Контрольная по физике №1

Возьмем интеграл от этой функции. Все постоянные величины выносим за знак интеграла и получаем табличный интеграл, который равняется натуральному логарифму аргумента

		2	r2	dr			2		r2
A	1		r			1		ln r	.
	2 0			r		2 0
		2							r
								1

Подставляем пределы интегрирования и окончательно получаем:

A 1 2 ln r2 . 2 0 r1

Используя данные задачи, получим численный ответ:

	A				10 10		ln	20		100	ln 2 1, 25 Дж.
			3,14 8,85 10 12							6, 28 8,85
	2							10
Ответ: 1)	E 31 105			В	.	2)	A 1, 25 Дж .
				м

Пример 3.2. Имеется плоскопараллельная пластина толщиной d = 3 см,

равномерно заряженная по объему с плотностью = 2 10-8 Кл/м3.

Диэлектрическая проницаемость материала пластины = 2.

1.Используя теорему Гаусса, найдите напряженность электрического поля внутри пластины и вне ее как функцию расстояния от центра пластины.

2.Постройте график зависимости Е = f (r).

Дано:

d = 3 см

= 2 10-8 Кл/м3; r1 = 1 см;

r2 = 3см;

Найти:

Е = f (r) = ?

Анализ:

Задачи о вычислении напряженности поля, создаваемого симметричным распределением заряда, решаются с использованием теоремы Гаусса.

Формулировка теоремы: поток вектора напряженности электрического поля

41

через замкнутую поверхность равняется алгебраической сумме зарядов,

охватываемых этой поверхностью, деленной на электрические постоянные.

			q
	NE			, где NE Eds		Eds cos .
			0
				s		s

Угол α – это угол между вектором E и вектором нормали к поверхности интегрирования n .

При применении теоремы Гаусса для расчета напряженности поля некоторого заряженного тела удобно действовать по определенному алгоритму.

1. Необходимо нарисовать картину силовых линий заданного

распределения зарядов.

В нашей задаче пластину считаем бесконечно протяженной, и поэтому в каждой точке пространства напряженность поля будет направлена перпендикулярно пластине. Силовые линии будут представлять собой параллельные прямые, перпендикулярные пластине. Начало оси координат выбираем в средней точке пластины, а саму ось направляем вдоль силовых линий.

2. Выбрать поверхность интегрирования, учитывая симметрию задачи таким образом, чтобы силовые линии поля либо скользили по поверхности, либо были ей перпендикулярны.

Учитывая симметрию задачи, выбираем замкнутую поверхность в виде цилиндра радиуса R и высотой H (можно было бы и в виде прямоугольного параллелепипеда). Рисунок выполнен в сечении, перпендикулярном самой заряженной пластине. Сечение выбранной поверхности изображено пунктиром.

Нарисовано два цилиндра, оси которых совпадают с силовыми линиями электростатического поля, для двух случаев определения напряженности поля – внутри и вне пластины. Основания цилиндров симметричны относительно середины пластины. Точка, в которой мы хотим вычислить величину вектора Е,

должна находиться на основании цилиндра.

42

3. Вычислим поток вектора E через выбранную поверхность.

Полный поток можно сосчитать как сумму потоков через два основания цилиндра и через его боковую поверхность:

EdS 2	EdS	cos 1	EdS cos 2 .
S	Sосн	Sбок

Как видно из рисунка, 1 = 0º, а 2 = 90º, следовательно, поток отличен от нуля только для двух оснований.

С учетом этого получим

EdS 2		EdS 1 0 2ESосн .
S	Sосн

Перед первым интегралом стоит множитель «2», так как имеются два основания, симметрично расположенные относительно центра пластины, и

модуль вектора Е на равных расстояниях от центра пластины будет одинаков для всех точек, поэтому его можно вынести за знак интеграла.

4. Запишем выражение для заряда, охватываемого этой поверх-

ностью: q V .

Если искомая точка лежит внутри пластины, например точка 1 (c. 41, рис. а), то V = Sосн2r, где r – расстояние до точки 1 от центра пластины. Вся поверхность интегрирования расположена внутри пластины, поэтому охватываемый ею заряд равен q Sосн 2r . Тонированием выделена область, в

которой находится этот заряд.

Если искомая точка лежит вне пластины, например точка 2 (с. 41, рис. б),

высота поверхности интегрирования Н больше толщины пластины d. Заряд находится не во всей области интегрирования, а только внутри пластины,

поэтому q Sоснd , т. к. V = Sосн d. Тонированием выделена область, в

которой находится заряд, охватываемый поверхностью интегрирования в этом случае.

43

5. Воспользуемся теоремой Гаусса

Подставим выражения, полученные в пунктах 3 и 4, в левую и правую части теоремы. Из полученного уравнения выразим Е. Получим

2ESосн q

0

и построим график зависимости проекции вектора Е на ось r.

2E1Sосн		Sоснr		E1	r		– напряженность поля
			0		2	0
		1			1

внутри пластины на расстоянии r от ее середины.

	2E2 Sосн	Sоснd	E2		d	– напряженность
		2 0			2 2 0

поля вне пластины.

