Васильева М.Е. КЛ_М_Ч1

50

Таблица 6.1 - Свойства бесконечно малых (0(х)) и бесконечно больших ( ) функций

					0(х)
	1.		0(x) 0(x) 0(x)			1.	;
	2.	0(x) f(x) 0(x), f (x) - ограни –				2.	f (x) , f (x) - ограни –
			ченная функция в точке х0					ченная функция в точке х0
	3.	0(x) 0(x) 0(x)				3.
	4.	0(x) c 0(x), c const				4.	c ,					c const
	5.		0(x)		0(x), lim f (x) 0	5.					,	lim f (x) 0
			f(x)					f (x)
					x x 0							x x0
	6.	1				6.		1	0
			0(x)
			6.5 Основная теорема теории пределов
Теорема. Число b является пределом функции y f (x) при x a тогда и

только тогда, когда f (x) можно представить в виде суммы числа b и бесконечно малой величины (x) при x a, т.е.

lim f (x) b		f (x) b (x) ,	(6.2)
x a
где (x) - бесконечно малая величина при x a .
Доказательство:
1. Докажем прямую теорему:
lim f (x) b		f (x) b (x) ,
x a
где (x) - бесконечно малая величина при x a .
По условию теоремы предел	f (x)	при x a равен b, следовательно,

по определению предела функции имеем, что по любому сколь угодно ма-

лому положительному

найдется

такое , зависящее

от , что

f (x) b

, как только

x a

.

x a

.

Кратко: 0 ( ) , что

f (x) b

,

Обозначим

f (x) b (x) и подставим (x) вместо

( f (x) b)

в

определение предела функции.

Кратко: 0 ( ) , что

(x)

,

x a

.

Получили определение бесконечно малой величины.

Из равенства

f (x) b (x) , следует, что f (x) b (x) , где (x)

-

бесконечно малая величина при x a,

что и требовалось доказать.

51

2. Докажем обратную теорему:

f (x) b (x) ,

где (x) - бесконечно малая величина при

x a

lim f (x) b .

x a

По условию теоремы (x) - бесконечно малая величина при

x a .

Запишем её определение.

Кратко: 0

( ) , такое что

(x)

, как только

x a

.

Из равенства f (x) b (x) выразим (x) : (x) f (x) b .

Подставив величину ( f (x) b) вместо (x) в определение беско-

нечно малой величины, получим определение предела функции.

Кратко: 0

( ) , такое что

f (x) b

, как только

x a

, та-

ким образом b есть предел f(x) при х → а,		lim f (x) b , что и требовалось
		x a
доказать.
6.6 Свойства пределов
Свойство 1: Пусть lim f (x) b, lim (x) c, тогда
x a	x a
lim( f (x) (x)) b c ,			(6.3)
x a
т.е. предел суммы функций равен сумме их пределов.
Доказательство: Из того что	lim f (x) b	следует, что	f (x) b (x), где
	x a

(x) - бесконечно малая величина при x a . Из того что lim (x) c сле-

x a

дует, что (x) c (x) , где (x) - бесконечно малая величина при x a .

Найдем	сумму	функций		f (x) (x) (b (x)) (c (x)) или
f (x) (x) b c (x) , где			(x) (x) (x)			- бесконечно малая вели-
чина при x a по свойству 1 бесконечно малых величин.
Согласно	обратной		теореме		теории	пределов	из равенства
f (x) (x) b c (x)		следует, что		lim f (x) (x) b c ,			что и требова-
				x a
лось доказать.
Свойство 2: Пусть lim f (x) b,					lim (x) c, тогда предел произведе-
		x a			x a
ния функций равен произведению пределов сомножителей, т.е.
		lim f (x) (x) b c .					(6.4)
		x a

Доказательство: По основной теореме теории пределов из равенства

lim f (x) b следует, что f (x) b (x), где (x) - бесконечно малая вели-

x a

52

чина при x a;	из равенства lim (x) c следует, что (x) c (x) ,				где
	x a
(x) - бесконечно малая величина при x a .
Найдем произведение функций		f (x) (x) (b (x)) (c (x))
b c b (x) (x) c (x) (x) b c (x),
где (x) b (x) c (x) (x) (x)		- бесконечно малая	величина		при
x a согласно свойствам 1 и 2 бесконечно малых величин.
Согласно	обратной теореме	теории пределов	из	равенства
f (x) (x) b c (x) , где (x) - бесконечно малая величина при				x a , сле-

дует, что lim f (x) (x) b c, что требовалось доказать.
x a
Следствие : Постоянный множитель можно выносить за знак пре-
дела, т.е.
limk f (x) k lim f (x).		(6.5)
x a	x a
Доказательство: Покажем сначала, что limk k .
	x a
По основной теореме теории пределов равенство k k (x)выполня-
ется для любого k, т.к. величина (x) 0 . Таким образом (x) - бесконечно

малая величина при x a, и согласно (6.2)

limk k .

x a

Отсюда limk f (x) limk lim f (x) k lim f (x), что и требовалось до-

x a

x a

x a

x a

казать.

