17. Численные методы расчёта пропускной способности цифровых каналов электросвязи

Развитие современных систем сухопутной подвижной радиосвязи (СПРС) массового гражданского применения, наряду с компьютерной техникой, является основной составной частью третьей промышленной революции – информационной. Завершение информационной революции связано с созданием международной цифровой телекоммуникационной системы IMT 2000 (International Mobile Telecommunication system), которая объединит в единую сверхсистему все виды обмена информацией: цифровое телевидение и радиовещание, цифровую телефонную и телеграфную связь, системы передачи данных, территориальные системы стационарной и подвижной радиосвязи и т. п.

Развитие современных систем СПРС можно подразделить на несколько этапов.

Системы СПРС I поколения (1981-1991 гг.) – аналоговые магистральные (транкинговые) и сотовые территориальные системы связи (ТСС) стандартов “SmartTrunk”, MPT 1327, LTR, AMPS, NMT 450 и др. Эти системы использовали стандартную рабочую полосу радиочастот шириной Δ f = 25 кГц (в США – 30 кГц) и частотную модуляцию с малым индексом. Пропускная способность таких систем ограничивается формулой К. Шеннона:

C_Ш(Q) = Δ f log.

Системы СПРС II поколения (1991-2000 гг.) – цифровые системы подвижной радиосвязи стандартов TETRA, D-AMPS (IS 136), GSM 900 и т. п.

Системы СПРС III поколения (1991-2010 гг.) – цифровые системы ТСС стандартов EDGE, WCDMA, CDMA 2000-3x.

В настоящее время разрабатываются стандарты для систем СПРС IV поколения.

Основные характеристики цифровых систем СПРС приведены в табл. 2.

Как следует из данных табл. 2, если в современных системах СПРС в основном используется многопозиционная фазовая манипуляция (N-PSK – Phase Shift Keying), то в перспективных радиосистемах связи будет использоваться преимущественно многопозиционная квадратурная амплитудная модуляция (N-QAM – Quadrature Amplitude Modulation).

В системах радиосвязи других видов (силовых ведомств, авиации и т. п.) будут использоваться такие виды цифровой модуляции, как 16-PSK, 32-PSK, 128-QAM, 256-QAM и т. п.

Таблица 2

Основные технические характеристики цифровых систем СПР

Поко- ление	Стандарт или спецификация	Рабочая полоса частот, МГц	Модуляция	Теоретическая скорость передачи данных, Мбит/с
2G	TETRA	0,025	4-PSK	0,029
	GSM 900	0,2	GMSK	0,171
3G	EDGE	0,2	8-PSK	0,474
	WCDMA	5,0	4-PSK	0,192
	CDMA 2000-3x	3,75	4-PSK	3,69
4G	HPSA+	5,0	16-, 32-, 64-QAM	21,0
	LTE	20,0	4-PSK 16-,64-QAM	100,0

В цифровых системах СПРС задающий генератор передатчика вырабатывает два синхронных колебания, начальные фазы которых сдвинуты друг относительно друга на 90º. Одно из них называется косинусным колебанием: s_c(t) = = cos (2 π f₀ t), а другое – синусным: s_s(t) = sin (2 π f₀ t), где f₀ – частота несущей (у сотовых систем стандарта GSM 900: f₀ ≈ 900 МГц, у систем III и IV поколений f₀ ≈ 2000 МГц).

На модулятор передатчика поступают эти колебания, а также элементарные посылки длительностью τ_э положительной (“единица”) и отрицательной (“ноль”) полярностей (скажем, в радиосистемах стандарта WCDMA τ_э = 261 нс).

Если используется простая четырёхпозиционная фазовая манипуляция (4-PSK ) или четырёхпозиционная квадратурная амплитудная модуляция (4-QAM ), которые являются эквивалентными, то входящий информационный поток (… 100111010011000101 …) подразделяется на пары (00), (01), (10) и (11). Косинусная составляющая умножается на первый символом (если “1”, то s₁(t) = s_c(t)/; если “0”, тоs₁(t) = – s_c(t)/), а синусная – вторым (если “1”, тоs₂(t) = s_s(t)/; если “0”, тоs₂(t) = – s_s(t)/). Затем поток модулированных таким образом элементарных посылок суммируется и – после усиления по мощности – излучается.

