5.4 Задания для самостоятельного выполнения

5.5 Контрольные вопросы

1. На какие два основные виде делятся системы массового обслуживания? Охарактеризуйте каждый из них. Приведите примеры СМО.

2. Какими параметрами характеризуется любая СМО? Выполнение каких требований предполагается при ее моделировании?

3. Чем характеризуется каждое из состояний системы? Как определить число состояний?

4. Какой величиной характеризуется каждый из переходов? Как ее найти?

5. Что показывает вероятность состояния? Почему сумма вероятностей состояний должна быть равна 1?

6 Практическая работа «Принятие решений в условиях определенности»

В теории принятия решений используются "разумные" процедуры выбора наилучшей из нескольких возможных альтернатив. Насколько правильным будет выбор, зависит от качества данных, используемых при описании ситуации, в которой принимается решение. С этой точки зрения процесс принятия решений может принадлежать к одному из трех возможных условий.

1. Принятие решений в условиях определенности, когда данные известны точно.

2. Принятие решений в условиях риска, когда данные можно описать с помощью вероятностных распределений.

3. Принятие решений в условиях неопределенности, когда данным нельзя приписать относительные веса (весовые коэффициенты), которые представляли бы степень их значимости в процессе принятия решений.

Принятие решений в условиях неопределенности, когда данным нельзя приписать относительные веса (весовые коэффициенты), которые представляли бы степень их значимости в процессе принятия решений.

   

Со следующего шага мы начнем рассматривать принятие решений в условиях определенности.

Принятие решений в условиях определенности - метод анализа иерархий

   

1. На этом шаге мы рассмотрим метод анализа иерархий.

На этом шаге рассматривается иной подход к принятию решений в ситуациях, когда, например, для идей, чувств, эмоций определяются некоторые количественные показатели, обеспечивающие числовую шкалу предпочтений для возможных альтернативных решений. Этот подход известен как метод анализа иерархий.

Перед тем как изложить детали данного метода, рассмотрим пример, демонстрирующий способ, с помощью которого оцениваются различные альтернативные решения.

    Пример. Мартин Ганс — выпускник-отличник средней школы, который получил полную стипендию от трех университетов: А, В и С. Для того чтобы выбрать университет, Мартин сформулировал два основных критерия: местонахождение университета и его академическая репутация. Будучи отличным учеником, он оценивает академическую репутацию университета в пять раз выше, чем его местонахождение. Это приводит к тому, что репутации университета приписывается вес примерно 83%, а его местонахождению— 17%. Далее Мартин использует системный анализ для оценки трех университетов с точки зрения их местонахождения и репутации. Проведенный анализ дает следующие оценки.

Таблица 1. Оценки, полученные путем системного анализа
Университет	Критерии
	A	B	C
Местонахождение	12,9%	27,7%	59,4%
Репутация	54,5%	27,3%	18,2%

Структура задачи принятия решений приведена на рис.1. Задача имеет единственный иерархический уровень с двумя критериями (местонахождение и репутация) и три альтернативных решения (университеты А, В и С).

Рис.1. Иерархия принятия решений

Оценка трех университетов основана на вычислении комбинированного весового коэффициента для каждого из них.

Университет А: 0,17 х 0,129 + 0,83 х 0,545 = 0,4743. Университет В: 0,17 х 0,277 + 0,83 х 0,273 = 0,2737. Университет С: 0,17 х 0,594 + 0,83 х 0,182 = 0,2520.

На основе этих вычислений университет А получает наивысший комбинированный вес и, следовательно, является наиболее оптимальным выбором Мартина.

2. На следующем шаге мы рассмотрим расширенную иерархию принятия решений.

На этом шаге мы рассмотрим расширенную иерарию принятия решений.

Общая структура метода анализа иерархий может включать несколько иерархических уровней со своими критериями.

Предположим в предыдущем примере, что сестра-близнец Мартина Джейн также получила полную стипендию от трех университетов. Однако их родители ставят условие, что дети должны учиться в одном университете, тогда они смогут пользоваться одним автомобилем.

На рис.1 приведена структура задачи выбора решения, которая теперь включает два иерархических уровня со своими критериями.

