- •§1. Модели в механике. Системы отсчёта. Траектория, длина пути, вектор перемещения
- •§2. Скорость
- •§ 3. Ускорение и его составляющие
- •§ 4. Угловая скорость и угловое ускорение
- •§ 1. Первый закон Ньютона. Масса. Сила
- •§ 2. Второй закон Ньютона
- •Подставляя (2.6) в (2.5), получим
- •§ 3. Третий закон Ньютона
- •§ 4. Силы трения
- •§ 5. Закон сохранения импульса
- •Работа и энергия
- •§ 1. Энергия, работа, мощность
- •§ 2. Кинетическая и потенциальная энергии
- •Потенциальная энергия может быть определена исходя из (2.3) как
- •§ 3. Закон сохранения энергии
- •Механика твёрдого тела
- •§ 1. Момент инерции
- •§2. Кинетическая энергия вращения
- •§3. Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тепа
- •Модуль момента силы
- •§4. Момент импульса и закон его сохранения
§2. Кинетическая энергия вращения
Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся около неподвижной оси z, проходящей через него (рис. 2.1). Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами m1, m2, …, mn находящиеся на расстоянии r1, r2 …, rn от оси.
Угловая скорость вращения этих объемов одинакова:
(2.1)
Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму энергий его элементарных объемов:
Используя выражение (2.1), получаем
где Jx – момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела
В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:
где т – масса катящегося тела;
c – скорость центра масс тела;
Jc – момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс;
– угловая скорость
§3. Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тепа
Моментом силы F относительно точки O называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора r, проведенного из точки O в точку A приложения силы, на силу F (рис. 3.1):
Здесь М — псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к F.
Модуль момента силы
(3.1)
где – угол между r и F;
– кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой O – плечо силы.
Моментом силы F относительно оси z называется скалярная величина Mz, равная проекции на эту ось вектора М момента силы, определенного относительно произвольной точки O данной оси x (рис. 2.2). Значение момента М, не зависят от выбора положения точке O на ось z.
Если ось z совпадает с направлением вектора М, то момент силы:
Выражение для работы при вращении тела (рис. 3.3):
(3.2)
Учитывая (3.1), можем записать
где — момент силы относительно осиz.
Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.
Работа при вращении тела вдет на увеличение его кинетической энергии:
но , поэтому, или .
Учитывая, что , получаем:
(3.3)
Уравнение (3.3) представляет собой уравнение динамики вращательного твердого тела относительно неподвижной оси.
Или в векторном виде:
(3.4)
где J – главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).
§4. Момент импульса и закон его сохранения
Моментом импульса (количеством движения) материальной точки A относительно неподвижной точки O называется физическая величина, определяемая векторным произведением:
где r – радиус-вектор, проведённый из точки O в точку A;
–импульс материальной точки (рис. 4.1.);
L – псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к p.
Модуль вектора момента импульса:
где – угол между векторами r и p,
l – плечо вектора p относительно точки O.
Моментом импульса материальной точки A относительно неподвижной оси Z называется скалярная величина Lz, равная проекции на эту ось вектора момента импульса. Значение момента импульса Lz не зависит от положения точки O на оси Z.
Моментом импульса материальной точки:
и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.
Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульсов отдельных материальных точек:
Используя формулу , получим:
таким образом:
где Jz – момент инерции тела;
– угловая скорость.
Продифференцировав последнее уравнение по времени, получим:
т.е. .
Это выражение - ещё одна форма уравнения (закона) динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси.
В замкнутой системе момент внешних сил M=0 и , откуда:
.
Выражение представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не меняется с течением времени.
Основная связь между величинами и уравнениями, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательном движении:
№ |
Поступательное движение |
Вращательное движение | ||
| ||||
|
Масса |
m |
Момент инерции |
J |
|
Скорость |
Угловая скорость | ||
|
Ускорение |
Угловое ускорение | ||
|
Сила |
F |
Момент силы |
Mz или M |
|
Импульс |
Момент импульса | ||
|
Основное уравнение динамики |
Основное уравнение динамики | ||
|
Работа |
Работа вращения | ||
|
Кинетическая энергия |
Кинетическая энергия вращения |
-