ответы к билетам матан 1 семестр docx - 2010 / 40. Числовые ряды. основные понятия, св-ва сходящихся рядов, необходимый признак сходимости ( с док-вом)

Пусть задана бесконечная последовательность чисел . Выражение

                                                                                                                 

называется числовым рядом. Числа  называются членами этого ряда.

Сумма конечного числа n первых членов ряда называетсяn-ой частичной суммой ряда.

Если существует конечный предел , то его называют суммой ряда (97) и говорят, что ряд (97) сходится.

Если  не существует (например , при ), то говорят, что ряд (97) расходится и суммы не имеет.

Свойство 1. Если сходится ряд, полученный из данного ряда отбрасыванием или присоединением конечного числа членов, то сходится и сам данный ряд, и наоборот. Иными словами, отбрасывание или присоединение конечного числа членов ряда не влияет на сходимость ряда.

Свойство 2. Если ряд (1) сходится и его сумма равна S, то ряд

,           (2)

где с – число, также сходится и его сумма равна c^.S.

Свойство 3. Если ряды

и    (3)

сходятся и их суммы равны соответственно  и S, то ряды

                (4) и (u₁-v₁)+ (u₂-v₂)+…+ (u_n-v_n)+…                (5)

также сходятся и их суммы равны соответственно +S и   -S.

Теорема 1 (необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то  u_n=0.

Доказательство. Пусть ряд u₁+u₂+…+u_n… сходится, то есть существует конечный предел =S. Тогда имеет место также равенство =S, так как при n и (n-1) . Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем - = = u_n=0, что и требовалось доказать.