Васильева М.Е. КЛ_М_Ч1

60

Лекция № 8

ТЕМА: ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.

8.1 Определение производной и ее геометрический смысл

8.2Механический смысл производной

8.3Производная сложной и обратной функций

8.4Производная логарифмической функции и показательной функции

8.5Логарифмическое дифференцирование.

Производная степенной функции

8.6Контрольные вопросы и задания

8.1Определение производной и ее геометрический смысл

Пусть дана функция y=f(x). Точка х=х0 входит в область определения функции вместе с некоторой окрестностью. Дадим аргументу приращениех и найдем приращение функции в точке х0

у f (x0 x) f (x0 ) .

Определение. Производной функции у f (x) в точке х = х0 называется

предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю, т.е.

		f (x0 x) f (x0)		y
	f (x0) lim		lim		(8.1)
		x		x
	x 0		x 0

В тех случаях, когда производная существует, говорят, что функция дифференцируема.

Из определения производной вытекает общее правило нахождения

производной функции.

При вычислении производной по общему правилу будем понимать производную как функцию, поэтому вместо х0 в определении производной будем писать х.

Для нахождения производной по общему правилу следует выполнить следующие действия:

1.Дадим аргументу х приращение х и найдем «наращенное» значение функции f(x + х );

2.Найдем приращение функции y f (x x) f (x);

y

3. Вычислим x ;

4. Найдем lim y y

x 0 x

61

Геометрический смысл производной

						Р
f	(x0 x)
		f

f (x0)

0 0

Рисунок 8.1

Рассмотрим функцию y=f(x) и соответствующую этой функции кривую в прямоугольной системе координат (рисунок 8.1). Пусть на кривой задана точка М(х0, у0). Дадим аргументу приращение х и найдем «наращенное» значение функции f (x0 x). Соответствующей точкой на кривой y =

f(x) будет P x0 x, f (x0 x) . Проведем секущую МР и обозначим черезугол, образованный секущей с положительным направлением оси Ох. Из

рисунка 8.1 видно, что tg fx . При х →0 точка P x0 x, f (x0 x)

будет перемещаться вдоль кривой, приближаясь к точке М(х0, у0), угол будет стремиться к некоторому пределу , секущая МР будет стремиться занять положение касательной, т.е.

lim tg lim		f	f (x0 ) tg
x 0	x 0	x
Следовательно,
				(8.2)
	f (x0 ) tg ,

где - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке М(х0, у0). Так как tg k - угловому коэффициенту касательной, проведенной к гра-

фику функции y= f(x) в точке М(х0, у0), то равенство (8.2) также означает,

что производная функции y= f(x), вычисленная в точке х0 , равна угловому

коэффициенту касательной, проведенной к графику функции	y= f(x) в
точке с абсциссой х0, т.е.
	(8.3)
f (x0) kкасательной
Отсюда следует, что уравнение касательной к кривой имеет вид:
	(8.4)
y y0 f (x0 )(x x0 )

Определение. Нормалью к кривой в точке М(х0, у0) назовем прямую, проходящую через эту точку перпендикулярно касательной при условии, что касательная к кривой в точке М(х0, у0) существует.

62

Следовательно, уравнение нормали к кривой имеет вид:

y y0		1	(x x0 )			(8.5)
		f (x0 )
8.2 Механический смысл производной
Пусть тело движется прямолинейно по закону S S(t), тогда
				S	,	(8.6)
	v(t0) S (t0) lim			t
			t 0

т.е. мгновенная скорость есть производная пути по времени. Аналогично, мгновенное ускорение есть производная скорости по времени, т.е.

	v	(8.7)
a(t0) v (t0) lim	t
t 0

Замечание. Фактически производная функции показывает скорость изменения функции, т.е. как изменяется функция при изменении переменной.

8.3 Производная сложной и обратной функций

Теорема 8.1 (производная сложной функции) Пусть задана сложная функ-

ция y f u(x) , пусть функция у имеет производную по переменной х. Тогда сложная функция y f u(x) также имеет производную по переменной

х, которая находится по формуле:
		fu	ux	(8.8)
yx f u(x)

Если функция y = f(x) имеет обратную, то существует такая функция x (y), что выполняется тождество:

( f (x)) x .

Теорема 8.2 (производная обратной функции)

Предположим, что функция (y) имеет не равную нулю производную, тогда функция f(x) также имеет производную равную

			1
				(8.9)
	f x
			y

8.4 Производная логарифмической и показательной функций

Будем искать производную функции y(x) ln x по общему правилу:

1.	Дадим аргументу x приращение x , тогда y(x			x) ln(x x);
			x x			x
2.	y y(x x) y(x) ln(x x) ln x ln			ln 1			;
			x			x

63

					x
	y		ln 1
3.					x	;
	x			x

x

x

y

ln 1

0

ln 1

y lim

x

x

1

4.

lim

lim

lim

x

x

x

x 0

x 0

0

x 0

x

x 0 x

x

1

=1

Таким образом,

(ln x)

x

;

Следовательно,

1

(lnu)

u

u

, где u u(x) - сложная функция;

1

ln x

x

1

1

;

u

.

