Васильева М.Е. КЛ_М_Ч1

10

Решение. Транспонируем матрицу А, заменив ее строки соответствующи-

				2		3				4	8
ми столбцами										10
			AT			. Транспонируем матрицу В: BT					0 .
				1		0				5
											7
1.2.3 Умножение матриц
Определение. Произведением матриц A(m n) и								B(n p)	называется мат-
рица С (m8p) , элементы которой вычисляются по формуле:
						n
						сij aik	bkj ,				(1.9)
						k 1
где i 1, m;			j 1, n .

Замечание. Операция умножения матриц определена только для матриц,

число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

	4	1 2			7	1
					5
Даны матрицы А		3		и B			3 .
	0		1		2	0

Найти произведение матриц А В.

		4 1 2								7	1			С		С
Решение. А В =										5		3			11
			0 3 1											=		12 .
										2	0				С21	С22
				7
С11	4 1 2			5	4			7 1 5 2 2 28 5 4 37
				2
			1
	4 1
С12			2	3		4				1	1 ( 3) 1
				0

Свойства операции умножения матриц.

1.Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными. Самым характерным примером может служить еди-

ничная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера: А Е = Е А = А

2.Операция умножения матриц ассоциативна, т.е. (АВ)С=А(ВС).

11

3. Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложе-

нию, т.е. А(В + С) = АВ + АС или (А + В)С = АС + ВС.

4.Если произведение АВ определено, то для любого числа λ верно соот-

ношение: λ (AB) = (λ A)B = A(λ B).

1.2.4 Обратная матрица

Понятие обратной матрицы вводится только для квадратной матрицы.

Определение. Квадратная матрица n-го порядка A-1 называется обратной по отношению к матрице A, если А ·A-1 = A-1 · А = Е.

Определение. Квадратная матрица A называется невырожденной, если определитель А или (det A) не равен нулю.

Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю, имеет обратную матрицу и притом только одну.

Правило нахождения обратной матрицы:

1.Вычислить определитель матрицы А. Если det A ≠ 0, то обратная матрица существует и нужно перейти к пункту 2, если det A = 0, то обратной матрицы не существует.

2.Найти матрицу, элементами которой служат алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы А:

					A		A ...			A
	~					11	12			1n
			A21				A22 ...			A2n
	A				... ... ... ...						.
							An2 ...
			An1							Ann
3.						~
	Транспонировать матрицу A , т.е. строки заменить столбцами и
	~T	.
	получить матрицу A
4.	Найти матрицу A 1, обратную матрице А, по формуле
				1			1		~T
			A						A		(1.11)
							det A

12

1.3 Понятие системы линейных алгебраических уравнений

Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

a11x1

a12 x2

... a1n xn

b1

a21x1

a22 x2

... a2n xn

b2

...............................................

,

(1.12)

a

x

a

m2

x

2

... a

mn

x

n

b

m1 1

m

где x1, x2, …, xn - неизвестные; числа a11, a12, …аmn называются коэффициентами при неизвестных; числа b1, b2, …bm - свободные члены. Решением си-

стемы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она назы-

вается несовместной.

Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

Определение. Для системы линейных уравнений (1.12) матрица

	a		a	...	a
		11	12		1n
	a21		a22	...	a2n		называется матрицей системы, а матрица
А =		...	... ... ...
			am2	...
	am1				amn
	a		a	...	a		b
		11	12		1n		1
*	a21		a22	...	a2n		b2		называется расширенной матрицей системы.
А	=	...	... ... ... ...
			am2	...	amn
	am1						bm

Определение. Если b1, b2, …,bm = 0, то система называется однородной. Однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение.

1.4Решение системы линейных алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы

Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.