Нарисуем график зависимости Е от r. Внутри пластины напряженность поля линейно возрастает с увеличением r. Вне пластины поле однородное.

Скачок значения напряженности при r = d/2 происходит из-за измене-

ния диэлектрической проницаемости среды. Внутри пластины она равна 1 = 2,

а вне ее 2 = 1, поэтому при выходе из пластины напряженность поля скачком увеличивается в два раза.

Пример 3.3. Пластины плоского воздушного конденсатора,

расположенного горизонтально, заряжены одинаковым по модулю разноименным зарядом и отсоединены от источника напряжения. Между пластинами находится в равновесии маленькая капелька, имеющая точечный заряд q0 = 10–8 Кл и массу m = 0,010 кг.

1.Определите поверхностную плотность заряда пластин конденсатора σ.

2.Чему равна работа электростатических сил А при раздвижении пластин

друг от друга с расстояния d1 = 3 см до d2 = 5 см? Площадь одной пластины S = 200 см2.

44

Дано:

q0 = 10–8 Кл d1 = 3 см

d2 = 5 см

m = 10 мг = 10–5 г

S = 200 см2

Найти:

1)–?

2)A–?

виде

Решение:

Заряд находится в равновесии в поле конден-

сатора, следовательно, си-

ла действия электричес-

кого поля равна силе тя-

жести капельки и противоположно направлена. Отсюда следует, что верхняя пластинка заряжена отрицательно, а

нижняя – положительно. Выполним рисунок.

Запишем условие равновесия капельки в векторном

Fэл mg 0.

В проекции на вертикальную ось OУ получим

	Fэл mg 0;
	q0 E mg 0.
	Отсюда можем выразить E:
	E	mg	.
		q0
	Напряженность поля плоского конденсатора			E			,
						0

но, учитывая предыдущую формулу, получим, что поверхностная плотность заряда пластины конденсатора

0 mg , q0

где 1, так как конденсатор воздушный.

Вычислим искомую величину:

8,85 10 12 10 5 10 8,85 10 8 Кл. 10 8

45

Поле конденсатора однородное, т. е. вектор E одинаков во всех точках пространства. Будем считать, что одна пластина создает поле и оно действует на заряд другой пластины. Напряженность поля одной пластины находится следующим образом:

E1 2 0 , но = 1, так как между пластинами конденсатора – воздух.

Сила, с которой электрическое поле первой пластины действует на заряд второй пластины, равна

Fэл E1q2 ,

где q2 S – заряд другой пластины по модулю. Поскольку поле однородное,

тo Fэл = const, и работу можно вычислить следующим образом:

A Fэл d cos180 .

Угол между силой и перемещением равен 180 , так как пластины

заряжены разноименными зарядами.

		A qE d ( 1) S								d			d			;
												2
								2 0						1
				2		S			2		m2 g 2 S				d d		2
	A 4	0mg					d2 d1			0						1		;
													q0
			q0			2 0
A	2 8,85 10 12		10 10		100 200 10 14 3 5 10 3									35, 4 10 8 Дж.

10 16

Ответ: 1) 17,7 108 Кл.

2) A 35, 4 10 8 Дж.

46

ТАБЛИЦА ВАРИАНТОВ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 1

по техническим специальностям для 3- и 4-семестрового курсов физики,

учебными планами которых предусмотрены четыре контрольные работы

Вариант				Номера задач
1	101	111	121	131	141	151	161	171
2	102	112	122	132	142	152	162	172
3	103	113	123	133	143	153	163	173
4	104	114	124	134	144	154	164	174
5	105	115	125	135	145	155	165	175
6	106	116	126	136	146	156	166	176
7	107	117	127	137	147	157	167	177
8	108	118	128	138	148	158	168	178
9	109	119	129	139	149	159	169	179
10	110	120	130	140	150	160	170	180

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1

101.Две материальные точки движутся вдоль оси ОХ согласно уравнениям x1 = 10 +4 t – 0,5 t2, м и x2 = 3 – 2t + t2, м.

1.В какой момент времени t1 скорости этих точек будут одинаковы?

2.Какой путь прошла вторая точка за это время?

102.Зависимость пути, пройденного точкой по окружности радиуса R = 2,0 м, от времени выражено уравнением l = t + 3 t2 , м.

1.Найдите полное ускорение точки через t = 1,0 с после начала движения.

2.Чему равен угол между нормальным и полным ускорениями в этот момент времени? Решение поясните рисунком.

103.Наклонная плоскость, образующая угол α = 30º с горизонтом, имеет длину l = 2 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с вершины плоскости к ее основанию за время t = 2 с.

47

1.Определите коэффициент трения тела о плоскость.

2.Какую скорость будет иметь тело у основания плоскости?

104.Зависимость координаты от времени тела массой m = 5 кг при торможении выражена уравнением x = 12 t – 1,6 t2.

1.Найдите путь, пройденный телом до полной остановки.

2.Как зависит сила, действующая при этом на тело, от времени? Чему равна эта сила через t = 2 с после начала торможения?

105.Тело скользит по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α = 45º. Зависимость пройденного телом пути от времени задана уравнением l = ct2, где c = 1,73 м/с2.

