Васильева М.Е. КЛ_М_Ч1

30

Кривыми второго порядка называют такие кривые, уравнения которых описываются многочленами второго порядка. В общем случае кривая

второго порядка имеет вид:
Ах2 + Вху + Су2 + Dx + Ey + F = 0.	(4.1)

4.2 Каноническое уравнение окружности

Определение. Окружностью называют геометрическое место точек на плоскости, расстояние от которых до данной точки, называемой центром, есть величина постоянная, равная радиусу окружности.

Согласно определению окружности, расстоя-

	ние MC R (рисунок 4.1),					где M(x, y) –			текущая
	точка, C(a,b) – центр окружности,							R –	радиус
	окружности. Найдем МС как расстояние между
	двумя точками: MC (x a)2 (y b)2 ,							следователь-
	но,
						(x a)2 (y b)2 R2 .
Рисунок 4.1	(x a)2		(y b)2 R и
	Уравнение		(x a)2 (y b)2 R2						(4.2),
	где C(a,b) –		центр окружности, а радиус равен R
	(рисунок 4.1), называют каноническим уравнением
	окружности.
	Если центр окружности лежит в начале координат,
	то уравнение окружности имеет вид (рисунок 4.2):
Рисунок 4.2
	х 2 у 2 R 2								(4.3)

Общее уравнение окружности имеет вид:

ax2 + bx + ay2 + cy + d = 0. (4.4)

Замечание. Если общее уравнение кривой второго порядка (4.1) задает окружность, то:

1)коэффициенты при x2 и y2 равны между собою;

2)отсутствует произведение переменных xy.

Пример 4.1. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее урав-

нение задано в виде:

4x2 + 4y2 – 8x + 16y + 4 = 0.

Решение. Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к каноническому виду. Для этого выделим полные квадраты для переменных x и y, предварительно разделив

обе части уравнения на 4: x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0

(x2 – 2x + 1) – 1 + (y2 + 8y + 16) – 16 +1 = 0 (x – 1)2 + (y + 4)2 – 1 – 16 + 1 = 0

(x – 1)2 + (y + 4)2 =16

31

Отсюда, центр окружности находится в точке О(1; -4); а радиус R = 4.

4.3 Каноническое уравнение эллипса

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а. Расстояние между фокусами при этом называют фокусным и обозначают 2с ( с < a ).

Выведем каноническое уравнение эллипса. Для вывода канонического уравнения эллипса систему координат выберем следующим образом: ось OX направим по линии, соединяющей фокусы, а ось OY через середину отрезка, соединяющего фокусы перпендикулярно оси OX (рисунок 4.3).

у

							М(х,у)
			F1(-с, 0) 0 F2(с, 0)								x
					Рисунок 4.3
Согласно определению эллипса имеем MF MF 2a.
							1			2
	MF (x c)2 y2				,		MF (x c)2			y2 .
	1						2
Следовательно,		(x c)2 y2				(x c)2 y2 2a;

(x c)2 y2 2a (x c)2 y2 .

После возведения в квадрат обеих частей равенства и приведения подобных слагаемых получаем:

(x c)2 y2 4a2 4a(x c)2 y2 (x c)2 y2 ;

4cx 4a2 4a(x c)2 y2 ;

Разделив обе части равенства на 4, преобразуем его: a(x c)2 y2 a2 cx ;

Возведем обе части в квадрат:

a2 ((x c)2 y2 ) (a2 cx)2 ;

a2 (x2 2xc c2 y2 ) a4 2a2cx c2 x2 ; a2 x2 a2c2 a2 y2 a4 c2 x2 ;

(a2 c2 ) x2 a2 y2 a4 a2c2 ;

Обозначим a2 c2	b2 (по определению эллипса c < a)					и получим:
	b2 x2 a2 y2 a2 b2 ;
Разделив обе части уравнения на а2 b2, получим
		x2		y2	1.	(4.5)
		a2
				b2

32

Уравнение (4.5) называется каноническим уравнением эллипса.

4.4 Исследование канонического уравнения эллипса и построение эллипса

1. Эллипс симметричен относительно координатных осей и начала координат, так как, если точка М(х,у) принадлежит эллипсу, то и точки M0(x, y) , М1(-x,y), M2(-x, -y) лежат на эллипсе.