Свойство 3: Пусть lim f (x) b ,

lim (x) c , причем c 0, тогда

x a

x a

lim

f (x)

b

.

(6.6)

x a

(x) c

Пример 6.1 Вычислить lim

2x3

7x 3

.

5x2 2

x 1

Решение. Используя свойства пределов получим:

2x

3

7x 3

lim(2x3 7x 3)

lim 2x3 7lim x 3

2 7 3 1.5.

lim

x 1

x 1

x 1

5x2 2

lim(5x2

2)

lim 5x2 2

x 1

5 2

x 1

x 1

В дальнейшем при вычислении пределов будем опускать промежуточные вычисления, связанные со свойствами пределов, т.е. будем сразу вместо аргумента подставлять его предельное значение в данное выражение.

53

6.7 Контрольные вопросы и задания

1.Что называется функцией, областью определения функции, множеством значений функции?

2.Дайте определение предела функции. Поясните геометрическую интерпретацию предела функции.

3.Дайте определение бесконечно малой величины. Сформулируйте свойства бесконечно малой величины.

4.Сформулируйте основную теорему теории пределов, свойства пределов.

5.Дайте определение бесконечно большой величины. Можно ли бесконечно малую величину выразить через бесконечно большую величину и наоборот?

Лекция № 7

ТЕМА: ПОНЯТИЕ О НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯХ. ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ

7.1 Понятие о неопределенностях. Правило Лопиталя

7.2Односторонние пределы

7.3Специальные пределы

7.4Непрерывность функции в точке и на множестве 7.5Разрывы функции и их классификация 7.6Свойства непрерывных функций. Непрерывность

элементарных функций

7.7Контрольные вопросы и задания

7.1 Понятие о неопределенностях. Правило Лопиталя

Под неопределенностями понимают такие пределы, в которых использование свойств пределов невозможно. В соответствии со способом нарушения свойств пределов различают следующие неопределенности:

0 ,0

		(0 ) , (1 ) .
	,

Под раскрытием неопределенности понимают преобразование данного выражения к такому новому выражению, к которому можно применять свойства пределов.

0

Правило Лопиталя (для раскрытия неопределенностей вида ,

0

)

54

Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, дифференцируемых на некотором отрезке [a, b] равен пределу отно-

шения их производных, при условии, что последний существует.

	f x
lim			lim	f x	.
	x
x x0			x x0	x
При этом предполагается, что функции				f x и x дифференцируемы в не-

которой окрестности точки х0, за исключением, быть может, самой точки х0.

Другими словами, если lim f (x) lim (x) 0 или

x x0

x x0

f x

lim f (x) lim (x) ,

то

lim

lim

f

x

.

x

x x0

x x0

x x0

x x0

x

Замечание. Правило Лопиталя можно применять последовательно не-

сколько раз.

lim

2x

Пример 7.1 Найти предел по правилу Лопиталя:

x 0 e5x 1.

2x

0

(2x)

2

2

2

Решение.

lim

lim

lim

.

e5x 8

(e5x 1)

5e5x

5e0

x 0

0

x 0

x 0

5

7.2 Односторонние пределы

Односторонними называют такие пределы, которые вычисляются в предположении, что аргумент в процессе своего изменения принимает значения лишь с одной стороны от предельного значения а. В соответствии с этим различают левый односторонний и правый односторонний пределы.

Определение. Число b называют левым (правым) односторонним преде-

лом при x aфункции y f (x) , если по любому сколь угодно малому по-

( ) ,

f (x) b

,

ложительному

найдется

такое

что

как только

x a ( a x a ).

Левый односторонний предел обозначают:

lim f (x) ;

правый одно-

x a 0

сторонний предел обозначают:

lim f (x) .

x a 0

Коротко:

lim

f (x) b ,

если

0

( )

такое, что

f (x) b

,

x a 0

как только x (a , a) ;

lim f (x) b ,

если 0

( ) такое, что

f (x) b

, как только

x a 0

x (a, a ) .