Величины р и q (предположительно равные) на первом иерархическом уровне представляют собой весовые коэффициенты, которые приписываются точке зрения Мартина и Джейн относительно процесса выбора соответственно.

Второй иерархический уровень использует веса (р₁, р₂) и (q₁, q₂) для отображения индивидуальных точек зрения Мартина и Джейн относительно критериев местонахождения и академической репутации каждого университета.

Остальная часть структуры принятия решения может быть интерпретирована аналогично предыдущему примеру. Заметим, что p + q = 1, p₁ + p₂ = 1, q₁ + q₂ = 1, p₁₁ + p₁₂ + p₁₃ = 1, p₂₁ + p₂₂ + p₂₃ = 1, q₁₁ + q₁₂ + q₁₃ = 1, q₂₁ + q₂₂ + q₂₃ = 1 комбинированного веса для университета А, представленное на рис. 1, демонстрирует, каким образом вычисляются эти показатели.

Рис.1. Расширенная иерархия принятия решений

   

Задание 1. Пусть для задачи выбора университета Мартином и Джейн установлены следующие значения весовых коэффициентов.

р=0,5, q=0,5, p₁=0,17, p₂=0,83, p₁₁=0,129, p₁₂=0,277, p₁₃=0,594, p₂₁=0,545, p₂₂=0,273, p₂₃=0,182, q₁=0,3, q₂=0,7, q₁₁=0,2, q₁₂=0,3, q₁₃=0,5, q₂₁=0,5, q₂₂=0,2, q₂₃=0,3,

    Решение

Университет А: p(p₁*p₁₁+p₂*p₂₁)+q(q₁*q₁₁+q₂*q₂₁) = 0,5(0,17*0,129+0,83*0,545)+0,5(0,3*0,2+0,7*0,5) = 0,44214

Университет B: p(p₁*p₁₂+p₂*p₂₂)+q(q₁*q₁₂+q₂*q₂₂) = 0,5(0,17*0,277+0,83*0,273)+0,5(0,3*0,3+0,7*0,2) = 0,25184

Университет C: p(p₁*p₁₃+p₂*p₂₃)+q(q₁*q₁₃+q₂*q₂₃) = 0,5(0,17*0,594+0,83*0,182)+0,5(0,3*0,5+0,7*0,3) = 0,30602

На основе этих вычислений университет А получает наивысший комбинированный вес и, следовательно, является наиболее оптимальным выбором.

3. На следующем шаге мы рассмотрим способы определения весовых коэффициентов.

На этом шаге мы рассмотрим способы определения весовых коэффициентов.

Сложность метода анализа иерархий заключается в определении относительных весовых коэффициентов для оценки альтернативных решений. Если имеется n критериев на заданном уровне иерархии, соответствующая процедура создает матрицу А размерности n, именуемую матрицей парных сравнений, которая отражает суждение лица, принимающего решение, относительно важности разных критериев. Парное сравнение выполняется таким образом, что критерий в строке i (i = 1, 2, ..., n) оценивается относительно каждого из критериев, представленных n столбцами.

    Обозначим через a_ij элемент матрицы А, находящийся на пересечении i-й строки и j-го столбца. В соответствии с методом анализа иерархий для описания упомянутых оценок используются целые числа от 1 до 9. При этом: a_ij = 1 означает, что i-й и j-й критерии одинаково важны, a_ij = 5 отражает мнение, что i-й критерий значительно важнее, чем j-й, a_ij = 9 указывает, что i-й критерий чрезвычайно важнее j-го.

    Другие промежуточные значения между 1 и 9 интерпретируются аналогично. Согласованность таких обозначений обеспечивается следующим условием: если a_ij = k, то автоматически a_ij = 1/k.

    Кроме того, все диагональные элементы a_ij матрицы А должны быть равны 1, так как они выражают оценку критериев относительно самих себя.

Пример. Покажем, как определяется матрица сравнения А для задачи выбора Мартина . Начнем с главного иерархического уровня, который имеет дело с критериями академической репутации университета и его местонахождения. С точки зрения Мартина, академическая репутация университета значительно важнее его местонахождения. Следовательно, он приписывает элементу (2, 1) матрицы А значение 5, т.е. a₂₁ = 5. Это автоматически предполагает, что a₁₂ = 1/5. Обозначив через R и L критерии репутации университета и его местонахождения, можно записать матрицу сравнения следующим образом.