Таким вот образом получается высокочастотная элементарная посылка: s_Σ(t) = s₁(t) + s₂(t) = ± s_c(t)/±s_s(t)/.

В общем случае элементарный радиосигнал s_mn(t) с цифровой модуляцией принято записывать в виде:

s_mn(t) = I(t) cos (2 π f₀ t) + Q(t) sin (2 π f₀ t)

где I(t) – синфазный (in-phase), Q(t) – квадратурный (quadrature) модулирующий сигналы, которые, в свою очередь, представляются как: I(t) = I_m rect(t/τ _э), Q(t) = Q_n rect(t/τ _э), где rect(t/τ _э) – прямоугольный импульс длительностью τ _э с единичной амплитудой, I_m и Q_n – амплитуды синфазного и квадратурного компонентов цифрового радиосигнала s_mn(t). Чтобы сохранить единство терминологии в настоящем пособии, мы будем интерпретировать величину I_m как амплитуду косинусной составляющей радиосигнала и обозначать её через U_c, а Q_n – как амплитуду синусной составляющей и обозначать её через U_s. В то же время, в «классической радиотехнике» синфазным компонентом считается колебание s₀(t) = A sin (2 π f₀ t). Это следует всегда помнить.

На рис. 30 условно показаны возможные варианты векторного сложения сигналов s₁(t) и s₂(t): позиции амплитуды суммарного высокочастотного сигнала (совокупность позицийназываетсясигнальным созвездием). Это аналогично записи комплексной амплитуды гармонического колебания бесконечной длительностиs(t) = || cos (2 π f₀ t + arg) на плоскости (Re, Im).

Если используется фазовая манипуляция 8-PSK (см. рис. 30.в), то информационный поток подразделяется на тройки (000), (001), …, (111) и синтезируются элементарные высокочастотные посылки в соответствии с сигнальным созвездием, изображённым на рис. 30.в.

U_s ≡ Q U_s ≡ Q

1

– 1 0 1 U_c ≡ I

u

– 2 2 U_c ≡ I

– 1

а)

б )

U_s ≡ Q 1 U_s ≡ Q

2

– 1 1 U_c ≡ I

– 2 2 U_c ≡ I – 1

в)

– 2

г)

Рис. 30. Типовые конфигурации сигнальных созвездий

многоуровневых цифровых радиосигналов: а) 4-PSK ≡ 4-QAM;

б ) 16-QAM; в) 18-HAM; г) 8-PSK.

Если используется квадратурная амплитудная модуляция (например модуляция 16-QAM – см. рис. 30.б ), то сигнальное созвездие лежит не на единичной окружности, как при фазовой манипуляции, а в узлах квадратной решётки. Если углы такой решётки исключить, то можно получить более энергоэкономичную модуляцию (например модуляцию 32-QAM ).

Более перспективной для будущих систем СПРС пятого поколения является модуляция N-QAM с гексагональным созвездием (N-HAM – Hexagonal Amplitude Modulation), сигнальное созвездие которой, для случая 18-позицион-ной N-HAM, показано на рис. 30.г. Преимущества модуляции N-HAM перед обычной N-QAM очевидны: более экономно используется общая энергия сигнала; однако модуляция и демодуляция сигналов с гексагональной амплитудной модуляцией несколько сложнее, чем сигналов с обычной модуляцией N-QAM. В том числе, это следует из правил принятия решения в цифровом демодуляторе (см. заштрихованные области на рис. 30). Для случая, например, модуляции 4-QAM правило демодуляции сводится к анализу сочетания знаков косинусной и синусной составляющих результатов синхронного детектирования высокочастотного сигнала. В случае фазовой манипуляции N-PSK анализируется отношение косинусной и синусной составляющих [то есть arctg (Q_n/I_m)]. В случае многопозиционной модуляции N-QAM (N > 4) – к анализу знаков добавляется анализ относительных величин амплитуд косинусной и синусной составляющих. В случае модуляции N-HAM (N = 6, 18, 36, 60, 90, 126 и т. д.) для принятия решения при демодуляции сигналов следует вычислить величины

(u cos φ₀ – I_m)² + (u sin φ₀ – Q_n)²,

где φ₀ – начальная фаза колебаний принятой высокочастотной посылки u(t) = = s(t) + n(t), для всех позиций (m, n) сигнального созвездия, и выбрать наименьшую из них. На рис. 30.г, для примера, штриховкой показаны области принятия положительного решения в случае модуляции 18-HAM.