1.Найдите коэффициент трения μ тела о плоскость.

2.Чему будет равна скорость тела к моменту времени, когда оно пройдет расстояние l = 10 м?

106.Материальная точка движется по окружности радиуса R = 40 м. Зависи-

мость пути от времени движения точки определяется уравнением l = 8 – t + 4 t2 +1 t3 .

1.Чему равна величина линейной скорости точки в момент времени t = 4 с после начала движения?

2.Чему равен угол между нормальным и полным ускорениями в момент времени t = 4 с после начала движения? Решение поясните рисунком.

107. Точка начинает двигаться по окружности радиуса R = 16,0 м с тангенциальным ускорением аτ = 10 м/с2.

1.Чему равно полное ускорение точки через три секунды t = 2 с после начала движения? Решение поясните рисунком.

2.Чему равна величина угловой скорости и углового ускорения при этом движении в этот момент времени?

108.Тело, имеющее постоянную массу, начинает тормозить. Путь при торможении изменяется с течением времени согласно уравнению l = 196 t – t3. В момент остановки сила торможения достигла значения Fост = 48 Н.

1.Определите, какой путь l прошло тело от начала торможения до полной остановки.

2.Чему равна сила торможения через t = 3 мин после начала торможения?

48

109.Точка движется по окружности радиуса R = 8 м. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки равно аn = 4 м/с2 и образует с вектором полного ускорения угол α = 60º.

1.Чему равна скорость точки в этот момент времени?

2.Найдите величину тангенциального ускорения в этот момент времени. Решение поясните рисунком.

110.Тело массой т = 0,5 кг движется прямолинейно, причем зависимость

координаты х от времени дается уравнением х = А – Bt + Ct2 , где

C = 5 м/с2 и B = 10 м/с2.

1.Определите результирующую силу, действующую на тело во время движения.

2.В какой момент времени тело остановится, и какой путь оно пройдет до остановки?

111.Каток в виде однородного цилиндра массой m = 2,0 кг катится по горизонтальной поверхности под действием силы F = 10 Н, приложенной к его оси. Сила направлена перпендикулярно оси катка и составляет с горизонтом угол α = 30º.

1.Определите ускорение, с которым перемещается ось катка.

2.Чему равен момент этой действующей силы относительно оси, проходящей через точки касания катка дороги в некоторый момент времени? Покажите на рисунке направление этого момента силы.

112.Две гири разной массы соединены нерастяжимой, невесомой нитью, перекинутой через блок радиуса R = 20 см, момент инерции которого равен

J = 50 кг∙м2. Момент силы трения, действующей на блок, равен

Мтр = 98,1 Н∙м.

1.Определите разность сил натяжения нити по обе стороны блока (Т1– Т2), если угловое ускорение блока постоянно и равно ε = 2,36 рад/с2.

2.На какое расстояние l переместится каждая гиря за время t = 1,0 с?

113.Тонкий стержень длиной l = 0,5 м и массой m = 400 г начинает вращаться вокруг оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно его длине, с угловым ускорением ε = 3 рад/с2.

49

1.Определите момент силы, действующей на тело. На рисунке покажите направление этого момента.

2.Сколько оборотов сделает стержень за первые три секунды вращения?

114.Диск, момент инерции которого J = 40 кг∙м2, начинает вращаться равноускоренно под действием момента силы М = 20 Н∙м.

1.Какой момент импульса будет иметь тело через t = 10 с вращения? На рисунке покажите направление этого момента импульса.

2.Сколько полных оборотов сделает диск за этот промежуток времени?

115. Колесо, вращаясь равнозамедленно, уменьшило частоту вращения от n1 = 300 об/мин до n2 = 180 об/мин за время t = 1 мин. Момент инерции колеса J = 2 кг∙м2.

1.Определите угловое ускорение колеса и покажите на рисунке, как оно направлено.

2.Как направлен момент сил торможения, и чему он равен?

116.Шар массой m = 2,0 кг и радиусом R = 5 см вращается вокруг оси, проходящей через центр масс шара, согласно уравнению φ = 3 t2+ t.

1.Сколько оборотов сделает шар за время t = 10 с?

2.Определите момент импульса шара через две минуты после начала движения и покажите на рисунке направления векторов момента импульса и углового ускорения.

117.На барабан радиусом R = 25 см, момент инерции которого J = 1 кг∙м2, намотан шнур, к которому привязан груз массой m = 0,5 кг. До начала движения высота груза над полом была равна h = 1,0 м.

1.Определите момент импульса L барабана в момент удара груза о пол. На рисунке покажите направление этого момента импульса.

2.Определите силу натяжения нити Т при движении груза.

118.Тонкостенный цилиндр, масса которого m = 12 кг, а диаметр D = 30 см, вращается согласно уравнению φ = 4+2 t – 0,2 t3.

1.Определите угловое ускорение диска в момент времени t = 2,0 с. Покажите на рисунке, как оно направлено.

2. Чему равен момент сил, действующий на тело, в момент времени t = 3,0 с? На рисунке покажите направление этого момента.

50