2. Модель Дагдейла – Панасюка – Леонова.

Рассмотренные критерии на основе параметров трещиностойкости ККИН (), КИОЭ ( ), были введены для линейно-упругих материалов. Эти критерии могли быть использованы только в условиях мало-масштабной текучести, когда размер зоны пластичности не превышает 20% длины трещины. Для этих критериев характерны два физических противоречия (из-за использования теории упругости):

1. Вершина трещины считается абсолютно острой с нулевым радиусом закругления, в реальности даже самая острая трещина имеет радиус закругления не меньше, чем характерный структурный размер.

2. Напряжения в вершине трещины стремятся к бесконечности.

Для снятия этих и возможных иных противоречий предлагаются другие критерии. Наибольшее распространение получил критерий раскрытия трещины (). Этот критерий независимо друг от друга был введен американцем Дагдейлом (1960 г.), и советскими учеными Панасюком и Леоновым (1959 г.). Подходы и физическое обоснование у этих авторов различны, но оба приводят к одной и той же математической формализации.

Модели основаны на следующем предположении: в вершине трещины в продолжении плоскости трещины вводится зона ослабленных связей (Рис. 9). Размер этой зоны – R, на ее границах действуют усилия , препятствующие разрыву материала перед вершиной (усилия, смыкающие берега трещины).

Рис. 9. – Модель трещины Дагдейла – Панасюка – Леонова.

, ,

, ,

, , (6.35)

, ,

где - максимально возможный размер зоны ослабленных связей в вершине трещины в момент страгивания трещины (критическое состояние). Эту величину принято считать константой трещиностойкости материала.

«Критерий раскрытия трещины» может быть сформулирован следующим образом: трещина начнет распространяться тогда, когда раскрытие трещины достигнет критического значения :

, (6.36)

Согласно подхода Панасюка-Леонова, усилие представляет собой силы взаимодействия структурных элементов, например, межатомные усилия. Верхние и нижние границы зоны ослабленных связей могут рассматриваться как межатомные плоскости, раздвинутые на расстояние, превышающее размеры, характерные для атомной решетки в равновесном состоянии. Зона ослабленных связей является как бы продолжением трещины и незаполнена материалом.

В подходе Дагдейла зона ослабленных связей (ЗОС) представляет собой тонкую полоску материала, находящуюся в пластическом состоянии. Граница ЗОС совпадает с границей зоны пластичности в вершине трещины. Зона заполнена материалом, находящимся под внутренним напряжением . Модель Дагдейла полностью подтверждается картиной зоны пластичности в тонких стальных пластинах ослабленных трещиной нормального отрыва.

Модель Панасюка-Леонова имеет более общий смысл и подходит для любых материалов и типов напряженного состояния. Существенный недостаток этой модели заключается в сложности физической интерпретации и экспериментального определения величины .

Модель Дагдейла однозначно трактует , но строго применима только к тонким пластинам. Поэтому в практических расчетах наибольшее распространение получила модель Дагдейла, при этом величину раскрытия по Дагдейлу обозначают .

В рамках линейной упругости была получена зависимость между интенсивностью освобождения энергии и раскрытием трещины. Для ПДС:

(6.37)

Для ПНС:

. (6.38)

Из анализа экспериментальных данных для тонких пластин Дагдейл получил выражение для определения длины пластической зоны в вершине трещины:

(6.39)

Р

ассмотрим в рамках модели решение задачи Гриффитса, т.е. найдем для трещины в бесконечной плоскости критические напряжения (Рис. 10).

Рис. 10. – Модель трещины.

Граничные условия:

; =0; ;

; ; (6.40)

; .

Решение для критической нагрузки будет следующим:

. (6.41)

При увеличении длины трещины и, соответственно, уменьшении критических нагрузок зависимость (6.41) асимптотически стремится к выражению вида:

(6.42)

P_c/₀

8₀l/πEδ_k

Рис. 11. – Значение критического напряжения в вершине трещины в зависимости от длины трещины.

Из анализа рисунка 11 можно сделать следующие выводы:

Существенное расхождение между двумя теориями начинается при достижении . При стягивании длины трещины к нулю () получаем ограниченное значение разрушающего напряжения , что соответствует физическому смыслу. Согласно модели , что может быть принято во многих критериях прочности, но не соответствует действительности, т.к. достижение предела текучести не всегда означает образование трещины. В большинстве феноменологических критериев используется , что подтверждается экспериментальными данными.

Использование модели позволило обойти два противоречия:

1. Убрать сингулярность напряжений в вершине трещины;

2. Придать физический смысл и численное значение напряжениям, вызывающим появление несплошности типа трещины.

