Контрольная по физике №1

= FVcos ,

J mR2 2 ;

г) шара радиуса R относительно оси, проходящей через центр шара, –

J 52 mR2 .

Теорема Штейнера

J J 0 ma2 ,

где J0 – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела; а – величина параллельного смещения оси вращения.

Основной закон динамики вращательного движения:

M J , или	M	dL		Jd	.
		dt		dt

1.3. Работа и мощность. Законы сохранения в механике

Работа переменной силы F определяется формулой

r2
A F		dr ,
r1

где dr – элементарное перемещение. В случае постоянной силы, действующей под углом к перемещению, имеем

А = F r cos ,

где α – угол между силой и перемещением.

Мгновенная мощность определяется формулой

N dAdt .

В случае постоянной мощности

N At ,

где А – работа, совершаемая за время t.

Мощность зависит от скорости движения тела следующим образом:

N= F V

11

т. е. равна скалярному произведению силы на скорость перемещения тела.

При вращательном движении работа момента сил равна

			2
	A M d ,
			1
при постоянном моменте сил A M .
Кинетическая энергия тела		массы т, движущегося поступательно со
скоростью V	, равна
	Eк		mV 2	.
		2

Кинетическая энергия вращающегося тела равна

Eк J 2 2 .

Формулы для потенциальной энергии имеют разный вид в зависимости от характера действующих сил.

Потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью Земли на высоту h (потенциальная энергия тела, находящегося на поверхности Земли,

принимается равной нулю) равна

Еп = mgh.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела равна

		E				kx2		,
				п
					2
	где k – коэффициент упругости,		x – абсолютная деформация тела. Две мате-
	риальные точки с массами т1 и т2	притягиваются друг к другу с силой
	Fгр		G				m1m2		,
							r2

где G 6,6720 10 11Н∙м2/кг – гравитационная постоянная; т1 и т2 – масса взаимодействующих материальных точек; r – расстояние между ними. Этот закон справедлив и для однородных шаров; при этом r – расстояние между их центрами.

12

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия матери-

альных точек либо тел сферической формы равна

Ep G m1m2 , r

при r = потенциальная энергия обращается в нуль.

Закон сохранения импульса: в замкнутой системе тел импульс входящих в нее тел остается постоянным, т. е.

m1V1	m2V2	... mnVn	= const.

Закон сохранения момента импульса: в замкнутой системе тел момент импульса тел, входящих в систему, остается постоянным, т. е.

J1 1 J2 2 ... Jn n const.

Закон сохранения механической энергии: механическая энергия замкнутой и консервативной системы тел остается величиной постоянной, т. е.

Eнач Eкон .

Теорема о потенциальной энергии: работа консервативных сил равна убыли

потенциальной энергии системы тел.

Aконс Wп .

Теорема о кинетической энергии: работа внешних сил, действующих на систему тел, равна изменению кинетической энергии этой системы:

Aвнеш Wк .

Если система тел либо незамкнутая, либо неконсервативная, то изменение механической энергии равняется:

Aнеконс Wмех – в случае неконсервативной системы тел;

Aвнеш Wмех – в случае незамкнутой системы тел.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Пример 1.1. Тело массой т = 0,5 кг движется прямолинейно по оси ОХ,

причем зависимость координаты х от времени задается уравнением

х = 5 – 3t + t2. Определите:

13

а) расстояние l, которое пройдет тело за время t = 3 с;

б) силу, действующую на тело в тот момент времени, когда тело

остановится.
Дано:		Анализ:
т = 0,5 кг		Нам задана зависимость координаты движущегося тела
х = 5–3t+t2, м		от времени х = f(t). По определению ускорение является первой
		производной от скорости по времени или второй производной
Найти:
1) Fост= ?		от координаты по времени. Скорость равна первой
2) l = ?		производной от координаты по времени.
Таким	образом, можно найти зависимости скорости и ускорения от

времени и найти численные значения этих величин в любой момент времени.

При описании динамики движения тела нужно воспользоваться вторым законом Ньютона, записанным в проекции на ось Ох:

Fx = тах.

Решение:

1. Найдем первую производную от заданной функции:

Vx= dxdt = –3+2t.

Получили зависимость скорости тела от времени.

Найдем зависимость ускорения от времени, для этого найдем производную

от скорости:	ax		dVx	2,0 м/с .
			dt

Видим, что ускорение не зависит от времени, отсюда следует, что и сила

является величиной постоянной.

Определим время остановки. Скорость тела в момент остановки обращается в ноль. Получим уравнение, приравняв скорость к нулю:

0 = – 3 +2 t, или 2 t = 3 .

Корнем этого уравнения является t = 1,5 с.