Далее. При приёме многопозиционных радиосигналов возникают различные искажения сигналов, вызванные как внешними радиопомехами, так и тепловыми шумами входных цепей радиоприёмника, погрешностями синхронизации по частоте и по фазе несущей, нестабильностью задающих генераторов передатчика и приёмника и т. п. В простейшем случае все эти искажения принятых высокочастотных сигналов можно представить аддитивным высокочастотным гауссовским стационарным процессом n(t), так что принятый высокочастотный сигнал можно записать в виде: u(t) = s_{m n}(t) + n(t), а ситуацию при демодуляции принятых сигналов можно описать в виде вектора (см. рис. 30), где – одна из позиций сигнального созвездия;– случайный вектор, имеющий гауссовское распределение на плоскости {I ≡ U_c ≡ x; Q ≡ U_s ≡ y} с плотно-

стью вероятности вида:

.

На рис. 30.а-г функция p_n(x, y) представлена парой сечений, изображённых двумя концентрическими кругами радиусов и.

Для вычисления элементов переходной матрицы П = {P_{j k}; j, k = 1, 2, …, N } цифровой системы радиосвязи с многопозиционными сигналами следует (обычно численными способами в пакете прикладных программ MathCad, MathLab и т. п.) проинтегрировать плотность вероятности p_n(x, y) по соответствующим областям принятия решений при демодуляции сигналов с центрированием функции p_n(x, y) в точках сигнального созвездия (I_m, Q_n).

Например, при модуляции 4-QAM переходная матрица П имеет вид:

,

где P₁₁ = P₂₂ = P₃₃ = P₄₄ = ;

P₁₂ = P₂₃ = P₃₄ = P₂₁ = P₃₂ = P₄₃ = P₁₄ = P₄₁ = ;

P₁₃ = P₂₄ = P₃₁ = P₄₂ = .

Вычислив элементы матрицы П скорость передачи информации можно вычислить с использованием формулы (7.4) или (8.2). Методика таких вычислений представлена в разд. 9.

Однако прежде чем переходить к конкретным примерам вычисления скорости передачи информации и пропускной способности современных цифровых каналов радиосвязи, выведем асимптотическую оценку пропускной способности каналов радиосвязи с многопозиционной цифровой модуляцией.

Согласно негэнтропийной методике Шеннона (см. разд. 12) можно получить асимптотические оценки функции C_ц(Q) при бесконечном количестве позиций (N → ∞) сигнального созвездия на плоскости {U_c, U_s} (индекс “ц” означает – «цифровая»).

Итак, пусть на плоскости {U_c, U_s} совокупность передаваемых по каналу электросвязи сигналов изображается точками (U_c ≡ x, U_s ≡ y), имеющими гаусс-

совскую плотность вероятности:

,

где x = I, y = Q.

В таком случае дифференциальная энтропия источника сообщений (сиг-

налов ) есть:

,

или ,

где h(s) – дифференциальная энтропия «одномерного сигнала» (см. разд. 11).

Соответственно дифференциальная энтропия «двумерного» (векторного) шума есть:h_ц(n) = 2 log= 2 h(n).

Значит, в двумерном случае:

ℰ_ц(Δu, σ_s, σ_n) = h_ц(s + n) – h_ц(n) = 2 [h(s + n) – h(n)],

или ℰ_ц(Δu, σ_s, σ_n) = 2 =,

или ℰ_ц(Δu, σ_s, σ_n) = 2 ℰ(Δu, σ_s, σ_n) = 2,

где ℰ(Δu, σ_s, σ_n) – информационная ёмкость статического аналогового канала передачи КПДС с «одномерными сигналами» с бесконечным количеством уровней при (одномерном) гауссовском их распределении;

ℰ_ц(Q) – информационная ёмкость статического канала КПДС с бесконечным числом позиций сигнального созвездия на плоскости {I, Q} при их круговом двумерном гауссовском распределении.

Как видим, для современных цифровых каналов КПДС с многопозиционными сигналами информационная пропускная способность канала КПДС определяется «двумерной динамической формулой Шеннона»:

C_ц(Q) = 2 F_Н ℰ(Q) = 2 F_Н = 2 C(Q).