Раскрытие центральной трещины при будет наибольшим. Найдем его:

, (6.43)

Раскрытие в вершине связано с раскрытием в центре трещины следующей зависимостью:

(6.44)

Для квазихрупкого случая – весь объем тела в упругой зоне, а зона пластичности в вершине трещины мала - можно записать следующие зависимости:

(6.45)

3. J и Г интегралы.

Рассмотрим подход, основанный на использовании энергетических интегралов, вид которых в настоящее время достаточно разнообразен. Впервые интегралы подобного типа были предложены учеными Эшелби, Райсом и Черепановым в 1966 – 1968 годах. Наибольшее распространение получили так называемые J-интегралы Райса.

Рассмотрим вершину трещины, с произвольным контуром, который замыкается на берегах трещины. Выделим элементарный участок (Рис. 12). – вектор внешних сил, возникающий после отбрасывания части тела. - вектор перемещений от отброшенной части тела.

Рассмотрим изменение энергии внутри контура. Пусть – механическая работа внешних сил, – потенциальная энергия упругого деформирования, – работа разрушения по Гриффитсу.

u

Рис. 12. – Вершина трещины.

По закону сохранения энергии:

. (6.46)

Если трещина отсутствует:

. (6.47)

Область за контуром, отбрасывается и заменяется внешними усилиями на площадке :

(6.48)

Вариация энергии в связи с вариацией длины трещины:

, (6.49)

, (6.50)

где – энергия деформации внутри контура С.

, (6.51)

где – вариация длины трещины.

Энергия разрушения необходимая для образования новых поверхностей трещины:

(6.52)

При условии . Используя формулу Грина:

, получим:

, (6.53)

где формула (6.53) J –интеграл. Этот интеграл вводится как изменение работы разрушения при вариации длины трещины (физический смысл аналогичен удельной поверхностной энергии разрушения).

Покажем, что величина J – интеграла не зависит от контура интегрирования. Рассмотрим замкнутый контур, не включающий в себе трещину (); с учетом соотношения Грина:

. (6.54)

Рассмотрим первое слагаемое, имея в виду:

(6.55)

Таким образом, значение J – интеграла по замкнутому контуру равно нулю.

Рассмотрим замкнутый контур охватывающий вершину трещины и разбитый условно на четыре контура , как показано на рисунке13:

Рис. 13. – Контур в вершине трещины.

Поскольку весь контур замкнутый и не содержит внутри себя трещины:

(6.56)

Для контуров лежащих на границах трещины:

, т.к. (6.57)

потому что граница контура перпендикулярна оси Y, а усилия на берегах трещины отсутствуют. Из (6.56) с учетом направления обхода контура получим

.

Таким образом, величина J интеграла в вершине трещины не зависит от пути интегрирования. Граница контура может быть выбрана произвольно, она может совпадать с границей зоны пластичности в вершине трещины, может ее пересекать, может совпадать с границей тела. Принято считать за положительный - обход по часовой стрелке. Инвариантность J – интеграла также показана для случая деформационной теории пластичности, поэтому контур может находиться и внутри зоны пластичности. Также показана инвариантность для слоистой среды, когда плоскость укладки слоев параллельна плоскости трещины. Во всех остальных случаях вопрос об инвариантности остается открытым.

Если диаграмма материала может быть представлена в виде степенной зависимости, где A, m –постоянные:

, (6.58)

то напряжения и деформации в вершине трещины записываются следующим образом:

, (6.59)

где и – аргументы в цилиндрической системе координат, – числовой параметр, зависящий от и типа трещины. Например, для трещины I типа при ПДС .

Как видно J - интеграл является (по аналогии с КИН) характеристикой НДС в вершине трещины. Учитывая инвариантность J – интеграла, и то, что он является текущей характеристикой тела с трещиной, можно ввести критерий трещиностойкости , где принимается в качестве константы трещиностойкости материала. Это величина J интеграла в момент страгивания трещины.

Критерии могут быть использованы как для трещины в момент страгивания, так и для движущейся трещины, а может быть использован только как критерий страгивания трещины, т.к. инвариантность J - интеграла реализуется только при неизменной длине трещины. В частном случае линейного квазихрупкого разрушения J интеграл представляет собой поток упругой энергии в вершине трещины:

(6.60)

Для случая ПДС:

(6.61)

В частном случае для модели для тонкой пластины, когда контур интегрирования совпадает с границей пластической зоны, может быть записана связь J интеграла с критерием раскрытия трещины:

(6.62)

Интегралы типа J – интеграла Райса могут быть записаны другими различными способами. Черепановым был предложен Г – интеграл, который имеет наиболее общую форму записи из всех возможных, поэтому все остальные инвариантные интегралы, записываемые для контура в вершине трещины, включая J – интеграл Райса, являются частными случаями Г – интеграла. Г – интеграл учитывает все возможные типы преобразования энергии в вершине трещины:

, (6.63)

где К – кинетическая энергия, Э – энергия электромагнитного поля, Ф – другие виды изменения энергии.