7 Практическая работа «Принятие решений в условиях риска»

Если решение принимается в условиях риска, то стоимости альтернативных решений обычно описываются вероятностными распределениями. По этой причине принимаемое решение основывается на использовании критерия ожидаемого значения, в соответствии с которым альтернативные решения сравниваются с точки зрения максимизации ожидаемой прибыли или минимизации ожидаемых затрат. Такой подход имеет свои недостатки, которые не позволяют использовать его в некоторых ситуациях. Для них разработаны модификации упомянутого критерия.

1. На следующем шаге мы рассмотрим критерий ожидаемого значения.

Критерий ожидаемого значения сводится либо к максимизации ожидаемой (средней) прибыли, либо к минимизации ожидаемых затрат. В данном случае предполагается, что прибыль (затраты), связанная с каждым альтернативным решением, является случайной величиной.

Дерево решений

    В приведенном ниже примере рассматривается простая ситуация, связанная с принятием решения при наличии конечного числа альтернатив и точных значений матрицы доходов.

Пример. Предположим, что вы хотите вложить на фондовой бирже 10 000 долл. в акции одной из двух компаний: А или B. Акции компании А являются рискованными, но могут принести 50 % прибыли от суммы инвестиции на протяжении следующего года. Если условия фондовой биржи будут неблагоприятны, сумма инвестиции может обесцениться на 20 %. Компания B обеспечивает безопасность инвестиций с 15 % прибыли в условиях повышения котировок на бирже и только 5 % — в условиях понижения котировок. Все аналитические публикации, с которыми можно познакомиться (а они всегда есть в изобилии в конце года), с вероятностью 60 % прогнозируют повышение котировок и с вероятностью 40 % — понижение котировок. В какую компанию следует вложить деньги?

Таблица 1. Информация, с принятием решения
Альтернативные решения	Прибыль за один год от инвестиций 10000 долл.
	При повышении котировок (долл.)	При понижении котировок (долл.)
Акции компании А	5000	-2000
Акции компании B	1500	500
Вероятность события	0,6	0,4

Эта задача может быть также представлена в виде дерева решений, показанного на рис. 1. На этом рисунке используется два типа вершин: квадратик представляет "решающую" вершину, а кружок — "случайную". Таким образом, из вершины 1 ("решающая") выходят две ветви, представляющие альтернативы, связанные с покупкой акций компании А или В. Далее две ветви, выходящие из "случайных" вершин 2 и 3, соответствуют случаям повышения и понижения котировок на бирже с вероятностями их появления и соответствующими платежами.

Рис. 1. Дерево решений для задачи инвестирования

Исходя из схемы рис. 1 получаем ожидаемую прибыль за год для каждой из двух альтернатив.

Для акций компании А: 5000 х 0,6 + (-2000) х 0,4 = 2200 (долл.). Для акций компании В: 1500 х 0,6 + 500 х 0,4 = 1100 (долл.).

Вашим решением, основанным на этих вычислениях, является покупка акций компании А.

2. На следующем шаге мы приведем несколько задач.

Задание 1. Фермер Иванов может выращивать либо кукурузу, либо соевые бобы. Вероятность того, что цены на будущий урожай этих культур повысятся, останутся на том же уровне или понизятся, равна соответственно 0,25, 0,30 и 0,45. Если цены возрастут, урожай кукурузы даст 30 000 долл. чистого дохода, а урожай соевых бобов — 10 000 долл. Если цены останутся неизменными, Иванов лишь покроет расходы. Но если цены станут ниже, урожай кукурузы и соевых бобов приведет к потерям в 35 000 и 5 000 долл. соответственно.

а) Представьте данную задачу в виде дерева решений. б) Какую культуру следует выращивать фермеру Иванову?

Решение.

а)

Рис.1. Дерево решений

b) MV(Кукуруза): 0,25 х 30000 + 0,30 х 0 + 0,45 х (-35000) = -8250 долл. MV(Бобы): 0,25 х 10000 + 0,30 х 0 + 0,45 х (-5000) = 250 долл.

    Следует выбрать соевые бобы.