Покажем это, подставив координаты

точек M0 , М1,

М2, в уравнение эллипса.

M1( x, y)

( x)2

y2

1

тоже,

что

b2

a2

x2

y2

1.

2

2

a

b

Рисунок 4.4

M

(x, y)

x2

( y)2

1

то же, что и

x2

y2

1.

0

a2

b2

a2

b2

M

( x, y)

( x)2

( y)2

1 то же, что и

x2

y

2

1

2

a2

b2

a2

b2

2. Эллипс имеет четыре вершины. Покажем это, найдя точки пере-

сечения эллипса с осями координат.

y 0

y 0

y 0

y 0

с ОХ:

x2

y2

→ x

2

→

2

a

2

→

a

1

0 1

x

x

2

b

2

2

a

a

Итак,

A1( a, 0 ) и

A2( -a, 0 ) – точки пересечения с осью ОХ, вер-

шины эллипса.

x 0

x 0

x

0

x 0

с ОУ:

x2

y2

→ y2

→

2

b

2

→

b

1

1

y

y

2

b

2

2

a

b

Итак, B1(0, b ) и B2( 0, -b) – точки пересечения с осью ОУ, вершины

эллипса.

x2

y2

y2

x2

3. Исследуем функцию

1 или

1

,

y b 1

x2

,

a

2

b

2

b

2

a

2

a2

или y b

a2 x2

в первой четверти:

a

D(y) : a2 x2

0, x2

a2

, a x a , т.е. в первой четверти D(y) [0,a].

y(0) = b, y(a) = 0. Функция убывает на отрезке [0, a] от

b до 0.

33
Построим график функции в первой
четверти, а затем достроим его за счет
симметрии в остальных четвертях и
получим кривую (рисунок 4.5).
Расстояние А1А2 = 2а называется
большой осью, отрезок В1В2 = 2b
называется малой осью, отрезок
F1F2 =2c называется фокусным	Рисунок 4.5

расстоянием, причем c2 a2 b2 .

Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси, и называется

эксцентриситетом, ас , т.к. c a , то 1.

Чем ближе эксцентриситет к 0, тем больше эллипс по форме напоминает окружность.

Пример 4.2. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус

и нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением: x2 y2 1. 25 16

Решение. По условию а2 = 25, b2 = 16.
1)	Координаты нижней вершины: х = 0; у2 = 16, у = - 4; В2(0. -4)
2). Координаты левого фокуса: c2 = a2 – b2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F2(-3; 0).
3)	Уравнение прямой, проходящей через две точки В2(0;- 4) и F2(-3; 0),

имеет вид	x 0			y	4		;	x			y 4	;	4x 3y 12;	4x 3y 12 0
	3 0				4			3
			0							4

4.5 Каноническое уравнение гиперболы

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а. Расстояние между фокусами при этом называют фокусным и обозначают 2с ( с > a ).

Выведем каноническое уравнение гиперболы. Для вывода канонического уравнения гиперболы систему координат выберем следующим образом: ось OX направим по линии, соединяющей фокусы, а ось OY через середину отрезка, соединяющего фокусы перпендикулярно оси OX (рисунок 4.6).

По определению r1 – r2 = 2a. F1, F2 – фокусы гиперболы. F1F2 = 2c.

34

y

M(x, y)

r1

r2 x

F2(-c,0)

F1(c,0)

Рисунок 4.6

Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда:

r (x c)2

y2 ,

1

r (x c)2

y2 ,

2

(x c)2 y2 (x c)2 y2

2a .

(x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2

4a (x c)2 y2 4a2 4xc

a2 (x c)2 a2 y2 a4 2a2 xc x2c2

a2 x2 2a2 xc a2c2 a2 y2 a4 2a2 xc x2c2

a2 x2 a2c2 a2 y2 a4 x2c2 0

x2 (c2 a2 ) a2 (c2 a2 ) a2 y2 0

x2 (c2 a2 ) a2 y2 a2 (c2 a2 ).

Обозначим с2 – а2 = b2 (с > a по определению), тогда a2b2 b2 x2

a2 y2 .

Разделив обе части уравнения на

а2 b2 ,

получим

x2

y2

1.