Относительные веса критериев R и L могут быть определены путем деления элементов каждого столбца на сумму элементов этого же столбца. Следовательно, для нормализации матрицы А делим элементы первого столбца на величину 1 + 5 = 6, элементы второго — на величину 1 + 1/5 = 1,2. Искомые относительные веса w_R и w_L критериев вычисляются теперь в виде средних значений элементов соответствующих строк нормализованной матрицы А. Следовательно,

    В результате вычислений получили w_R = 0,83 и w_L = 0,17. Столбцы матрицы N одинаковы, что имеет место лишь в случае, когда лицо, принимающее решение, проявляет идеальную согласованность в определении элементов матрицы А. Относительные веса альтернативных решений, соответствующих университетам А, В и С, вычисляются в пределах каждого критерия R и L с использованием следующих двух матриц сравнения.

Элементы матриц А_R и А_L определены на основе суждений Мартина, касающихся относительной важности трех университетов. При делении элементов каждого столбца матриц А_R и А_L на сумму элементов этих же столбцов получаем следующие нормализованные матрицы.

Величины (w_RA, w_RB, w_RC) = (0,545, 0,273, 0,182) дают соответствующие веса для университетов А, В и С с точки зрения академической репутации.

Аналогично величины (w_LA, w_LB, w_LC) = (0,129, 0,277, 0,594) являются относительными весами, касающимися местонахождения университетов.

4. На следующем шаге мы рассмотрим согласованность матриц сравнений.

На этом шаге мы рассмотрим cогласованность матриц сравнений.

В предыдущем примере мы отмечали, что все столбцы нормализованных матриц N и N_R идентичны, а столбцы матрицы N_L таковыми не являются. Одинаковые столбцы указывают на то, что результирующие относительные веса сохраняют одно и то же значение независимо от того, как выполняется сравнение. В этом случае говорят, что исходные матрицы сравнения А и A_R, являются согласованными. Следовательно, матрица A_L не является таковой.

Согласованность означает, что решение будет согласовано с определениями парных сравнений критериев или альтернатив. С математической точки зрения согласованность матрицы А означает, что a_ija_jk = a_ik для всех i, j и k. Например, в матрице A_R из примера a₁₃ = 3 и a₁₂a₂₃ = 3. Свойство согласованности требует линейной зависимости столбцов (и строк) матрицы А. В частности, столбцы любой матрицы сравнений размерностью 2x2 являются зависимыми, и, следовательно, такая матрица всегда является согласованной.

Не все матрицы сравнений являются согласованными. Действительно, принимая во внимание, что такие матрицы строятся на основе человеческих суждений, можно ожидать некоторую степень несогласованности.

Чтобы выяснить, является ли уровень согласованности "допустимым", необходимо определить соответствующую количественную меру для матрицы сравнений А. В примере мы видели, что идеально согласованная матрица А порождает нормализованную матрицу N, в которой все столбцы одинаковы:

Отсюда следует, что матрица сравнений А может быть получена из матрицы N путем деления элементов i-го столбца на w_i (это процесс, обратный к нахождению матрицы N из А). Итак, получаем следующее.

    Используя приведенное определение матрицы А, имеем

В компактной форме условие согласованности матрицы А формулируется следующим образом. Матрица А будет согласованной тогда и только тогда, когда

где w — вектор-столбец относительных весов w_i, i = 1, 2, ..., n. Когда матрица А не является согласованной, относительный вес w_i аппроксимируется средним значением n элементов i-й строки нормализованной матрицы N. Обозначив через w вычисленную оценку (среднее значение), можно показать, что

где n_max ≥ n. В этом случае, чем ближе n_max к n, тем более согласованной является матрица сравнения А. В результате в соответствии с методом анализа иерархий вычисляется коэффициент согласованности в виде

где

- коэффициент согласованности матрицы А,

- стохастический коэффициент согласованности матрицы А.