(loga x)

ln a

x ln a

(loga u)

u lna

u

u

lna

ln a

Найдем производную функции y(x) ax

1x .

(8.10)

(8.11)

(8.12)

Прологарифмируем равенство y ax :
ln y ln(ax ) x ln a , отсюда x	ln y	.
	ln a
По теореме о производной обратной функции имеем f				1	.
		x
				y

Или для нашей функции

y 1 x x y

1

1

ln a

y ln a a x ln a ,

(ln y)

1

ln y

ln a

y

ln a

y

т.е.	(ax ) ax ln a		и	(8.13)
(au ) au ln a u , где u u(x) - сложная функция;				(8.14)
Следовательно,	(ex ) ex lne ex и	(eu ) eu u .		(8.15)

8.5Логарифмическое дифференцирование. Производная степенной функции

Иногда для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать с целью её упрощения (с использованием свойств логарифмов), а затем результат продифференцировать.

Этот метод называют логарифмическим дифференцированием.

				64
	Пусть задана функция y f (x) .						(8.16)
	Суть метода состоит в следующем:
1.	Логарифмируем данную функцию (8.16)				ln y ln f (x) ;
2.
	Дифференцируем обе части равенства (ln y)					(ln f (x)) , т.е.
		y
		y		(ln f (x)) ; отсюда
3.
	y		y (ln f (x)) ; или согласно (8.16)
4.							(8.17)
	y			f (x) (ln f (x)) .
	Метод			логарифмического дифференцирования			рекомендуют

применять для нахождения производной показательно-степенной функции, а также функций, для которых непосредственное вычисление производной с использованием правил дифференцирования представляется трудоемким.

Найдем производную степенной функции

y(x) xn методом лога-

рифмического дифференцирования.

Итак,

y xn . Следовательно:

1.

ln y ln(xn ) n ln x ;

2.

(ln y)

(nln x) ;

3.

y

n

1

;

y

x

1

n

1

n 1

4.

y

y n x x

n x n x

, т.е.

(xn ) n xn 1

и

(8.18)

(un ) n un 1 u ,

где u u(x) - сложная функция.

(8.19)

8.6Контрольные вопросы и задания

1.Дайте определение производной функции в точке.

2.Каков геометрический смысл производной?

3.Каков механический смысл производной?

4.Сформулируйте общее правило нахождения производной.

5.Сформулируйте правило нахождения производной сложной функции.

6.Сформулируйте правило нахождения производной обратной функции.

7.В каких случаях применяется метод логарифмического дифференцирования?

8.Сформулируйте алгоритм метода логарифмического дифференцирования.

65

Лекция № 9

ТЕМА: ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ПРАВИЛ И ФОРМУЛ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ И НЕЯВНО

9.1Таблица основных правил и формул дифференцирования

9.2Понятие дифференциала функции y f x .

9.3Свойства дифференциала. Инвариантность формы дифференциала.

9.4Производные и дифференциалы высших порядков.

9.5 Механический смысл второй производной.

9.6Производная функции, заданной параметрически

9.7Производная функции, заданной неявно

9.8Контрольные вопросы и задания

66

9.1 Таблица основных правил и формул дифференцирования

Таблица 9.1 – Таблица производных

Правила дифференцирования

1. x 1

2. c

0

3. U U U U

U

4. U U

U U U U

40. C U C

U

U U U

U

U

U

0

x

1

5.

U

2

6.

c

6

.

c

U

c

c

c

c U

c

7.

7

0

.

c

x

U

U

2

x2

Формулы дифференцирования

Название функции

Простые функции

№

Сложные функции

п/п

U U( x )

хn 1

1

Степенная

хn n

U n n U n 1 U

1

1

(n - число)

1

0

( х )

( U )

U

2

2

x

U

Показательная

2

lna U

(а – число)

а х а х ln a

аU аU

х

ех е

2

0

еU еU U

(ln x )

1

(lnU )

1

U

Логарифмическая

3

x

U

1

1

logа х

30

logа U

U

х

ln a

U ln a

cosx

cosU U

sinx

4

sinU

Тригонометрические:

sinx

sinU U

cosx

5

cosU

1

1

( tgx )

6

tgU

U

cos2 x

cos2 U

1

1

( ctgx)

7

ctgU

U

sin2 x

sin2 U

(arcsinx )

1

8

(arcsinU )

1

U

Обратные

1 x2

1 U 2

1

9

тригонометриче-

(arccosx )

(arccosU )

1

U

1 x2

ские:

1 U 2

1

( arctgx)

1

10

1 x2

( arctgU ) 1 U 2

U

( arcctgx)

1

1

1 x2

11

( arcctgU) 1 U 2

U

Докажем ряд правил и формул дифференцирования.

