

p6	= P(22,64	+ ∞ − 20,27				22,64 − 20,27		=Ф(+ ∞)−
		< X ≤ +∞)=Ф	1,64		−Ф	1,64

−Ф(1,45)= 0,5 −0,4265 = 0,0735; n6′ = p6 n = 0,0735 60 = 4,41.

6

Проверим ∑ pi ≈1,0000.

i=0

6.3 Вычислим наблюдаемое значение критерия как сумму последней строки таблицы 3.2:

χнабл2	m	(n	− n'	)2
	= ∑	i	i	= 0,95 .
	i=1		n'i

6.4 Определим число степеней свободы критерия

τ = m–r–1,

где r – число параметров распределения, определенных по данной выборке;

m – число интервалов после объединения.

= 0,42 .

45

τ = 6–2–1=3.

6.5 По таблице критических точек распределения χ2 найдем

χкр2 (α;τ ):

χкр2 (α;τ ) = χкр2 ( 0,05;3 ) = 7,82 ,

где α=0,05 – уровень значимости.

6.6 Так как χнабл2 < χкр2 , то нет оснований отвергать гипотезу H0: случайная величина Х распределена нормально, то есть на уровне значимости α=0,05 гипотеза принимается.

7 Построим доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины Х.

При неизвестном σx доверительный интервал имеет вид: xв −t( γ ,n−1 ) Snx < mx < xв + t(γ ,n−1) Snx ,

где δ = t( γ ,n−1 ) Snx – точность оценки;

t(γ, n–1) – значение, определяемое по таблице распределения Стьюдента в зависимости от надежности оценки γ и числа степеней свободы τ = n–1.

t(γ, n–1) = t(0,95, 59) = 2,00, δ = 2,00 1,6460

Доверительный интервал для математического ожидания: 20,27–0,42 < mx < 20,27+0,42

19,85 < mx < 20,69.

Анализ результатов задачи 1

Входе выполнения задачи 1 получены следующие результаты:

1)по виду построенной гистограммы выдвинута гипотеза о нормальном распределении случайной величины Х, заданной выборкой объема n=60; полученные оценки асимметрии и эксцесса указали в пользу сделанного предположения;

2)с помощью критерия согласия Пирсона осуществлена проверка выдвинутой гипотезы – результаты выборки на принятом уровне

значимости α=0,05 согласуются с гипотезой о нормальном законе распределения случайной величины Х;

3) построен доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины при неизвестном σх.

Рассмотрим процедуру проверки гипотезы H0: исследуемая величина Х распределена по показательному закону.

При определении теоретических частот необходимо учитывать, что для экспоненциального распределения левая граница первого интервала равна 0,

46

правая граница последнего интервала равна + ∞. Вероятность рi попадания случайной величины X в i-й интервал определяется по формуле

			−	xi	−	xi+1
р = Р( x < X ≤ x			) = e xв		−e xв .
i	i	i+1

Найдем вероятности pi попадания случайной величины X в i-й интервал, теоретические частоты ni′ и заполним таблицу 3.3.

p = P(0 < X ≤18,68)= e−	0		−e−
	20,27
1
n1′ = p1 n = 0,6021 60 = 36,13.

−18,68

p2 = P(18,68 < X ≤19,67)= e 20,27 = 0,0198;

n2′ = p2 n = 0,0198 60 =1,14 .

p3 = P(19,67 < X ≤ 20,66)= e−	19,67
	20,27
= 0,0180;
n3′ = p3 n = 0,0180 60 =1,08.
p4 = P(20,66 < X ≤ 21,65)= e−	20,66
			20,27
= 0,0172;
n4′ = p4 n = 0,0172 60 =1,03.
p5 = P(21,65 < X ≤ 22,64)= e−	21,65
		20,27
= 0,0164;
n5′ = p5 n = 0,0164 60 = 0,98 .

−22,64

p6 = P(22,64 < X ≤ +∞)= e 20,27 − n6′ = p6 n = 0,3273 60 =19,64 .

