Васильева М.Е. КЛ_М_Ч1

70

Эти формулы доказываются одинаково на основании определения дифференциала (9.9) и формулы (9.11).

Дифференциал функции обладает ещё одним свойством, которым не обладает ее производная. Это свойство называется инвариантностью (не-

изменностью) формы дифференциала.

Для вычисления дифференциала не важно, является х конечным аргу-
ментом или промежуточным. То есть, если y f u ,	u u(x)	- сложная
функция, то формула
		(9.12)
dy f u du

дает тот же результат, что и формула (9.11).

Это означает, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от независимой переменной х рассматривать функцию от зависимой переменной.

9.4 Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция y f x дифференцируема в точке	x , входящей в об-
	от функции f x
ласть определения функции D(y). Производную f x

также можно считать функцией аргумента х и в частности у этой функции

может существовать производная ( f x ) , которую называют второй про-
				d 2 y		, т.е.
изводной и обозначают f ,	y ,			dx2
							(9.13)
				y	(y ) .
Аналогично введем понятие третьей производной:
	y
				(y )		и т.д..

Для обозначения производных более третьего порядка используются

арабские цифры в скобках или римские цифры: y 4 x или yIV x , y 5 x или yV x и т. д.

Определение. Дифференциал от дифференциала функции y f x назы-

вается дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом)
и обозначается символом d 2 y или d 2 f x				:
2						2
d y d dy d y x dx y x dx dx y x dx dx y x dx
Таким образом,
		d 2 y y dx2		.		(9.14)

Аналогично определяются и находятся дифференциалы 3-го, 4-го порядка и так далее.

Замечание. Дифференциалы высших порядков, начиная со второго, не обладают свойством инвариантности.

71

Пример 9.1 Найти d 2 y для функции y ln2 x .

Решение. Определим производные первого и второго порядков.

										1	x ln x 1
		1					2ln x							1 ln x
										x
y		2ln x x		y		(		2					2
			,				x )				x2			x2	.

Следовательно, d 2 y y x dx2 2(1 ln x) dx2 . x2

9.5 Механический смысл второй производной

Пусть тело движется прямолинейно по закону S S t , где S – путь, а t – время, тогда скорость тела в момент времени t равна v t S t .

Ускорение тела в момент времени t равно

a t v t (S (t)) S (t).

Таким образом, мгновенное ускорение есть вторая производная

пути по времени.
	(9.15)
a t S t .
Пример 9.2. Пусть тело движется прямолинейно	по закону

S(t) 3t3 2t 2 10t . Найти в какой момент времени ускорение данного те-

ла равно нулю и вычислить скорость тела в этот момент времени. Решение. Найдем скорость и ускорение тела в момент времени t: v(t) S (t) (3t3 2t 2 10t) 9t 2 4t 10 (м/сек);

a(t) S (t) (9t 2 4t 10) 18t 4 (м/сек2).

Вычислим момент времени, при котором ускорение равно нулю:

a(t		) 18t 4 0,			t			4		2		(сек).
	0					0
							18				9
Вычислим скорость тела в момент времени t0:
			2	2	2			2			10		4		8	10	9	5		86
v(t0 ) v				9			4						9		9			9		9	(м/сек).
			9	9				9

9.6 Производная функции, заданной параметрически

Пусть функция задана параметрически:

x x(t)

y y(t) .

Найдем её производную:
	dy			dt
			yt			yt
yx							.
	dx			dt
			xt			xt

Т.е. первая производная равна:

		72
		yt
yx
		xt

Вторая производная находится аналогично:

dy

dy

dt

d

2

y

d

(y )

dx

dx t

x t

.

dx2

x

yx

dx

x dt

t

t

9.7 Производная функции, заданной неявно

(9.16)

(9.17)

Пусть функция y = f (x) задана неявно в виде уравнения F (x;y) = 0. Для нахождения производной первого порядка следует продифференцировать обе части заданного уравнения, считая х независимой переменной , а у функцией от х. Из полученного выражения алгебраически находят y .

Продифференцировав по х первую производную, получим вторую производную от неявной функции. В неё войдут x,y и y′. Подставляя уже найденное значение y′ в выражение второй производной, выразим y″ через x и y.

Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и дальше) порядка.

9.8Контрольные вопросы и задания

1.Что называется дифференциалом функции. Что называют дифференциалом второго?

2.Что называют производной второго, третьего, n-го порядка? В чем заключается механический смысл производной второго порядка?

3.Запишите формулы для вычисления производных первого и второго порядков параметрической функции.

4.Сформулируйте правило нахождения производной неявной функции.

73

ЛИТЕРАТУРА

1.Бутузов, В.Ф. Линейная алгебра в вопросах и задачах : учеб. пособие для вузов / В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин; под ред. В.Ф. Бутузова. - 3-е изд., испр. – СПб. : Лань, 2008. - 247 с.

2.Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления : учеб. пособие для студ. техн. вузов : в 2-х т. Т. 1 / Н.С. Пискунов. - М. : Ин- теграл-Пресс, 2005. – 415 с.

Более свежее издание:

Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления : учеб. пособие для студ. высших техн. учеб. заведений [в 2-х т.] / Н.С. Пискунов. - Изд. стер. – М. : Интеграл-Пресс, 2010. – Т. 1. – 415 с.

3.Поспелов, А.С. Сборник задач по высшей математике : учеб. пособие для бакалавров. Ч. 1 / А.С. Поспелов. – М. : Юрайт, 2011. – 605 с.

4.Щипачев, В.С. Высшая математика. Полный курс : учебник для бакалавров / В.С. Щипачев. – М. : Юрайт, 2012. – 607 с.

74

Учебное издание

Васильева Марина Евгеньевна

МАТЕМАТИКА

Курс лекций

втрёх частях

Часть 1

Линейная и векторная алгебры. Аналитическая геометрия.

Введение в математический анализ

Подписано к печати		Формат 60×84 1/16
Объем	Тираж	Заказ

Отдел оперативной полиграфии НИМИ ФГБОУ ВПО ДГАУ, 346428, г. Новочеркасск, ул. Пушкинская, 111