МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ»

КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ ИНФОРМАТИКИ

КУРСОВАЯ РАБОТА ЗАЩИЩЕНА С ОЦЕНКОЙ

РУКОВОДИТЕЛЬ

Доцент к.т.н				Прокушев Л.А.
должность, уч. степень, звание		подпись, дата		инициалы, фамилия

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА К КУРСОВОЙ РАБОТЕ

АППРОКСИМАЦИЯ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ (МНК)

по дисциплине: ИНФОРМАТИКА И ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Курсовую работу выполнил:

студент группы 4216				Соловьев Д.М.
		подпись, дата		инициалы,фамилия

Санкт-Петербург

2013

Содержание

1. Постановка задачи

2. Представление исходных данных (табличное)

3. Описание критерия аппроксимации и способа его минимизации

4. Описание метода вычисления коэффициентов нормальных уравнений

5. Описание метода определения параметров аппроксимирующей

функции (решение системы нормальных уравнений методом Гаусса)

6. Схемы алгоритмов

7. Контрольный расчет параметров аппроксимирующей функции (без использования компьютера)

8. Программы и результаты расчетов параметров на компьютере

9. График

10. Описание алгоритма и программы оценки погрешности аппроксимации

11. Вывод

1)Постановка задачи.

При изучении зависимостей между величинами важной задачей является приближенное представление (аппроксимация) этих зависимостей с помощью известных функций или их комбинаций, подобранных надлежащим образом. Подход к такой задаче и конкретный метод ее решения определяются выбором используемого критерия качества приближения и формой представления исходных данных.

Пусть изучается связь между величинами  и , из которых первая рассматривается в качестве независимой переменной, а вторая – ее функции. Исходные данные представлены значениями , заданными на некотором множестве  значений X. Тогда ошибка приближения этой зависимости некоторой аппроксимирующей функции y =  (x) для каждого из значений X может быть оценена разностью   y   x , x   .

Значения y = y_i заданы для конечного множества (n) значений x_i , (i=1, 2,…, n). Тогда для каждого из этих значений определена и ошибка (см.рисунок)

_i =  (x_i ) = y_i –  (x_i) , ( i =1, 2, …, n) .

На основе изучения ошибок  формируются различные критерии качества аппроксимации, служащие для определения наилучшей аппроксимирующей функции  (x). Один из распространенных подходов опирается на использование метода наименьших квадратов (МНК), в соответствии с которым наилучшей считается такая аппроксимирующая функция  (x), для которой достигается наименьшее значение суммы квадратов ошибок  во всех точках x, принимаемых во внимание.

Это требование принимает вид

.

В настоящей курсовой работе исходные данные заданы в виде табличной зависимости y_i (x_i). Уточним условия МНК для этой задачи.

Задача. Зависимость между переменными x и y задана их значениями в отдельных точках ,. Требуется найти функцию, наилучшим образом (МНК) аппроксимирующую указанную зависимость.

Наилучшая аппроксимирующая функция должна быть определена из условия

. (1)

Подобное задание исходных данных встречается в задачах технических измерений и их статистической обработки, когда для каждого из задаваемых значений осуществляется измерение величины(сопровождающееся возможными ошибками). Аппроксимация позволяет представить изучаемую связь междуx и y с помощью известных функций, что облегчает последующее использование данных, кроме того позволяет «сгладить» возможные ошибки измерений, а также дает возможность оценивать значения переменной в точкахx интервала , не совпадающих с заданными (т.е. решать задачу интерполяции).