Это объясняется тем, что в цифровых системах радиосвязи в качестве переносчиков сообщений можно использовать как амплитуды элементарных радиопосылок, так и начальные фазы несущей радиосигналов.

В аналоговых телефонных системах (без использования тональной или надтональной модуляции), а также в многоуровневых телеграфных каналах электросвязи такая возможность отсутствует. Однако в аналоговых радиосистемах такая возможность появляется, а потому в радиосистемах, исполь-зующих амплитудную модуляцию с одной боковой полосой радиочастот, пропускная способность, по сравнению с классическими телефонными и телеграфными системами электросвязи, почти удваивается.

Перейдём к рассмотрению информационных ёмкостей и пропускных способностей каналов КПДС с некоторыми конкретными цифровыми методами модуляции.

В разд. 12 ( рис. 16) мы рассматривали простейший пример многоуровневого телеграфа с идеализированными равномерно распределёнными помехами в канале электросвязи. Поскольку источник ДИС без информационной избыточности (то есть у источника ДИС все априорные вероятности знаков на входе канала КПДС равны между собой: P_j = 1/N ) согласован с таким каналам КПДС,

то мы получили информационную ёмкость такой системы передачи ℰ =

= , где Q – отношение сигнал/помеха, то есть при Q >> 1 величина

информационной ёмкости ℰ такая же, какую даёт статическая система передачи

информации при приблизительно гауссовском распределении априорных вероятностей P_j ≠ 1/N и гауссовских помехах в канале КПДС – статическая формула Шеннона.

Поскольку Г. Найквист доказал (разд. 16), что максимальная скорость телеграфирования (то есть символьная скорость) равна удвоенной частоте среза полосы пропускания линии электросвязи (частоты Найквиста) F_Н, то пропускная способность многоуровневого телеграфа, или системы передачи дискрет-

ных сообщений с многоуровневой амплитудной манипуляцией N-ASK будет

равна: C(Q) = 2 F_Н =F_Н . Это соответствует динамической

асимптотической формуле Шеннона для пропускной способности аналогового канала с аддитивным белым гауссовским шумом.

Проведём сравнительные оценки пропускной способности современных каналов КПДС упрощенным способом, аналогичным рассмотренному в разд. 16. За основу сравнительного анализа следует взять многопозиционную фазовую манипуляцию: при N = 4 созвездие 4-PSK является элементарной ячейкой модуляции N-QAM с квадратным созвездием, а при N = 6 – с гексагональным.

В то же время, один уровень модуляции N-QAM с квадратным созвездием формально является «многоуровневым телеграфом»: системой типа «ЦАП–линия электросвязи–АЦП».

Если взять аддитивную помеху, равномерно распределённую на проме-

жутке (– W, + W ], то, как показали численные расчёты (см. разд. 12), с увеличе-

нием N величина ℰ растёт как ℰ = log N до тех пор, пока соседние уровни не

станут находиться на расстоянии Δu друг от друга, равном 2 W. При дальней-

шем увеличении N величина ℰ резко уменьшается: вследствие «перепутыва-

ния» уровней телеграфа, соответствующих выходным символам v_k; k = 1, 2, ….

Значит, при равномерно распределённых на промежутке (–W, W ] аддитивных помехах пропускная способность многоуровневого телеграфа есть:

C(Q) = 2 F_Н log N₀ = F_Н , гдеN₀ = – количество уровней, при ко-

тором расстояние между соседними уровнями Δu становится равным 2 W

(см. статью Найквиста [54]). Как видим, это соответствует пропускной способности системы аналоговой радиосвязи с гауссовским распределением «бесконечного числа уровней» при наличии в канале аддитивного белого гауссовского шума (АБГШ).

Поскольку в современных цифровых системах радиосвязи многопозиционные сигналы представляются созвездием на плоскости {I_m, Q_n}, то, по аналогии с многоуровневым телеграфом, описываемым одномерным созвездием, сравнительный анализ пропускной способности таких систем можно провести при аддитивных помехах, равномерно распределённых в круге радиуса r. В этом случае пропускная способность C_ц(Q) = 2 F_Н log N₀ будет определяться состоянием созвездия N₀, при котором расстояния между соседними позициями будет равно величине 2 r.

Средняя мощность такого рода помех есть:

.

Средняя мощность сигнала определяется конфигурацией созвездия и величиной 2 r, то есть зависит от способа цифровой модуляции сигналов.