Путь, пройденный телом, равен сумме модулей перемещений на отдельных участках движения. В нашем случае до момента остановки

14

движение происходило в одном направлении равнозамедленно,									а после
остановки тело двигалось в обратном направлении равноускоренно.									Поэтому
путь будет равен l		Sx1				Sx2		, где перемещение тела до остановки Sx1 xост x0 ;
хост – координата точки в момент времени tост, а х0 – начальная координата тела.

Перемещение точки после остановки Sx2 xкон xост , где xкон – координата

тела в момент времени t = 3 с.

Вычислим координату тела в момент остановки:

хост = 5 – 3∙1,5 + (1,5)2 = 2,75 м, l1= | xост – x0| = |2,75 – 5 | = 2,25 м.

Следующим действием определим координату точки в конечный момент времени t = 3 с:

хкон = 5 –3∙3,0 + (3,0)2 = 5 м.

Весь путь, пройденный за время t = 3 с, равен

l Sx1 Sx2 2,75 5 5 2,75 2,25 2,25 4,5 м.

Эту часть задачи можно решать другим, более быстрым методом – графическим: получив выражение для зависимости скорости движения точки от времени, построить график этой функции. В нашей задаче Vx = – 3 + 3 t. Построим график этой функции в координатах Vx – t . Площадь на

графике, ограниченная графиком, осью координат и ординатами начального и конечного моментов времени, численно равняется перемещению. На рисунке заштрихованные площади и есть перемещения, совершаемые точкой до и после остановки. По формулам площади треугольника вычисляем искомые перемещения и складываем их модули. Ответы при решении разными

способами получаются одинаковыми.
2. Мы определили, что тело остановится в момент времени	tост = 1,5 с
после начала движения и ускорение точки постоянное и равно ax	2,0 м/с . В
этот момент времени сила будет равна Fx = тах =0,5 ∙ 2,0 = 1,0 Н.
Ответ: 1) Fx = 1,0 Н. 2) l = 4,5 м.
15

Пример 1.2. Точка движется по окружности так, что зависимость пути от времени дается уравнением l = 2 – 2t + t2,м. Найдите: тангенциальное ускорение, полное ускорение и угол между нормальным ускорением и полным ускорением в момент времени t1 = 3 с, если нормальное ускорение в момент времени t2= 2 с равно аn = 0,5 м/с2. Чему равен радиус кривизны траектории?

Дано:		Анализ:
l = 2 – 2t + t2, м
		Выполним рисунок, на котором покажем направления
t1 = 3 с		всех искомых величин и угол между
t2= 2 с		нормальным и полным ускорением точки в
аn = 0,5 м/с2		некоторый момент времени. Тангенциальное
		ускорение характеризует быстроту изменения модуля
Найти:
1) R = ?		скорости с течением времени, и оно равно второй

2)аn=? аτ=? а=? производной от пути по времени или первой производной

3)α = ? по времени от модуля линейной скорости движения точки.

	Нормальное ускорение характеризует быстроту	изменения направления
	скорости с течением времени, его величина равна an		V 2	, и направлено оно
			R

по радиусу к центру кривизны траектории. Полное ускорение равно векторной сумме нормального и тангенциального ускорений.

Решение:

1. В этой задаче задана зависимость пройденного пути от времени,

поэтому можно найти зависимость модуля линейной скорости от времени как производную от заданной функции по времени и вычислить численное значение скорости в любой момент времени:

V dldt 2 2t .

Для момента времени t2 = 2 с можно вычислить по полученной формуле величину скорости V2 2 2 2 2 мс , и в этот же момент времени задана

величина нормального ускорения an2 0,5 м/с2 .

16

Радиус кривизны траектории входит в формулу для вычисления

нормального ускорения an

V 2

, отсюда

R

V22

22

8 м .

a

0,5

R

n

2

2. Вторая производная от l позволяет получить выражение для величины

2

тангенциального ускорения, в

нашем случае a 1

d

l

dV

2

м

, танген-

dt

2

dt

2

c

циальное ускорение не зависит от времени.

				a		42	2	м
Нормальное ускорение в момент времени t = 3 с равно									,
				n	8			с2
	1			1
так как	V1 2 2t 2 2 3 4	м	.

с

Величину полного ускорения можно найти, используя теорему Пифагора:

a a 2 an 2 22 22 8 2,83 cм2 .

3.Из рисунка видно, что отношение величины тангенциального

ускорения к величине нормального ускорения равняется тангенсу угла между векторами полного и нормального ускорений.

tg a 2 1, отсюда arctg 1 45 . an 2

Ответ: 1) R = 8 м. 2) aτ1 2 cм2 , a 2,83 cм2 . 3) arctg1 45 .

Пример 1.3. Автомобиль массой т = 2 т движется равномерно в гору.

Уклон горы равен 4 м на каждые 100 м пути. Известно, что путь L = 3 км был пройден за t = 4 мин и коэффициент трения = 0,08. Определите:

а) силу тяги мотора и мощность двигателя;

б) количество теплоты, выделяемое при движении на этом пути.

