МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ»

КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

КУРСОВАЯ РАБОТА ЗАЩИЩЕНА С ОЦЕНКОЙ

РУКОВОДИТЕЛЬ

Доцент, канд. техн. наук				Галанина В.А.
должность, уч. степень, звание		подпись, дата		инициалы, фамилия

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА К КУРСОВОЙ РАБОТЕ

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИИ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ (МНК)

по дисциплине: ИНФОРМАТИКА

Работу выполнил:

Студент группы М461				Пахомов В.А.
		подпись, дата		инициалы, фамилия
						инициалы, фамилия

Санкт-Петербург 2015

Содержание

1 Цель работы…………………………………………………………….…..…...2

2 Методические указания……………………………………………….....……..3

2.1 Методические рекомендации по аппроксимации методом наименьших квадратов………………………………………………………..….3

2.1.1 Постановка задачи…………………………………………….……..3

2.2 Методика выбора аппроксимирующей функции………………..…...4

2.3 Общая методика решения……………………………………….…….5

2.4 Методика решения нормальных уравнений…………………….……7

2.4.1 Рекомендации по выбору формы записи системы линейных алгебраических уравнений…………………………………………………..…..7

2.4.2 Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы…………………………………………………………………………...8

2.5 Методика вычисления коэффициентов нормальных уравнений…..10

2.6 Оценка погрешности аппроксимации…………………………….…11

3 Ручной счёт………………………………………………………………….…12

3.1 Табличное представление исходных данных………...…………..…12

3.2 Критерий аппроксимации……………………………………………12

4 Схема алгоритма программы…………………………………………………18

5 Код программы……………………………………………………………...…27

6 Результаты машинного счёта…………………………………………....……30

7 Вывод………………………………………………………………….….……30

1 Цель работы

Данная работа предназначена для закрепления учебного материала, изученного по курсу “Информатика и программирование”.

Практическое выполнение курсовой работы предполагает решение типовых инженерных задач обработки данных с использованием методов матричной алгебры, решение систем линейных алгебраических уравнений.

Цель курсового проекта – практическое освоение методов вычисления прикладной математики, совершенствования навыков разработки алгоритмов и построения программ на языке высокого уровня; использования принципов модульного программирования и совершенствования техники использования подпрограмм закрепления знаний по программированию на языке С.

Кроме указанного, курсовая работа предназначена для приобретения навыков по оформлению документации на программные среды.

2 Методические указания

2.1 Методические рекомендации по аппроксимации методом наименьших квадратов

2.1.1 Постановка задачи

Исходная функциональная зависимость представлена таблично параметрами значений и .

По данным таблицы можно построить график зависимости  от  (рис. 1.1). На графике отдельные точки соответствуют значениям в точках (i = 1,...,n).

Пусть из теоретических или иных соображений (например, по графику) выбран вид аппроксимирующей функции y =φ(x). Эта функция, которая в качестве параметров помимо x содержит еще ряд числовых параметров ,…,. Требуется определить параметры () аппроксимирующей функции (1),

Рис. 2.1

(1.1)

пользуясь методом наименьших квадратов. Поиск параметров осуществить, используя условия локального минимума критерия аппроксимации (т.е. решая систему нормальных уравнений). Оценить погрешность аппроксимации посредством критерия качества J

(2)

и максимального по модулю отклонения аппроксимирующей функции от исходной.

2.2 Методика выбора аппроксимирующей функции

Аппроксимирующую функцию φ(x) выбирают из некоторого семейства функций, для которого задан вид функции (2), но остаются неопределёнными (и подлежат определению) её параметры C 1, C 2 … C m, т. е.

Φ(x) = φ(x, C 1, C 2 … C m) (2.1)

Определение аппроксимирующей функции φ разделяется на два основных этапа:

1. Подбор подходящего вида функции φ(x);

2. Нахождение её параметров в соответствии с критерием МНК.

Подбор вида функции φ(x) представляет собой сложную задачу, решаемую методом проб и последовательных приближений. Исходные данные, представленные в графической форме (семейства точек или кривые), сопоставляется с семейством графиков ряда типовых функций, используемых обычно для целей аппроксимации.

Более подробные сведения о поведении функций, которые могут быть использованы в задачах аппроксимации, можно найти в справочной литературе. В задании курсовой работы вид аппроксимирующей функции φ(x) задан.

2.3 Общая методика решения

После того как выбран вид аппроксимирующей функции φ(x) (или эта функция задана) и, следовательно, определена функциональная зависимость (2), необходим найти в соответствии с требованиями МНК значения параметров C 1, C 2 … C m. Как уже указывалось, параметры должны быть определены таким образом, чтобы значение критерия в каждой из рассматриваемых задач было наименьшим по сравнению с его значением при других возможных значениях параметров.

Для решения задачи подставляем выражение (2.1) в соответствующее из выражений и проведём необходимые операции суммирования или интегрирования (в зависимости от вида J). В результате величина J, именуемая в дальнейшем критерием аппроксимации, представляется функцией (2.2) искомых параметров

J =J(C 1, C 2 … C m) (2.2)

Последующее сводится к отысканию минимума этой функции переменных Сk; определение значений Сk=Ck *, к=1...m, соответствующих этому элементу I, и является целью решаемой задачи.

Возможны следующие два подхода к решению этой задачи: использование известных условий минимума функции нескольких переменных или непосредственное отыскание точки минимума функции каким – либо из численных методов.

Для реализации первого из указанных подходов воспользуемся необходимым условием минимума функции (2.3) нескольких переменных, в соответствии с которыми в точке минимума должны быть равны нулю частные производные этой функции по всем ее аргументам:

(2.3)

Уравнения (2.3) используемые в МНК, называются нормальными, поэтому описываемый способ решения задачи будем называть методом нормальных уравнений.

Структура этих уравнений получается более простой в том случае, когда аппроксимирующая функция ϕ(x) выбирается линейной функцией искомых параметров, и выражение (2.3) имеет вид:

где – определяемые параметры; ϕ1(x), ϕ2(x), …, ϕm(x) – система линейно-независимых функций, называемых в курсовой работе базисными функциями.

В этом случае, подставляя (2.4) в выражение (2.3) и выполняя дифференцирование в соответствии с (2.3), получим систему уравнений относительно искомых.

Применим операцию дифференцирования (2.3) к параметру, и, выполняя необходимые алгебраические преобразования, получим уравнение:

(2.5)

Аналогичные уравнения можно получить, применяя описанные выше действия по отношению к переменным ,…,. Эти уравнения образуют систему нормальных уравнений:

(2.6)

где коэффициенты и величины (k, l = 1, 2,…, m) определяются выражениями:

(2.7)