18,68

20,27 = e0 −e−0,92 =1 −0,3979 = 0,6021;

−e−1920,,6727 = e−0,92 −e−0,97 = 0,3979 −0,3789 =

−e−2020,,6627 = e−0,97 −e−1,02 = 0,3789 −0,3609 =

−e−2021,,6527 = e−1,02 −e−1,07 = 0,3609 −0,3437 =

−e−2022,,6427 = e−1,07 −e−1,12 = 0,3437 −0,3273 =

− ∞

e 20,27 = e−1,12 −e−∞ = 0,3273 −0 = 0,3273;

6

Проверим ∑ pi ≈1,0000.

i=0

47

Таблица 3.3

Номер интервала				1		2			3		4		5	6	Σ
	Границы			0	18,68				19,67		20,66		21,65	22,64
интервалов				18,68	19,67				20,66		21,65		22,64	+ ∞
Эмпирические				11		10			14		14		6	5	60
частоты ni
Теоретические				36,13		1,14			1,08		1,03		0,98	19,64	60
частоты ni′
	ni − ni′			-25,13		8,86			12,92		12,97		5,02	14,64
	′	2
	(ni − ni )			17,48	68,86				154,56		163,32		25,71	10,91	440,85
	ni′
	Вычислим			наблюдаемое	значение критерия как сумму последней
строки таблицы 3.3:							(n			)2
				χнабл2		m			− n'		= 440,85 .
						= ∑		i	i
						i=1			n'i

Определим число степеней свободы критерия τ = 6–1–1=4.

По таблице критических точек распределения χ2 находим χкр2 (α;τ ):

χкр2 (α;τ ) = χкр2 ( 0,05;4 ) = 9,49 ,

где α=0,05 – уровень значимости.

Так как χнабл2 > χкр2 , то выборка не согласуется с гипотезой H0: случайная величина Х имеет экспоненциальный закон распределения, то есть на уровне значимости α=0,05 гипотеза отвергается.

Рассмотрим процедуру проверки гипотезы H0: исследуемая величина Х распределена по равномерному закону. При определении теоретических

частот необходимо учитывать, что для равномерного распределения оценки
		~	~
параметров a			и b определяются в соответствии с выражениями:
			~	~				~		~	′, xmax },
~ '	~ '		a	= min{a	′, xmin };b				= max{b
		– результаты решения системы
где a	, b
						~′		~′
				xв	= a			+b
								2		,
						~	′	~	′
					=	b		− a
				Sx		2		3

где xmin ,xmax – соответственно наименьшая и наибольшая варианты выборки.

В нашем случае		~′		~′
20,27	=	a	+b
			2
	~		~	′
1,64 = b ′− a
	2		3

		~′	~′
40,54		= a	+b
		~′	~′
	5,68
		= b	− a

~	′ =17,43
a
~	.
b	′ = 23,11

48

Вероятность рi попадания случайной величины X в i-й интервал

определяется по формуле											xi +1			− xi
			р =		Р( x < X ≤ x				) =									,
														~
			i		i			i +1			~
~							~					b − a
где a = min{17,43;16,70}=16,70; b = max{23,11; 23,60}= 23,60 .
	Найдем вероятности pi попадания случайной величины X в i-й
интервал, теоретические частоты ni′									и заполним таблицу 3.4.
p = P(16,70 < X ≤18,68)=						18,68 −16,70				=		1,98				= 0,2870;
1						23,60 −16,70					6,90
n1′ = p1 n = 0,2870 60 =17,22 .
p2 = P(18,68 < X ≤19,67)=							19,67 −18,68 =						0,99				= 0,1435;
							23,60 −16,70						6,90
n2′ = p2 n = 0,1435 60 =8,61.
p3 = P(19,67 < X ≤ 20,66)=							20,66 −19,67				=		0,99				= 0,1435;
							23,60 −16,70						6,90
n3′ = p3 n = 0,1435 60 = 8,61.
p4 = P(20,66 < X ≤ 21,65)=							21,65 − 20,66				=		0,99				= 0,1435;
							23,60 −16,70						6,90
n4′ = p4 n = 0,1435 60 = 8,61.
p5 = P(21,65 < X ≤ 22,64)=							22,64 − 21,65				=		0,99				= 0,1435;
							23,60 −16,70						6,90
n5′ = p5 n = 0,1435 60 = 8,61.
p6 = P(22,64 < X ≤ 23,60)=							23,60 − 22,64				= 0,99 = 0,1435;
							23,60 −16,70						6,90
n6′ = p6 n = 0,1435 60 = 8,61.
		6			≈1,0043 .
	Проверим ∑ pi
Таблица 3.4			i=0
Номер интервала					1			2			3						4		5	6	Σ
	Границы				16,70			18,68	19,67								20,66		21,65	22,64
интервалов					18,68			19,67	20,66								21,65		22,64	23,60
Эмпирические					11			10	14								14		6	5	60
частоты ni
Теоретические					17,22			8,61	8,61								8,61		8,61	8,61	60,27
частоты ni′
	ni − ni′				-6,22			1,39	5,39								5,39		-2,61	-3,61	-0,26
	′	2
	(ni − ni )				2,25			0,22	3,37								3,37		0,79	1,51	11,52
	ni′