17

Дано:	Анализ:
m = 2т = 2 103 кг
L = 3 км = 3 103 м	Сделаем	чертеж,	иллюстрирующий	данное
t1 = 4 мин	движение.
= 0,08
h = 4 м
l =100 м
Найти:
1) Fт = ? Nт = ?
2) Q = ?

На рисунке показаны силы, действующие на автомобиль. Всего четыре силы: сила тяжести mg, сила реакции опоры N, сила трения скольжения Fтр и

сила тяги мотора FT. Покажем выбор системы отсчета. Ось ОХ направим вдоль горы по направлению движения машины, ось ОУ – перпендикулярно поверхности горы. Начало отсчета свяжем с подножием наклонной плоскости.

Данные задачи позволяют определить синус угла наклона поверхности горы к

	горизонту:	sin =	h	; sin = 0,04.
			l

По условию задачи тело движется равномерно, следовательно, ускорение автомобиля равно нулю. При решении задач по динамике получают уравнения,

включающие искомые величины, применяя второй закон Ньютона. Векторную форму этого закона проецируют на оси координат и получают два уравнения.

Кроме того, система тел – автомобиль и горка (земля) – является системой замкнутой, но неконсервативной, поэтому работа сил трения приводит к изменению механической энергии системы.

Решение:

1. Путь и время движения нам заданы в условии задачи. Определим величину скорости движения тела:

V l ;V 3 103 12,5 м/с. t 4 60

18

Определим силу тяги. Воспользуемся вторым законом Ньютона. На тело действуют четыре силы. Ускорения нет, так как движение равномерное,

поэтому равнодействующая всех сил, действующих на тело, равна нулю.

Запишем уравнение второго закона Ньютона в векторной форме:

Fтр N mg Fт 0 .

В проекциях на оси координат ОХ и ОУ получим

х: Fт – Fтp – mg sin = 0. у: N – mg cos = 0.

Силу трения скольжения определим по формуле Fтр N , тогда получим систему уравнений

FT N mg sin 0N mg cos .

Отсюда можно найти силу тяги

FT mg cos mg sin mg cos sin ;

FТ 2 103 10 0,08 0,999 0,040 2,4 кН.

Теперь можно вычислить мощность мотора. Мощность постоянной силы связана со скоростью движения следующим образом:

NТ FТV cos (FT V )

Угол между силой тяги мотора и направлением движения автомобиля равен 00.

Скорость движения и силу тяги мы уже определили.

Получаем

N FT V cos 0 2, 4 103 12,5 30 103 Вт 30 кВт .

2. При движении автомобиля действует сила трения. Эта сила неконсервативная, и ее работа приводит к тому, что часть механической энергии переходит во внутреннюю энергию тела. Убыль механической энергии равняется количеству теплоты, выделяющейся за счет работы силы

трения.
Aтр Wмеx ,		Wмеx Q , тогда – Q = – Aтр.
		19

Сила трения является в этом случае постоянной, поэтому ее работу

можно вычислить:

Aтр Fтрl cos 180 mg cos l cos 180 .

180° – угол между направлением движения и направлением действия силы трения, следовательно, сos 180 = – 1 .

Вычислим Q = – Атр = mg cos l ∙сos 180 ;

Q 0,08 2 103 9,8 0,999 3 103 1 4,699 106 Дж 4,7 МДж .

Ответ: 1) Fт = 2,4 кН; NТ = 30 кВт;

2) Q = 4,7 МДж.

Пример 1.4. Тело цилиндрической формы закреплено на горизонтальной оси и из состояния покоя приводится во вращение с помощью падающего груза,

соединенного со шнуром, предварительно намотанным на цилиндр. Шнур

невесом и нерастяжим.			Оцените момент инерции тела,	если груз массой
т = 2,0 кг в течение t = 1,2 с опускается на расстояние				h = 1,0 м. Радиус
цилиндра r = 8,0 мм. Силой трения пренебречь.
	Дано:		Анализ:
	т = 2,0 кг		Движущаяся система состоит из двух тел:
	t = 1,20 с		одно вращается, а другое (груз на шнуре) движется
	h = 1,0 м		поступательно по вертикальному направлению.
	r = 8,0 мм = 8,0∙10-3м		Выполним рисунок в плоскости, перпендикуляр-
			ной оси вращения тела. На груз действуют две
	Найти:
	J = ?		силы: сила тяжести mg и сила натяжения шнура Т2.
			Обе силы направлены вдоль	вертикальной оси.

Шнур нерастяжим, поэтому его натяжение по всей длине одинаково и все точки шнура и сам груз движутся с одинаковым линейным ускорением а.

Вращение тела (вала) происходит под действием силы натяжения шнура

Т1, равной по модулю силе T2, но противоположно направленной								T .
		T1			T2
Вектор момента этой силы относительно оси, совпадающей с	осью					тела,
20