(4.6)

2

2

a

b

Уравнение (4.6) – каноническое уравнение гиперболы.

4.6 Исследование формы гиперболы по её каноническому уравнению

1. Гипербола симметрична относительно координатных осей и начала координат, так как, если точка М(х,у) принадлежит гиперболе, то и точки М1(-x,y), M2(x, -y) и M3(-x,-y) обращают каноническое уравнение гиперболы в тождество.

2. Гипербола имеет две вершины. Покажем это, найдя точки пересечения гиперболы с осями координат.

35

y 0

y 0

y 0

y 0

с ОХ: x2

y2

→ x2

→

2

2

→

,

1

0 1

x

a

x a

2

b

2

2

a

a

A1( a, 0 ) и A2( -a, 0 ) – точки пересечения с осью ОХ, вершины гиперболы.

x 0

x 0

x 0

y2

→

y2

→

второе уравнение

с ОУ: x2

2

b

2

1

1

y

2

2

2

b

b

a

системы не имеет смысла, следовательно,

гипербола

с осью ОУ не пересе-

кается.

x2

y b

3. Исследуем функцию y b

1

или

x2 a2

в пер-

a2

a

вой четверти: D(y) : x2 a2

0,

x2 a2 ,

x a и x a,

т.е. в первой чет-

верти D(y) [a, ). Функция возрастает на полуинтервале [a, ) от 0

до .

Строим график функции в первой четверти, а затем достроим его за

счет симметрии в остальных четвертях (рисунок 4.7).

y=- bx/a

y

y=bx/a

В1(0,b)

А2(-а,0)

А1(а,0)

|

|

F2(-c,0)

F1(c,0)

x

B2(0,-b)

Рисунок 4.7

Отрезок A1A2= 2а называется действительной осью гиперболы. Отрезок B1B2= 2b называется мнимой осью гиперболы. Отрезок F1F2 =2c называется фокусным расстоянием, причем

c2 a2 b2 .

Определение. Асимптотой к кривой называется прямая, точки которой неограниченно приближаются к точкам кривой при неограниченном удалении от начала координат.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых y ba x.

36

Определение. Отношение ac 1 называется эксцентриситетом гипер-

болы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.

Если а = b, ε = 2 , то гипербола называется равнобочной (равносторонней). Уравнения асимптот равнобочной гиперболы имеют вид y x , то есть асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны.

Если оси координат направить по асимптотам, то в новой системе координат уравнение гиперболы примет вид X Y k .

4.7 Каноническое уравнение параболы

Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Для вывода канонического уравнения параболы систему координат выберем следующим образом: ось ОХ направим через фокус перпендикулярно директрисе, ось ОУ направим параллельно директрисе, расположив начало координат посередине между фокусом и директрисой.

			у
	p			М(х, у)
А	2	, y
		О	p		x
			F	,0
			2
		p/2	p/2
		Рисунок 4.8
Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется
параметром параболы.
Выведем каноническое уравнение параболы.
Из определения MF=MA, следовательно и MF2=MA2.
		Так как AM = x + p/2;
		MF2 = y2 + (x – p/2)2 ,			то

37
(x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2
x2 +xp + p2/4 = y2 + x2 – xp + p2/4, отсюда
y2 = 2px	(4.7)

Уравнение (4.7) – каноническое уравнение параболы.

Уравнение директрисы: x = -p/2. Фокус имеет координаты F( p/2, 0 ).

4.8 Различные виды параболы

Если оси координат поменять местами, то уравнение параболы (4.7) примет вид:

x2 = 2py

(4.8)

Итак, парабола, каноническое уравнение которой y2 = 2px , при p > 0 имеет вид, как на рисунке 4.9, а при p < 0, как на рисунке 4.10.

y

y 2 2 px

p

x=-2 (p ) F ;

2 0

0 x

Рисунок 4.9

y

F(-p;0)

p x=2

2

x

0

Рисунок 4.10

Парабола, каноническое уравнение которой х2 = 2ру , при p > 0 имеет вид как на рисунке 4.11, при р < 0, как на рисунке 4.12

y

y

p

у=2

0

x

F(0;p)

x

;

p

2

F(0-2)

0

у=-

p

2

Рисунок 4.11

Рисунок 4.12

Замечание. Общее уравнение второй степени определяет параболу, если оно представлено в одном из следующих видов: Ax2 Ey 0 или

Cy2 Dx 0, или y ax2 bx c , или x ay2 by c .