Пусть дана система уравнений:

13

a x a x

2

...

a

x

n

b

11 1

12

1n

1

a21x1

a22 x2

...

a2n xn b2

...............................................

a x

a

n2

x

2

...

a

nn

x

n

b

n1 1

n

a		a	...	a
	11	12		1n
a21		a22	...	a2n		;
Запишем матрицы: A =	... ... ... ...
		an2	...
an1				ann

b1

B = b2 ;

...bn

(1.13)

x1

X = x2 .

...xn

Систему уравнений (1.12) в матричной форме можно записать:

	A X B	(1.14)
Сделаем следующее преобразование: A 1 A X A 1 B.
Т.к. A 1 A E ,	то E X A 1 B или
	X A 1 B.	(1.15)
Равенство (1.15)	дает решение системы линейных алгебраических	(1.13)
или (1.14).

1.5Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных с помощью элементар-

ных преобразований.

К элементарным преобразованиям относятся:

1.Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствую - щих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.

2.Перестановка уравнений местами.

Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех

х.

3.Рассмотрим систему линейных уравнений:

a11x1	a12 x2	... a1n xn	b1
a x	a x	... a x	b
21 1	22 2	2n n	2
...............................................
	am2 x2 amn xn bm
am1x1

Разделим обе части 1–го уравнения на a11 0, затем:

1) умножим на а21 и вычтем из второго уравнения

14

2)умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения

ит.д.

Получим:

x d x ...			d x d
	1	12 2	1n n	1
		d22 x2 d23 x3 ... d2n xn		d2	, где d		a
							1 j ; j = 2, 3, …, n+1.
..............................................					1 j			a
								11
		dm2 x2 dm3 x3 dmn xn dm
		dij = aij – ai1d1j		i = 2, 3, … , m;			j = 2, 3, … , n+1.

Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.

1.6Контрольные вопросы и задания

1.Что называется матрицей и ее размером?

2.Какие матрицы называются равными?

3.Дайте определение квадратной, единичной и транспонированной матриц.

4.Как рассчитать произведение двух матриц?

5.Сформулируйте правило нахождения обратной матрицы обратной матрицы.

6.Запишите систему из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными в общем виде.

7.Какая система уравнений называется: а) совместной; б) несовместной; в) определенной; г) неопределенной?

8.Поясните метод Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений. Для системы линейных уравнений какой размерности применим этот метод

15

Лекция №2

ТЕМА: ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

2.1Векторы, их классификация

2.2Линейные операции над векторами и их свойства

2.3Понятие базиса.

2.4Линейные операции над векторами в координатной форме

2.5Задание вектора координатами его начала и конца, модуль вектора.

2.6Векторное произведение векторов, его свойства

2.7Геометрический смысл векторного произведения

2.8Механический смысл векторного произведения

2.9Смешанное произведение векторов, координатная форма,

геометрический смысл

2.10Контрольные вопросы и задания

2.1Векторы, их классификация

Определение. Вектором называется направленный отрезок в пространстве (или на плоскости).

Если точка А – начало вектора, а точка В – конец вектора, то

В вектор обозначается AB . Вектор также можно обозначать

а

маленькой буквой латинского алфавита, например, a .

А

Определение. Вектор BA, у которого начало в точке В, а конец в точке А,

называется

противоположным

вектору AB . Вектор, противоположный

вектору a обозначают

a

.

Определение. Длина

вектора

называется его модулем и обозначается

символом

AB

(или

a

).

Определение. Вектор, у которого начало и конец совпадают, называют

нуль-вектором.

Нуль-вектор не имеет определенного направления и его модуль равен

нулю, т.е. | 0| = 0.
Определение. Векторы a и b, расположенные на одной
								а
прямой или на параллельных прямых, называются									b
коллинеарными (рисунок 2.1).							Рисунок 2.1

Среди коллинеарных векторов есть одинаково направленные, т.е. сонаправленные, и противоположно направленные, т.е.

противоположные, что обозначается соответственно a b или a b . Определение. Два вектора называются равными, если они имеют равные модули и сонаправлены.

16

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в произвольную точку пространства.