49

Вычислим наблюдаемое значение критерия как сумму последней строки таблицы 3.4:

χнабл2	m	(n	− n'	)2
	= ∑	i	i	=11,52 .
	i=1		n'i

Определим число степеней свободы критерия τ = 6–2–1=3.

По таблице критических точек распределения χ2 находим χкр2 (α;τ ):

χкр2 (α;τ ) = χкр2 ( 0,05;3 ) = 7,82 ,

где α=0,05 – уровень значимости.

Так как χнабл2 > χкр2 , то выборка не согласуется с гипотезой H0: случайная величина Х имеет равномерный закон распределения, то есть на уровне значимости α=0,05 гипотеза отвергается.

50

Задача 2

Известны результаты наблюдений зависимости случайной величины Y от неслучайной величины Х. Подобрать линейную зависимость Y=F(X) методом наименьших квадратов. Изобразить ее графически вместе с экспериментальными точками. Оценить адекватность ее результатам наблюдений. Построить на графике доверительный интервал для прогноза Y с доверительной вероятностью Р=0,95.

xi	13,20	29,5	22,3	38,2	46,8	55,1	61,8	71,7	79,5	86,4	96,1	106,8
yi1	6,1	11,4	9,3	13,5	18,7	16,5	19,8	20,1	25,7	21,9	27	24,3
yi2	6,5	10,2	10,3	11,5	15,2	17,9	18,3	16,8	23,5	23,3	23,3	23,1
yi3	7,3	9,1	9,8	13,9	18,4	16,9	17,5	19,8	24,1	22,1	26,7	24,7
yi4	6,8	11	8,3	14,8	15,5	15	18,9	21,7	23,1	22,8	23,9	26,4

Решение 1 Выполним первичную обработку данных, для этого заполним

столбцы 1,2,3 таблицы 3.5, упорядочив при необходимости значения xi и переставив соответствующие строки. Найдем выборочные средние для случайных величин Х, Y по формулам

1

n

1

12

1 n

ni

1

12 4

x

=

∑x =

∑x

=58,95

; y

в

=

∑ ∑ y

ik

=

∑ ∑ y

=17,35 .

в

n i =1

i

12 i =1

i

N i =1k =1

48 i =1k =1

ik

2 Проведем корреляционный анализ.

2.1 Найдем выборочный коэффициент корреляции по формуле

n

ni

− x

)( y

− y

)

1

∑ ∑( x

i

в

ik

в

rxy =

i=1k =1

, где

Sx S y

S =

N

=

4

∑(x

− x )2

=

1

∑(x

− x )2 = 28,74;

1

∑n (x − x )2

n

12

12

x

N i =1 i

i

в

48 i =1

i

в

12 i =1

i

в

S y =

1

n ni

)2 =

1

12

4

∑ ∑( yik − yв

∑ ∑( yik − yв )2 = 6,13 .

N i =1k =1

48 i =1k =1

Для выполнения расчетов заполним столбцы 4, 5, 6, 7, 8 таблицы 3.5. Если расчеты выполнены правильно, то суммы столбцов 4, 6 должны быть близки к нулю. Получаем

n ni	, rxy=0,96.
∑ ∑( xi − xв )( yik − yв ) = 8103,26
i=1k=1

2.2 Поскольку выборочная оценка rху – величина случайная, то из того, что выборочный коэффициент корреляции rxy отличен от нуля, нельзя заключить, что коэффициент корреляции ρxy также отличен от нуля. В связи с этим, чтобы определить, являются ли величины X и Y коррелированными или нет, проверим гипотезу о некоррелированности X и Y (H0: ρху = 0) при конкурирующей гипотезе H1: ρху ≠ 0 на заданном уровне значимости α. Для проверки такой гипотезы используют статистический критерий