Если вершина параболы не лежит в начале координат, то её уравнение имеет вид y ax2 bx c или x ay2 by c, где a 0, b и c любые дей-

ствительные числа.

38

4.9 Контрольные вопросы и задания

1.Запишите общее уравнение кривой второго порядка.

2.Дайте определение окружности. Запишите ее каноническое уравнение. Сделайте схематический чертеж окружности.

3.Дайте определение эллипса. Запишите его каноническое уравнение. Сделайте схематический чертеж эллипса.

4.Дайте определение гиперболы. Запишите ее каноническое уравнение, уравнения асимптот гиперболы. Сделайте схематический чертеж гиперболы.

5.Дайте определение параболы. Запишите каноническое уравнение параболы, осью симметрии которой является ось ОХ. Сделайте её схематический чертеж. Запишите каноническое уравнение параболы, осью симметрии которой является ось ОУ. Сделайте её схематический чертеж. Укажите на чертеже расположение фокуса и директрисы.

6.Какими особенностями должно обладать общее уравнение второй степени, чтобы оно определяло на плоскости: а) окружность, б) эллипс, в) гиперболу, г) параболу?

Лекция 5

ТЕМА: ЭЛЕМЕНТЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ

5.1Понятие множества

5.2Операции над множествами и их свойства

5.3Язык логики высказываний

5.4Таблицы истинности для логических связок

5.5Равносильные формулы алгебры логики

5.6Контрольные вопросы и задания

5.1Понятие множества

Немецкий математик Г. Кантор определил множество как "многое, мыслимое как единое". Для описания понятия множества применяют сло- ва-синонимы, такие как: совокупность, набор, группа, союз, стая, рой и т.д. Отметим, однако, что этими словами следует пользоваться аккуратно при описании множеств, поскольку они несут некую смысловую нагрузку, а множество - понятие абстрактное. Например, сочетания «группа студентов», «набор данных», «союз композиторов», «набор студентов», «рой пчел» вполне употребимы для описания конкретных множеств, а сочетания «союз пчел» и «рой композиторов» не только ничего не описывают, но могут восприниматься как издёвка.

Множества принято обозначать заглавными буквами латинского ал-

39

фавита. Здесь х Х будет означать, что х входит в состав множества Х. Эта запись читается так: "х принадлежит множеству Х", или "х является элементом множества Х".

Как правило, для обозначения часто встречающихся множеств используются стандартные символы. В частности, множество действительных чисел обозначается через R, множество натуральных чисел – N, а множество целых чисел (включая 0) – через Z. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают .

Определение Говорят, что множествоY является подмножеством множества Х (частью множества Х), если каждый элемент множества Y является элементом X. Тот факт, что Y есть часть X, записывают следующим образом Y X и читают "Y вложено в X". Если Y X, но Y X, то вложение Y в X, называют строгим и записывают Y X. В этом случае говорят ещё, что Y есть правильная часть (собственное подмножество) множества X.

Определение Множества, имеющие одинаковые элементы, называют рав-

ными.

Мы будем рассматривать лишь такие множества X, Y, Z, …, которые являются подмножествами некоторого множества U. Множество U называют

универсальным.

		Условимся универсальное множество изобра-
		жать графически, как совокупность точек плос-
Z		кости, ограниченных некоторой замкнутой ли-
	U	нией. Тогда любые другие рассматриваемые
		нами множества изображаются аналогично.

Рисунок 5.1

5.2 Операции над множествами и их свойства

Пусть Х и Y— некоторые множества.

Определение Объединением называют множество X Y, состоящее из элементов, входящих либо во множество X, либо во множество Y.

Определение. Пересечением множеств Х и Y называют множество X Y, состоящее из элементов, входящих и во множество X, и во множество Y. Если X Y = , то множества Х и Y не имеют общих элементов и их называют непересекающимися.

Определение. Разностью множеств Х и Y называют множество Х / Y, составленное из тех элементов X, которые не входят в Y.

Определение. Дополнением множества X называют множество Х U / X . Очевидно, оно состоит из элементов универсального множества, не входящих в X.