								Q
Определение. Три вектора называются компла-		с b
нарными, если они расположены в одной плоско-						а
сти или в параллельных плоскостях (рисунок 2.2).
Определение. Вектор, модуль которого равен	Рисунок 2.2
единице, называется единичным.

2.2 Линейные операции над векторами

К линейным операциям над векторами относятся операция умножения вектора на число и операции сложения и вычитания векторов.

Пусть даны вектор a и число λ.

Определение. Произведением вектора a

на число называется вектор

a , который сонаправлен с вектором a

при

>

0 и противоположно

направлен вектору a при < 0, и длина которого

.

a

a

Сумма векторов определяется по следующим правилам:

а

1.Правило параллелограмма

b

Пусть a и b - два произвольных вектора.

Возьмем точку О и проведем векторы

OA

a

и

А

С

OB b. Построим на этих векторах, как на сто-

а

c

ронах, параллелограмм OACB. Вектор

OC

c

,

являющийся диагональю параллелограмма,

О

В

проведенной из вершины О, будет суммой век-

Рисунок 2.3

торов с a b (рисунок 2.3).

2. Правило треугольника

Отложим от точки О вектор

OA

a

. Затем

В

А

b

из точки А восстановим вектор

AB

b

. Вектор

a

OC c , соединяющий начало первого вектора и

c

конец второго называют суммой этих векторов

О

Рисунок 2.4

с a b (рисунок 2.4).

3. Правило многоугольника

b

Пусть, например, даны векторы a, b, c .

a

c

Сумму этих трех векторов можно получить

следующим образом: из произвольной точки

откладывается вектор, равный первому слагае-

a

b

c

мому вектору, затем к концу первого вектора

Рисунок 2.5

присоединяется начало второго, к концу второго – начало третьего. Вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего, является сумммой данных векторов (рисунок 2.5). Подобным образом строится сумма

17

любого конечного числа векторов.

d

a

Определение. Разностью двух векторов a и

b называется такой вектор d , сумма которого

b

с вычитаемым вектором b

дает уменьшаемый

Рисунок 2.6

вектор a (рисунок 2.6).

Таким образом, по определению, равенство a b d означает, что b d a .

Свойства линейных операций

1. Сложение векторов перестановочно (коммутативно) a b b a 2. Сложение векторов сочетательно ( a + b ) + с = a + (b + с )

3.У вектора a есть нейтральный элемент a 0 а

4.Существует противоположный элемент a ( а) 0

5.Сложение векторов распределительно при умножении на скаляр:

(a b) a b

6.Умножение вектора на скаляр распределительно относительно сложения скаляров: ( )a a a

7.Существует нейтральный элемент при умножении на скаляр: 1 a = a

8.Существует противоположный элемент при умножении на скаляр:

-1 a = - a .

2.3 Понятие базиса

Определение. Векторы a1, a2 ,...,ak называются линейно зависимыми, если существуют числа 1, 2 ,..., k не все равные нулю, для которых имеет место равенство:

1a1 2a2 ... k ak 0

(2.1)

Правая часть равенства (2.1) называется линейной комбинацией век-

торов a1, a2 ,...,ak .

Векторы a1, a2 ,...,ak называются линейно независимыми, если равенство (2.1) имеет место только при 1 2 ... k 0.

Если несколько векторов линейно независимы, то хотя бы один из них всегда можно представить в виде линейной комбинации остальных. Пусть в равенстве (2.1) 1 0, тогда

a	2	a		3	a	...	k a ,
1	1	2		1	3		1
							k

т.е. a1 есть линейная комбинация векторов a2 , a3,..., ak .

Теорема 2.1 Всякие три вектора a, b, c на плоскости линейно зависимы.

Теорема 2.2 Для того, чтобы два вектора a и b на плоскости были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были неколлинеарны. Определение. Базисом на плоскости называются два любых линейно независимых (неколлинеарных) вектора.