7.3 Специальные пределы

Теорема. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой этой дуге при условии, что она неограниченно уменьшается, равен 1, т.е.

55

Первым специальным пределом называют	lim sin	1	(7.1)
	0

Этот предел используется для раскрытия неопределенности вида 0

0

при нахождении предела тригонометрических выражений. Следствия первого специального предела

lim

1

(7.2)

lim arcsin 1

(7.5)

0 sin

0

lim tg

1

(7.3)

lim

1

(7.6)

0

0 arcsin

lim

1

(7.4)

lim

1

(7.7)

0 tg

0 arctg

Вторым специальным пределом называют

1

lim (1 ) e

(7.8)

0

или lim(1

1

e

(7.9)

)

Он раскрывает неопределенность вида 1 ,

где e 2,7182...

Пример 7.2 Вычислить предел lim

tg2 5x

.

x arcsin3x

Решение.

x 0

tg2 5x

0

tg5x tg5x 5x 5x 3x

lim

lim

x arcsin3x 5x 5x

3x

x 0 x arcsin3x

0

x 0

limtg5x limtg5x

lim

3x

lim5x 5x

25 .

x 0

5x

x 0

5x

x 0 arcsin3x

x 0

x 3x

3

7.4 Непрерывность функции в точке и на множестве

Пусть дана функция y f (x)

и точка

x0 , которая входит в область

определения функции вместе с некоторой окрестностью. Будем называть x0 старым значением аргумента, а x1 x0 x новым или наращенным значением аргумента, при этом величина x столь мала по модулю, что точка x1 вместе с x0 входят в область определения функции.

Величину x x1 x0 будем называть приращением аргумента. Условимся называть f (x0 ) старым значением функции, а f (x1) f (x0 x) будем называть новым или наращенным значением функции.

x0 , если

x0 , соответствующим при-

56

Определение. Приращением функции в точке

ращению аргумента x , называется разность между наращенным значением функции и старым значением функции.

y f (x0 x) f (x0 )

(7.10)

Определение. Функция y f (x) называется непрерывной в точке x0 , если

бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.

				lim y 0.						(7.11)
				x 0
	Замечание. Это определение называют определением непрерывности
функции в точке на языке приращений
Определение. Пусть для функции				y f (x)	точки x0 и x1			входят в область
определения функции, при этом				x1 x0 x . Поэтому,				если	x 0, то
x1 x0 . Значение функции f (x0 )				есть величина постоянная, не зависящая
ни от x1 , ни от x , следовательно,				f (x1) f (x0 ).
			lim							(7.12)
			x1 x0
	Докажем равенство (7.12):
lim y lim ( f (x0 x) f (x0)) lim ( f (x1) f (x0)) lim f (x1) f (x0) .										(7.13)
x 0	x1 x0		x1 x0		x1 x0
	Если функция	y f (x) непрерывна в точке				x0 ,	то согласно (7.11),
lim y 0. Левые части			равенства (7.11)		и (7.12)	равны, следовательно
x 0
можно приравнять		и	правые	части	равенства		(7.11)		и	(7.13):
lim	f (x1) f (x0 ) 0 или		lim f (x1) f (x0 ), что и требовалось доказать.
x1 x0			x1 x0

Замечание. Равенство (7.12) называют определением непрерывности функции в точке на языке пределов.

Определение. Функция y f (x) называется непрерывной в точке предел функции в точке x0 равен значению функции в этой точке, т.е.

		lim f (x) f (x0 ) .		(7.14)
		x x0
Замечание. Очевидно, что		lim x1 x0 . Перепишем равенство (7.12) в сле-
	x1 x0
дующем виде:	lim			(7.15)
		f (x1) f lim	x1 .
	x1 x0	x1 x0

Замечание. Если функция непрерывна в точке x0 , то знаки предела и функции можно менять местами.

Определение. Функция y = f(x) называется непрерывной на множестве,

если она непрерывна в каждой точке этого множества.

A B f (x0)

57

7.5 Разрывы функции и их классификация

Понятие непрерывности функции является локальным, т.е. в одних точках функция может быть непрерывной, а в других нет.

Определение. Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Различают точки разрыва первого и второго рода.

При классификации разрывов будем пользоваться определением функции непрерывной в точке на языке пределов. Из определения предела функции и определения односторонних пределов вытекает, что равенство (7.14) равносильно выполнению следующих условий:

1)точка x0 входит в область определения функции;

2)существует левый односторонний предел равный А:

lim f (x) A;

x x0 0

3) существует правый односторонний предел равный В:

lim f (x) B;

x x0 0

4) A B f (x0 ).