Задание 2. Симметричная монета подбрасывается три раза. Вы получаете один рубль за каждое выпадение герба(Г) и дополнительно 0,25 рубля за каждые два последовательных выпадения герба (заметим, что выпадениеГГГсостоит из двух последовательностей ГГ). Однако вам приходится платить 1,1 руб. за каждое выпадение решки(Р). Вашим решением является участие или неучастие в игре.

a) Постройте соответствующее дерево решений для описанной игры. b) Будете ли вы играть в эту игру?

    Решение.

а)

Рис.1. Дерево решений

b) MV(Игра): 0,125 х 3,5 + 0,125 х 1,1 + 0,125 х 0,9 + 0,125 х (-1) + 0,125 х 1,1 + 0,125 х (-1) + 0,125 х (-1) + 0,125 х (-3) = = -0,025 руб.

    В эту игру не следует играть.

Задание 3. Инвестиционный фонд рассматривает возможность приобретения акций фирм «А», «В» и «С». Предполагаемые доходности по акциям и соответствующие вероятности приведены в таблице 1 по вариантам. Определите риск по акциям каждой фирмы и дайте свои рекомендации о целесообразности их применения.

Таблица 1.

Фирма «А»		Фирма «B»		Фирма «C»
Доходность, %	Вероятность	Доходность, %	Вероятность	Доходность, %	Вероятность
4	1/4	4	1/4	5	1/5
9	1/2	8	1/4	15	3/5
11	1/4	11	1/2	20	1/5

Решение:

1. Найдем математическое ожидание для акции фирмы :

M_A=4*1/4+9*1/2+11*1/4=1+9/2+11/4=33/4=8.25, доходность 8,25%

М_В=4*1/4+8*1/4+11*1/2=17/2=8,5, доходность 8,5%

М_С=5*1/5*+15*3/5+20*1/5=14, доходность акций 14%

2. Посчитаем среднеквадратическое отклонение для акций каждой фирмы, для этого найдем дисперсию.

Д_А=(4-8,25)²*1/4+(9-8,25)²*1/2+(11-8,25)²*1/4=6,6875

Д_В=(4-8,5)²*1/4+(8-8,5)²*1/4+(11-8,5)²*1/2=8,25

Д_С=(5-14)²*1/5+(15-14)²*3/5+(20-14)²*1/5=24

По акциям фирмы С 14% доходность, однако и риск 4,8989. По моему мнению, целесообразнее приобрести акции фирмы А, так как риск минимальный.

Задание 4. Директор лицея, обучение в котором осуществляется на платной основе, решает, следует ли расширять здание лицея на 250 мест, на 50 мест или не проводить строительных работ вообще. Если население небольшого города, в котором организован лицей, будет расти, то большая реконструкция могла бы принести прибыль в 250*N (N – номер варианта) тыс. руб. в год, незначительное расширение учебных помещений могло бы принести прибыль в 90*N тыс. руб. прибыли. Если население города увеличиваться не будет, то крупное расширение обойдется лицею в 120*N тыс. руб., а малое в 45*N тыс. руб. Государственная статистическая служба предоставила информацию об изменении численности населения: вероятность роста численности равна 0.7; вероятность того, что численность не изменится или уменьшится равна 0.3. Построить дерево решений и определите наилучшую альтернативу по критерию максимума ожидаемой денежной оценки (ОДО). Чему равно ОДО наилучшего решения.

Решение:

Стратегии директора	Благоприятная среда с вероятностью р=0,7. Прибыль, тыс.руб.	Неблагоприятная среда, с вероятностью р=0,3. Прибыль, тыс.руб.
А1: Строительство лицея на 250 мест	5000	-2400
А2: Строительство лицея на 50 мест	1800	-900
А3: Не проводить строительство	-	-

Построим дерево решений.

Для каждой вершины найдем ОДО.

ОДО₁=0,7*5000+0,3*(-2400)=2780(тыс.руб.)

ОДО₂=0,7*1800+0,3*(-900)=990(тыс.руб.)

Так как наибольшая денежная оценка 2780 (тыс.руб.) соответствует стратегии А₁, то выбираем стратегию А₁.