18

Из теоремы 2.1 следует: Если векторы е1 и е2 образуют базис на плоскости, то любой третий вектор a можно разложить по базису е1, е2 ,

т.е. представить вектор a в виде линейной комбинации векторов е1			и е2
		e1 e2	(2.2)
	a
Числа α и β называют координатами вектора a в базисе е1, е2 .

Теорема 2.3 Всякие четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

Теорема 2.4 Для того, чтобы три вектора a, b, c в пространстве были ли-

нейно независимыми, необходимо и достаточно, чтобы они были некомпланарны.

Определение. Базисом в пространстве называются три любых линейнонезависимых (некомпланарных) вектора.

Из теоремы 2.3 следует: Если векторы е1, е2 , е3 образуют базис, то любой вектор a можно представить в виде линейной комбинации базисных векто-

ров (разложить по базису е1			, е2 , е3), т.е.
			e1 e2 e3	(2.3)
	a

Числа α, β, γ в равенстве (2.3) называют координатами вектора a .

Определение. Базис называется ортогональным, если его векторы попарно ортогональны (взаимно перпендикулярны).

Определение. Базис называется ортонормированным, если его векторы взаимно перпендикулярны и длины базисных векторов равны единице.

Наиболее часто применяемой на практике системой координат явля-

ется Декартова система координат.

Определение. Декартовой системой координат называется совокупность точки и базиса. Точка называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координат называются осями координат.

Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормиро-

ван, называется Декартовой прямоугольной системой координат.

Рассмотрим единичные векторы i , j, k , направление которых совпа-

дает с направлением осей ОХ, ОУ, ОZ в декартовой прямоугольной системе координат в пространстве (рисунок 2.7) и на плоскости (рисунок 2.8). Век-

торы i , j, k образуют ортонормированный базис, их называют ортами.

z

y

1

k

1

i

j

i

j

k

j

0

y

0

x

i

j

i

х

Рисунок 2.7

Рисунок 2.8

19

Теорема 2.5 Любой вектор плоскости можно представить в виде линейной комбинации орт i и j :

		ax		ay		,
			i		j		(2.4)
	a

где ах, ау – проекции вектора на соответствующие координатные оси или координаты вектора в декартовой прямоугольной системе координат.

Теорема 2.6 Любой вектор пространства можно представить в виде линейной комбинации орт i , j, k :

		ax		ay
			i		j	azk		,	(2.5)
	a

где ах, ау, аz - проекции вектора на координатные оси или координаты вектора a в декартовой прямоугольной системе координат.

2.4 Линейные операции над векторами в координатной форме

Пусть заданы векторы	a	(ax , ay , az ) и	b	(bx , by , bz ) ,

линейные операции над векторами можно заменить арифметическими действиями над их координатами.

1) При сложении (вычитании) векторов их соответствующие координ а- ты складывают (вычитают).

a b ax i ay j az k bx i by j bz k ax bx iay by j az bz k .

			(ax bx; ay by ;	az bz ).
a		b

2)При умножении вектора на вещественное число его координаты

умножаются

на

это

число

a

(ax

i

ay

j

az

k

) ax

i

ay

j

az

k

a

( ax , ay , az ) .

Пример 2.1 Даны векторы a 8i

3 j k

и b 4i 5k . Найти c 2a b .

Решение. Дано, что a =(8, 3, 1), b =(4, 0, -5).

Найдем 2 a =(16, 6, 3), тогда 3 a - b =(16, 6, 3) - (4, 0, -5) = (12, 6, 8).

2.5 Задание вектора координатами его начала и конца, модуль вектора

Зафиксируем в пространстве точку О(0,0,0) и рассмотрим произвольную точку М(x, y, z). Вектор ОМ назовем радиусвектором точки М. Координаты радиусвектора ОМ = (x, y, z) .

Чтобы найти координаты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала.

Если заданы точки А(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то