67

Правила дифференцирования:

Теорема 9.1 Производная независимой переменной х равна 1, т.е. если функция у = х, то х 1 Доказательство. Найдем производную независимой переменной х или

функции у = х по общему правилу:
1.	Дадим аргументу х приращение х и тогда y(x x) x x ;
2.	y y(x x) y(x) x x x;
3.	y	x	1;
	x	x
4.	lim	y
		x	lim 1 1, т.е у	x 1, что и требовалось доказать.
	x 0		x 0

Теорема 9.2 Производная от произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первой функции на вторую плюс

произведение первой функции на производную второй, т.е.

если y u , то y u u .

Доказательство. Найдем производную функции y(x) u(x) (x) по об-

щему правилу нахождения производной:

1.Дадим аргументу х приращение х и тогда y(x x) u(x x) (x x) ;

2.y u(x x) (x x) u(x) (x) ;

3.y u(x x) (x x) u(x) (x)x x

u(x x) (x x) u(x) (x x) u(x) (x x) u(x) (x)x

	(x x) (u(x x) u(x)) u(x) ( (x x) (x))				(x x) u u(x)
		x				x

4. lim	y	lim	(x x) u u(x)		lim (x x)	u	lim u(x)
	x			x		x		x
x 0		x 0			x 0		x 0

(x) lim	u	u(x) lim					u		, что и
	x		x	(x) u (x) u(x) (x) u
x 0		x 0

требовалось доказать.

Следствие. (с u) c u .

Доказательство. (с u) c u c u 0 c u c u

Формулы дифференцирования:

ФОРМУЛА 6. Найдем производную функции y(x) tgx :

2

2

x

1

sin x

(sin x)

cosx sin x (cosx)

cos x sin

(tgx)

.

cos2 x

cos2 x

cos2 x

cosx

68

Таким образом,

				1
			tg(x)
						.	(9.1)
					cos2 x
	Следовательно,
	(tgu)	1	u , где u u(x) - сложная функция.				(9.2)
		cos2 u

Аналогично находят производную функции y(x) ctgx:

ФОРМУЛА 9. Найдем производную функции y(x) arccos x . Предположим, что функция y(x) arccosx имеет обратную x cos y .

По теореме о производной обратной функции имеем fx																								1	.
																								y
Таким образом,
	1		1			1						1									1
																						,
yx	xy		(cos y) y		sin y					1 cos2											1 x2
															y
Т.е.								1																(9.3)
			(arccosx)					1 x2
и, следовательно,				(arccosu)								1							u ,					(9.4)
													1 u2

где u=u(x) – сложная функция.

Аналогично находят производную функции y(x) arcsin x .

ФОРМУЛА 10. Найдем производную функции y(x) arctgx . Предположим, что функция y(x) arctgx имеет обратную x tgy.

По теореме о производной обратной функции имеем																						fx	1	.
																							y
Таким образом,
	1		1			1					1						1			1
																						,
yx	xy		(tgy) y																	x2
						1				sec2				y 1 tg2 y				1
						cos2 y
Т.е.			(arctgx)						1														(9.5)
							1		u 2
														1
											1			u2
и, следовательно,						(arctgu)											u ,						(9.6)

где u=u(x) – сложная функция.

Аналогично находят производную функции y(x) arcctgx

69

9.2 Понятие дифференциала функции y f x

Пусть функция y f x дифференцируема в точке x , входящей в область определения функции D(y).

По определению производной

f (x) lim y .

x 0 x

На основании основной теоремы теории пределов можно записать:

y			(9.7)
x	f x x ,
где x - бесконечно малая величина при x 0.
Умножим обе части равенства (14.1) на		x :
			(9.8)
y f x x x x.

Можно показать, что второе слагаемое равенства (9.8) является величиной бесконечно малой более высокого порядка, чем первое слагаемое и, следовательно, им можно пренебречь.

Определение. Дифференциалом dy функции y f x называется главная часть приращения функции y , линейная относительно x , т.е.

	(9.9)
dy f x x .
Найдем дифференциал аргумента х.	Для этого рассмотрим функцию

у х и найдем ее дифференциал. Согласно формуле (9.9):

dy d(x) x x 1 x x .

Таким образом, мы получили, что дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:

dx x .	(9.10)
Поэтому формулу для нахождения дифференциала функции (9.9) пе-
репишем в виде:
	(9.11)
dy f x dx .

9.3 Свойства дифференциала. Инвариантность формы дифференциала

Основные свойства дифференциалов можно получить на основании формулы (9.11) и соответствующих свойств производных.

Свойства дифференциала, в основном, аналогичны свойствам произ-
водной.	Если U U x и U U x	- дифференцируемые функции х, то
имеют место следующие формулы:
1)	dС 0	3)	d(U U ) dU U U dU
	d(U U ) dU dU		U				dU U U dU
2)		4)	d
							U 2
			U