В тех случаях, когда нарушается хотя бы одно из перечисленных условий 1 – 4 говорят, что функция y f (x) терпит разрыв в точке x0 . В зави-

симости от того какие условия нарушаются, различают разрывы I и II рода. Говорят, что функция y f (x) терпит разрыв I рода в точке x0 , если усло-

вия 1,2,3 выполняются, а четвертое нарушено. При этом различают устранимый разрыв I рода и неустранимый.

Разрыв I рода называют устранимым, когда условие 4 нарушено следующим образом: (рисунок 7.1). Чтобы такой разрыв

устранить, надо переопределить функцию в точке x0 .
Разрыв I рода называется неустранимым, если A B (рисунок 7.2).
h		B A		- скачок функции.
		у			y
				y f (x)	A
	A B				h	y f (x)
					В
				x		x
				x0

Рисунок 7.1	Рисунок 7.2

58

Будем говорить, что функция в точке x0 терпит разрыв II рода, если не выполняется любое из условий 1,2,3.

			x2 ,					если x 2		в
Пример 7.3 Исследовать на непрерывность функцию y
			1, если x 2
точке x0 2.
Решение. Область определения функции у - вся числовая прямая, т.е.
D(y) ( , ) , x0 2 D(y) . Вычислим односторонние пределы:
lim	y(x) lim x2 4
x 2 0	x 2		y
	x 2
lim	y(x) lim1 1	y x2
x 2 0	x 2		4
	x 2
Получим, что A 4 B 1, следова-
тельно, данная функция в точке x0 2 терпит			1						y 1
разрыв I рода (рисунок 7.3).
										x
Скачок функции в точке x0 2:
			1 2
h 4 1 3.		Рисунок 7.3
Пример 7.4 Исследовать на непрерывность функцию y			2					в точке
			x 4
x0 4.
Решение. D(y) ( ,4) (4, ) x0 4 D(y) ,		следовательно,						в точке x0 4

функция терпит разрыв II рода. Определим характер разрыва (поведение функции вблизи точки разрыва). Для этого найдем односторонние пределы

в точке x0 4.

y

lim

2

lim

2

x 4 0 x 4

x 4

0(x)

1

x 4

1

2

3

4

2

2

x

lim

lim

–1

x 4 0 x 4

x 4

0(x)

x 4

На рисунке 11.4 видно, что прямая x 4 является асимптотой графика функции.

Рисунок 7.4

7.6Свойства непрерывных функций. Непрерывность элементарных функций

Если над непрерывными функциями производить операции сложения, умножения и деления (при условии, что делитель не равен нулю), то полученные в результате этого функции являются непрерывными.

59
Теорема 7.1. Если функция (x) и (x)	непрерывны в точке х0, то их сум-
ма и произведение также непрерывны	в точке х0. Если, кроме того,
(x0 ) 0, то функция (x) / (x) непрерывна в точке х0.

Теорема7.2. Если функция u= (x) непрерывна в точке х0, а функция y = f(u) непрерывна в точке u0 (x0) , то сложная функция y f [ (x)] непрерывна в точке х0, т.е. сложная функция y f [ (x)], образованная из двух непрерывных функций f(u) и (x) , есть непрерывная функция.

Определение. Элементарной называется такая функция, которую можно задать одной формулой, содержащей конечное число арифметических действий и суперпозиций (операции взятия функции от функции) основных элементарных функций.

Так как основные элементарные функции непрерывны во всех точках, в которых они определены, то из теорем 7.1 и 7.2 следует: всякая элемен-

тарная функция непрерывна во всех точках, принадлежащих ее области определения.

Замечание. Этот важный результат позволяет легко находить предел элементарной функции при х→х0, если функция определена в точке х=х0. Для этого достаточно вычислить значение функции в этой точке:

lim f (x) f lim x f (x0 )
x x0	x x0
Справедливость приведенных выше свойств можно легко доказать,
используя теоремы о пределах.
Определение. Функция	y f (x)	называется непрерывной на от-

резке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на концах отрезка непрерывна соответственно справа и слева.

7.7 Контрольные вопросы и задания

1.Что понимают под неопределенностями?

2.Дайте определение предела функции, левого и правого односторонних пределов.

3.Запишите первый специальный предел и перечислите его следствия.

4.Запишите второй специальный предел и его следствия

5.Дайте определение функции непрерывной в точке?

6.Что называется точкой разрыва?

7.Назовите типы разрывов и нарисуйте их графики.

8.Что можно сказать о поведении элементарной функции в её области определения?.