Стохастический коэффициент согласованности RI определяется эмпирическим путем как среднее значение коэффициента CI для большой выборки генерированных случайным образом матриц сравнения А.

Коэффициент согласованности CR используется для проверки согласованности матрицы сравнения А следующим образом. Если CR < 0,1, уровень несогласованности является приемлемым. В противном случае уровень несогласованности матрицы сравнения А является высоким, и лицу, принимающему решение, рекомендуется проверить элементы парного сравнения a_ij матрицы А в целях получения более согласованной матрицы.

Значение n_max вычисляется на основе матричного уравнения при этом нетрудно заметить, что i-e уравнение этой системы имеет вид:

Поскольку легко проверить, что

Это значит, что величину n_max можно определить путем вычисления вектор-столбца Aw с последующим суммированием его элементов.

5. На следующем шаге мы рассмотрим пример исследования согласованности матриц.

На этом шаге мы рассмотрим пример исследования согласованности матриц.

В примере матрица A_L является несогласованной, так как столбцы матрицы N_L неодинаковы. Требуется исследовать согласованность матрицы A_L. Вычислим значение n_max. Из данных примера имеем

    Следовательно,

Отсюда получаем n_max = 0,3863 + 0,8320 + 1,7930 = 3,0113 Следовательно, для n = 3 имеем

Так как CR < 0,1, уровень несогласованности матрицы A_L является приемлемым.

6. На следующем шаге мы приведем несколько задач.

Задача 1. Отдел кадров фирмы сузил поиск будущего сотрудника до трех кандидатур: Стив (S), Джейн (J) и Маиса (М). Конечный отбор основан на трех критериях: собеседование (С), опыт работы (О) и рекомендации (Р). Отдел кадров использует матрицу А (приведенную ниже) для сравнения трех критериев. После проведенного собеседования с тремя претендентами, сбора данных, относящихся к опыту их работы и рекомендациям, построены матрицы А_с, А_о и А_р. Какого из трех кандидатов следует принять на работу? Оцените согласованность данных.

   

Решение.

Матрица сравнения записана следующим образом:

Относительные веса критериев С, O и P могут быть определены путем деления элементов каждого столбца на сумму элементов этого же столбца. Искомые относительные веса критериев вычисляются теперь в виде средних значений элементов соответствующих строк нормализованной матрицы A. Следовательно,

Относительные веса альтернативных решений, вычисляются в пределах каждого критерия S, J и M с использованием следующих трех матриц сравнения.

При делении элементов каждого столбца полученных матриц на сумму элементов этих же столбцов получаем следующие нормализованные матрицы.

   

    Исходя из полученной информации, оценим с помощью комбинированных весов каждого из кандидатов:

S: 0,2*0,577+0,12*0,297+0,68*0,71 = 0,3315 J: 0,2*0,120+0,12*0,370+0,68*0,340 = 0,2913 M: 0,2*0,303+0,12*0,333+0,68*0,423 = 0,3772

    Вывод: На работу следует принять Майса.

Задача 2. Автор книги по исследованию операций определил три критерия для выбора издательства, которое будет печатать его книгу: процент авторского гонорара (R), уровень маркетинга (М) и размер аванса (А). Издательства Н и Р проявили интерес к изданию книги. Используя приведенные ниже матрицы сравнения, необходимо дать оценку двум издательствам и оценить согласованность решения.

   

Матрица сравнения записана следующим образом:

   

    Относительные веса критериев R, M и A могут быть определены путем деления элементов каждого столбца на сумму элементов этого же столбца. Искомые относительные веса критериев вычисляются теперь в виде средних значений элементов соответствующих строк нормализованной матрицы A. Следовательно,

   

    Относительные веса альтернативных решений, вычисляются в пределах каждого критерия H и R с использованием следующих двух матриц сравнения.

    При делении элементов каждого столбца полученных матриц на сумму элементов этих же столбцов получаем следующие нормализованные матрицы.

   

    Исходя из полученной информации, оценим с помощью комбинированных весов каждого из кандидатов:

H: 0,161*0,667+0,149*0,333+0,690*0,5 = 0,502 P: 0,161*0,33+0,149*0,67+0,690*0,5 = 0,498